Введение
Математическое понятие – математическое понятие.
the mathematical concept
In probability theory, a probability space or a probability triple is a mathematical construct that provides a formal model of a random process or "experiment". For example, one can define a probability space which models the throwing of a
A probability space consists of three elements:
A sample space, , which is the set of all possible outcomes. An event space, which is a set of events, , an event being a set of outcomes in the sample space. A probability function, , which assigns, to each event in the event space, a probability, which is a number between 0 and 1 (inclusive). In order to provide a model of probability, these elements must satisfy probability axioms. In the example of the throw of a standard die,
The sample space is typically the set where each element in the set is a label which represents the outcome of the die landing on that label. For example, represents the outcome that the die lands on 1. The event space could be the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ("the die lands on 5"), as well as complex events such as ("the die lands on an even number"). The probability function would then map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 – so for example, would be mapped to , and would be mapped to
When an experiment is conducted, it results in exactly one outcome from the sample space All the events in the event space that contain the selected outcome are said to "have occurred". The probability function must be so defined that if the experiment were repeated arbitrarily many times, the number of occurrences of each event as a fraction of the total number of experiments, will most likely tend towards the probability assigned to that event. The Soviet mathematician Andrey Kolmogorov introduced the notion of a probability space and the axioms of probability in the 1930s. In modern probability theory, there are alternative approaches for axiomatization, such as the algebra of random variables.
В теории вероятностей вероятностное пространство, или вероятностная тройка, – это математическая конструкция, обеспечивающая формальную модель случайного процесса или «эксперимента». Например, можно определить вероятностное пространство, моделирующее бросание игральной кости. Вероятностное пространство состоит из трех элементов:
the mathematical concept
In probability theory, a probability space or a probability triple is a mathematical construct that provides a formal model of a random process or "experiment". For example, one can define a probability space which models the throwing of a
A probability space consists of three elements:
A sample space, , which is the set of all possible outcomes. An event space, which is a set of events, , an event being a set of outcomes in the sample space. A probability function, , which assigns, to each event in the event space, a probability, which is a number between 0 and 1 (inclusive). In order to provide a model of probability, these elements must satisfy probability axioms. In the example of the throw of a standard die,
The sample space is typically the set where each element in the set is a label which represents the outcome of the die landing on that label. For example, represents the outcome that the die lands on 1. The event space could be the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ("the die lands on 5"), as well as complex events such as ("the die lands on an even number"). The probability function would then map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 – so for example, would be mapped to , and would be mapped to
When an experiment is conducted, it results in exactly one outcome from the sample space All the events in the event space that contain the selected outcome are said to "have occurred". The probability function must be so defined that if the experiment were repeated arbitrarily many times, the number of occurrences of each event as a fraction of the total number of experiments, will most likely tend towards the probability assigned to that event. The Soviet mathematician Andrey Kolmogorov introduced the notion of a probability space and the axioms of probability in the 1930s. In modern probability theory, there are alternative approaches for axiomatization, such as the algebra of random variables.
Пространство элементарных событий (выборочное пространство), Ω, которое является множеством всех возможных исходов. Пространство событий, которое представляет собой набор событий, F, где событие – это подмножество пространства элементарных событий. Функция вероятности, P, которая присваивает каждому событию в пространстве событий вероятность – число от 0 до 1 включительно. Чтобы обеспечить модель вероятности, эти элементы должны удовлетворять аксиомам вероятности. В примере броска стандартной игральной кости,
the mathematical concept
In probability theory, a probability space or a probability triple is a mathematical construct that provides a formal model of a random process or "experiment". For example, one can define a probability space which models the throwing of a
A probability space consists of three elements:
A sample space, , which is the set of all possible outcomes. An event space, which is a set of events, , an event being a set of outcomes in the sample space. A probability function, , which assigns, to each event in the event space, a probability, which is a number between 0 and 1 (inclusive). In order to provide a model of probability, these elements must satisfy probability axioms. In the example of the throw of a standard die,
The sample space is typically the set where each element in the set is a label which represents the outcome of the die landing on that label. For example, represents the outcome that the die lands on 1. The event space could be the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ("the die lands on 5"), as well as complex events such as ("the die lands on an even number"). The probability function would then map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 – so for example, would be mapped to , and would be mapped to
When an experiment is conducted, it results in exactly one outcome from the sample space All the events in the event space that contain the selected outcome are said to "have occurred". The probability function must be so defined that if the experiment were repeated arbitrarily many times, the number of occurrences of each event as a fraction of the total number of experiments, will most likely tend towards the probability assigned to that event. The Soviet mathematician Andrey Kolmogorov introduced the notion of a probability space and the axioms of probability in the 1930s. In modern probability theory, there are alternative approaches for axiomatization, such as the algebra of random variables.
