Введение

Размерность столбцового пространства матрицы
В линейной алгебре ранг матрицы A — это размерность векторного пространства, порожденного (или натянутого) её столбцами. Это соответствует максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы A. Это, в свою очередь, совпадает с размерностью векторного пространства, порожденного её строками. Таким образом, ранг является мерой "невырожденности" системы линейных уравнений и линейного преобразования, заданного матрицей A. Существует несколько эквивалентных определений ранга. Ранг матрицы — одна из её фундаментальных характеристик. Ранг обычно обозначается как rank(A) или rk(A).

Основные определения

В этом разделе мы приводим несколько определений ранга матрицы. Существует множество возможных определений; см. раздел «Альтернативные определения» для некоторых из них. Ранг по столбцам матрицы A – это размерность столбцового пространства матрицы A, а ранг по строкам матрицы A – это размерность строкового пространства матрицы A. Фундаментальный результат линейной алгебры заключается в том, что ранг по столбцам и ранг по строкам всегда равны. (Ниже приведены три доказательства этого результата.) Это число (то есть количество линейно независимых строк или столбцов) просто называется рангом матрицы A. Матрица называется полноранговой, если её ранг равен максимально возможному для матрицы заданных размеров, то есть меньше из количества строк и столбцов. Матрица называется рангодефицитной, если она не является полноранговой. Ранговый дефицит матрицы – это разность между меньшим из количества строк и столбцов и её рангом. Ранг линейного отображения или оператора определяется как размерность его образа: где – размерность векторного пространства, а – образ отображения.

Вычисления

При применении к вычислениям с плавающей точкой на компьютерах, стандартное гауссово исключение (LU-разложение) может оказаться ненадежным, и вместо него следует использовать разложение, определяющее ранг. Эффективной альтернативой является сингулярное разложение (SVD), но существуют и другие, менее ресурсоемкие варианты, такие как QR-разложение с выбором главного элемента (так называемая QR-факторизация, раскрывающая ранг), которые все же более устойчивы численно, чем гауссово исключение. Численное определение ранга требует критерия для определения, когда значение, например, сингулярное число из SVD, следует считать равным нулю – практический выбор, зависящий как от матрицы, так и от конкретной задачи.

Доказательство с использованием уменьшения рядов

Тот факт, что ранг по строкам и ранг по столбцам любой матрицы равны, является фундаментальным в линейной алгебре. Было дано множество доказательств. Один из самых элементарных из них был представлен ранее. Вот вариант этого доказательства:

Легко показать, что элементарные преобразования строк не изменяют ни ранг по строкам, ни ранг по столбцам. Поскольку метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях строк, приведённая ступенчатая форма матрицы имеет тот же ранг по строкам и тот же ранг по столбцам, что и исходная матрица. Дальнейшие элементарные преобразования столбцов позволяют привести матрицу к виду единичной матрицы, возможно, с добавлением строк и столбцов, состоящих из нулей. Это также не изменяет ни ранг по строкам, ни ранг по столбцам. Очевидно, что и ранг по строкам, и ранг по столбцам полученной матрицы равны числу её ненулевых элементов. Мы приводим два других доказательства этого утверждения. Первое использует только основные свойства линейных комбинаций векторов и справедливо для любого поля. Доказательство основано на работе Wardlaw (2005). Второе использует ортогональность и справедливо для матриц над полем вещественных чисел; оно основано на работе Mackiw (1995).

Доказательство с использованием линейных комбинаций

Пусть A — матрица размера m × n. Пусть столбцовый ранг A равен r, и пусть c₁, …, cᵣ — любой базис столбцового пространства A. Запишем эти векторы в виде столбцов матрицы C размера m × r. Каждый столбец матрицы A можно представить в виде линейной комбинации r столбцов матрицы C. Это означает, что существует матрица R размера r × n такая, что A = CR. Матрица R состоит из столбцов, каждый из которых образован коэффициентами, представляющими i-й столбец A как линейную комбинацию r столбцов матрицы C. Иными словами, матрица R содержит коэффициенты разложения столбцов A по базису столбцового пространства A (то есть по столбцам матрицы C), и из этих коэффициентов восстанавливается матрица A целиком. Теперь каждая строка матрицы A является линейной комбинацией r строк матрицы R. Следовательно, строки матрицы R образуют базис для строкового пространства A, и по лемме Штейница строковый ранг A не может превышать r. Таким образом, строковый ранг A не больше столбцового ранга A. Этот результат применим к любой матрице, поэтому применим его к транспонированной матрице Aᵀ. Поскольку строковый ранг транспонированной матрицы A равен столбцовому рангу A, а столбцовый ранг транспонированной матрицы A равен строковому рангу A, это устанавливает обратное неравенство, и мы получаем равенство строкового и столбцового рангов A. (См. также разложение по рангу.)

Доказательство с использованием ортогональности

Пусть A — матрица размера m × n с элементами из действительных чисел, чей строчный ранг равен r. Следовательно, размерность строчного пространства A равна r. Пусть x'1, x'2, ..., x'r — базис строчного пространства A. Утверждаем, что векторы A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r линейно независимы. Чтобы понять, почему, рассмотрим линейную однородную комбинацию, включающую эти векторы со скалярными коэффициентами c1, c2, ..., cr:

где v = c1x'1 + c2x'2 + ... + crx'r. Сделаем два замечания: (a) v — линейная комбинация векторов в строчном пространстве A, что означает, что v принадлежит строчному пространству A, и (b) поскольку A'v = 0, вектор v ортогонален каждому строчному вектору A и, следовательно, ортогонален каждому вектору в строчном пространстве A. Из (a) и (b) следует, что v ортогонален самому себе, что доказывает, что v = 0 или, по определению v,

Но вспомним, что векторы x'i были выбраны в качестве базиса строчного пространства A и, следовательно, линейно независимы. Это означает, что c1 = c2 = ... = cr = 0. Следовательно, векторы A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r линейно независимы. Теперь каждый A'x'i очевидно является вектором в столбцовом пространстве A. Таким образом, A'x'1, A'x'2, ..., A'x'r — это множество из r линейно независимых векторов в столбцовом пространстве A и, следовательно, размерность столбцового пространства A (т.е. столбцовый ранг A) должна быть не меньше r. Это доказывает, что строчный ранг A не больше столбцового ранга A. Теперь применим этот результат к транспонированной матрице A, чтобы получить обратное неравенство и сделать вывод, как в предыдущем доказательстве.