Пространство элементарных событий Ω обычно представляет собой множество, где каждый элемент множества является меткой, обозначающей исход, при котором кость остановилась на этой метке. Например, 1 представляет исход, при котором кость остановилась на 1. Пространство событий F может быть множеством всех подмножеств пространства элементарных событий, которое затем будет содержать простые события, такие как {5} («кость остановилась на 5»), а также сложные события, такие как {2, 4, 6} («кость остановилась на четном числе»). Функция вероятности P затем отображает каждое событие в число исходов в этом событии, деленное на 6 – например, {5} будет отображено в 1/6, а {2, 4, 6} будет отображено в 1/2.
the mathematical concept
In probability theory, a probability space or a probability triple is a mathematical construct that provides a formal model of a random process or "experiment". For example, one can define a probability space which models the throwing of a
A probability space consists of three elements:
A sample space, , which is the set of all possible outcomes. An event space, which is a set of events, , an event being a set of outcomes in the sample space. A probability function, , which assigns, to each event in the event space, a probability, which is a number between 0 and 1 (inclusive). In order to provide a model of probability, these elements must satisfy probability axioms. In the example of the throw of a standard die,
The sample space is typically the set where each element in the set is a label which represents the outcome of the die landing on that label. For example, represents the outcome that the die lands on 1. The event space could be the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ("the die lands on 5"), as well as complex events such as ("the die lands on an even number"). The probability function would then map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 – so for example, would be mapped to , and would be mapped to
When an experiment is conducted, it results in exactly one outcome from the sample space All the events in the event space that contain the selected outcome are said to "have occurred". The probability function must be so defined that if the experiment were repeated arbitrarily many times, the number of occurrences of each event as a fraction of the total number of experiments, will most likely tend towards the probability assigned to that event. The Soviet mathematician Andrey Kolmogorov introduced the notion of a probability space and the axioms of probability in the 1930s. In modern probability theory, there are alternative approaches for axiomatization, such as the algebra of random variables.
Когда проводится эксперимент, он приводит ровно к одному исходу ω из пространства элементарных событий. Все события в пространстве событий F, содержащие выбранный исход ω, говорят, что «произошли». Функция вероятности P должна быть определена таким образом, чтобы, если эксперимент повторялся произвольно много раз, число появлений каждого события, как доля от общего числа экспериментов, с большой вероятностью стремилось к вероятности, присвоенной этому событию. Советский математик Андрей Колмогоров ввел понятие вероятностного пространства и аксиомы вероятности в 1930-х годах. В современной теории вероятностей существуют альтернативные подходы к аксиоматизации, такие как алгебра случайных величин.
the mathematical concept
In probability theory, a probability space or a probability triple is a mathematical construct that provides a formal model of a random process or "experiment". For example, one can define a probability space which models the throwing of a
A probability space consists of three elements:
A sample space, , which is the set of all possible outcomes. An event space, which is a set of events, , an event being a set of outcomes in the sample space. A probability function, , which assigns, to each event in the event space, a probability, which is a number between 0 and 1 (inclusive). In order to provide a model of probability, these elements must satisfy probability axioms. In the example of the throw of a standard die,
The sample space is typically the set where each element in the set is a label which represents the outcome of the die landing on that label. For example, represents the outcome that the die lands on 1. The event space could be the set of all subsets of the sample space, which would then contain simple events such as ("the die lands on 5"), as well as complex events such as ("the die lands on an even number"). The probability function would then map each event to the number of outcomes in that event divided by 6 – so for example, would be mapped to , and would be mapped to
When an experiment is conducted, it results in exactly one outcome from the sample space All the events in the event space that contain the selected outcome are said to "have occurred". The probability function must be so defined that if the experiment were repeated arbitrarily many times, the number of occurrences of each event as a fraction of the total number of experiments, will most likely tend towards the probability assigned to that event. The Soviet mathematician Andrey Kolmogorov introduced the notion of a probability space and the axioms of probability in the 1930s. In modern probability theory, there are alternative approaches for axiomatization, such as the algebra of random variables.