Альтернативные определения

Во всех определениях в этом разделе матрица A рассматривается как матрица размера m × n над произвольным полем F.

Ранг по признаку недействительной

При том же линейном отображении f, что и выше, ранг равен n минус размерность ядра f. Теорема о ранге и нуль-пространстве утверждает, что это определение эквивалентно предыдущему.

Ранги столбцов размер пространства столбцов

Ранг матрицы A — это максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A; это размерность столбцового пространства матрицы A (столбцовое пространство — это подпространство F^(m), порожденное столбцами A, которое, по сути, является образом линейного отображения f, соответствующего матрице A).

Ранги рядов размер пространства рядов

Рангом матрицы A является максимальное число линейно независимых строк матрицы A; это размерность строчного пространства матрицы A.

Рейтинг по числу единичных значений

Ранг матрицы А равен числу ненулевых сингулярных значений, которое совпадает с числом ненулевых диагональных элементов в Σ в сингулярном разложении.

Определяющий ранг размер наибольшего неисчезающего незначительного

Ранг матрицы A — это наибольший порядок любого ненулевого минора матрицы A. (Порядок минора — это размер стороны квадратной подматрицы, определителем которой он является.) Как и характеристика ранга через разложение, это не предоставляет эффективного способа вычисления ранга, но полезно в теоретическом плане: один ненулевой минор свидетельствует о нижней границе (а именно, равной его порядку) для ранга матрицы, что может быть полезно, например, для доказательства того, что определенные операции не уменьшают ранг матрицы. Ненулевой p-минор (p × p подматрица с ненулевым определителем) показывает, что строки и столбцы этой подматрицы линейно независимы, и, следовательно, соответствующие строки и столбцы исходной матрицы линейно независимы в исходной матрице, таким образом, ранг по строкам и ранг по столбцам не меньше, чем определительный ранг; однако, обратное утверждение не столь очевидно. Эквивалентность определительного ранга и ранга по столбцам является усилением утверждения о том, что если линейная оболочка n векторов имеет размерность p, то p из этих векторов образуют базис пространства (эквивалентно, можно выбрать базисный набор, являющийся подмножеством исходных векторов): эта эквивалентность подразумевает, что подмножество строк и подмножество столбцов одновременно определяют невырожденную подматрицу (эквивалентно, если линейная оболочка n векторов имеет размерность p, то p из этих векторов образуют базис пространства, и существует набор из p координат, на которых они линейно независимы).

Ранг тензора минимальное количество простых тензоров

Ранг матрицы A — наименьшее число k, такое, что A можно представить в виде суммы k матриц ранга 1, где матрица определяется как имеющая ранг 1, если и только если её можно представить как ненулевое произведение столбцового вектора c и строчного вектора r. Это понятие ранга называется тензорным рангом и может быть обобщено в рамках интерпретации разложимых моделей сингулярного разложения.

Приложения

Одним из полезных применений вычисления ранга матрицы является определение количества решений системы линейных уравнений. Согласно теореме Руше-Капелли, система не имеет решений, если ранг расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы коэффициентов. Если же ранги этих двух матриц равны, то система имеет хотя бы одно решение. Решение единственно тогда и только тогда, когда ранг равен числу переменных. В противном случае общее решение содержит k свободных параметров, где k – разность между числом переменных и рангом. В этом случае (при условии, что система уравнений рассматривается в области действительных или комплексных чисел) система имеет бесконечно много решений. В теории управления ранг матрицы может быть использован для определения, является ли линейная система управляемой или наблюдаемой. В области сложности коммуникаций ранг коммуникационной матрицы функции определяет границы объема коммуникации, необходимого двум сторонам для вычисления этой функции.

Обобщение

Существуют различные обобщения понятия ранга для матриц над произвольными кольцами, где ранг по столбцам, ранг по строкам, размерность пространства столбцов и размерность пространства строк матрицы могут отличаться друг от друга или могут быть не определены. Рассматривая матрицы как тензоры, тензорный ранг обобщается на произвольные тензоры; для тензоров порядка выше 2 (матрицы являются тензорами порядка 2) ранг вычислить очень сложно, в отличие от матриц. Существует понятие ранга для гладких отображений между гладкими многообразиями, которое равно линейному рангу производной.

Матрицы как тензоры

Ранги матриц не следует путать с порядком тензора, который также называют рангом тензора. Порядок тензора — это число индексов, необходимых для задания тензора, и, следовательно, все матрицы имеют порядок тензора, равный 2. Более точно, матрицы являются тензорами типа (1,1), имеющими один индекс строки и один индекс столбца, также называемые ковариантным рангом 1 и контравариантным рангом 1; подробности см. в статье «Тензор (внутреннее определение)». Ранг тензора матрицы может также означать минимальное число простых тензоров, необходимых для представления матрицы в виде линейной комбинации, и это определение совпадает с рангом матрицы, о котором идет речь здесь.