Введение
Пространство вероятностей — это математический триплет, представляющий модель для определенного класса реальных ситуаций. Как и в случае с другими моделями, его автор определяет, какие элементы будут содержать , , и . Пространство элементарных событий — это множество всех возможных исходов. Исход — это результат единичного выполнения модели. Исходами могут быть состояния природы, возможности, результаты экспериментов и тому подобное. Каждая реализация реальной ситуации (или запуск эксперимента) должна приводить ровно к одному исходу. Если исходы различных запусков эксперимента отличаются каким-либо значимым образом, то это различные исходы. Какие различия имеют значение, зависит от типа анализа, который мы хотим провести. Это приводит к разному выбору пространства элементарных событий. σ-алгебра — это совокупность всех событий, которые мы хотим рассматривать. Эта совокупность может включать или не включать каждое из элементарных событий. Здесь «событие» — это множество, состоящее из нуля или более исходов, то есть подмножество пространства элементарных событий. Событие считается «произошедшим» во время эксперимента, когда исход эксперимента является элементом этого события. Поскольку один и тот же исход может принадлежать многим событиям, возможно, что при одном исходе произойдет множество событий. Например, если испытание состоит в бросании двух кубиков, множество всех исходов с суммой 7 очков может составлять событие, а исходы с нечетным числом очков — другое событие. Если исход является элементом элементарного события, соответствующего двум очкам на первом кубике и пяти на втором, то оба события, «7 очков» и «нечетное число очков», считаются произошедшими. Мера вероятности — это функция множества, возвращающая вероятность события. Вероятность — это действительное число между нулем (невозможные события имеют вероятность ноль, хотя события с вероятностью ноль не обязательно невозможны) и единицей (событие происходит почти достоверно, с почти полной уверенностью). Таким образом, является функцией . Функция меры вероятности должна удовлетворять двум простым требованиям: во-первых, вероятность счетного объединения непересекающихся событий должна быть равна счетной сумме вероятностей каждого из этих событий. Например, вероятность объединения непересекающихся событий и в случайном эксперименте с одним броском монеты, , равна сумме вероятности для и вероятности для . Во-вторых, вероятность пространства элементарных событий должна быть равна 1 (что отражает тот факт, что при выполнении модели должен произойти какой-либо исход). В предыдущем примере вероятность множества исходов должна быть равна единице, поскольку совершенно определенно, что исход будет либо или (модель не рассматривает другие возможности) при одном броске монеты. Не каждое подмножество пространства элементарных событий обязательно должно рассматриваться как событие: некоторые подмножества просто не представляют интереса, другие не могут быть «измерены». Это не так очевидно в случае бросания монеты. В другом примере можно рассмотреть длины метания копья, где события обычно представляют собой интервалы, такие как «между 60 и 65 метрами», и объединения таких интервалов, но не множества, такие как «иррациональные числа между 60 и 65 метрами».
Дискретное дело
Теория дискретных вероятностей требует лишь счетных или, в худшем случае, счетно бесконечных пространств элементарных событий. Вероятности могут быть приписаны точкам пространства элементарных событий с помощью функции массы вероятности таким образом, что все подмножества этого пространства могут рассматриваться как события (следовательно, это является булеаном или множеством степеней). Мера вероятности принимает простую форму. Наибольшая σ-алгебра описывает полную информацию. В общем случае, σ-алгебра соответствует конечному или счетному разбиению, а общая форма события имеет вид. См. также примеры. Случай, когда σ-алгебра состоит из одного множества, допускается по определению, но редко используется, поскольку такие σ-алгебры можно безопасно исключить из пространства элементарных событий.
The greatest σ algebra describes the complete information. In general, a σ algebra corresponds to a finite or countable partition , the general form of an event being See also the examples. The case is permitted by the definition, but rarely used, since such can safely be excluded from the sample space.
Общее положение
Если Ω несчетно, тем не менее может случиться, что P(ω) ≠ 0 для некоторого ω; такие ω называются атомами. Они образуют множество, которое является не более чем счетным (возможно, пустым), и вероятность которого равна сумме вероятностей всех атомов. Если эта сумма равна 1, то все остальные точки можно безопасно исключить из пространства элементарных событий, вернувшись к дискретному случаю. В противном случае, если сумма вероятностей всех атомов находится между 0 и 1, то пространство вероятностей раскладывается на дискретную (атомную) часть (возможно, пустую) и неатомную часть.
Неатомный корпус
Если 1=P(ω) = 0 для всех ω ∈ Ω (в этом случае Ω должен быть несчетным, поскольку в противном случае не могло бы выполняться условие 1=P(Ω) = 1), то указанное уравнение не выполняется: вероятность множества не обязательно равна сумме вероятностей его элементов, так как суммирование определено только для счетного числа элементов. Это делает теорию вероятностных пространств значительно более сложной с технической точки зрения. Для решения этой проблемы применяется теория меры, которая является более строгой, чем простое суммирование. Сначала вероятности приписываются некоторым "порождающим" множествам (см. примеры). Затем, с помощью предельного перехода, можно присваивать вероятности множествам, являющимся пределами последовательностей порождающих множеств, или пределами пределов, и так далее. Все эти множества образуют σ-алгебру. Подробности можно найти в теореме расширения Каратеодори. Множества, принадлежащие σ-алгебре, называются измеримыми. В общем случае они гораздо сложнее порождающих множеств, но гораздо лучше, чем неизмеримые множества.
Полное пространство вероятности
Пространство вероятностей называется полным пространством вероятностей, если для всех множеств A с P(A) = 0 существует такое множество B, что P(B) = 1 и A ⊆ B. Часто изучение пространств вероятностей ограничивается полными пространствами вероятностей.
Пример 1
Если эксперимент состоит из одного броска справедливой монеты, то исход – либо орёл, либо решка: σ-алгебра содержит события, а именно: ("орёл"), ("решка"), ("ни орла, ни решки"), и ("либо орёл, либо решка"); другими словами, вероятность выпадения орла составляет пятьдесят процентов, а вероятность выпадения решки – также пятьдесят процентов, поэтому мера вероятности в этом примере равна , , , .
Пример 2
Честная монета подбрасывается три раза. Существует 8 возможных исходов: 1=Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (здесь "HTH", например, означает, что при первом броске выпала решка, при втором – орел, а при последнем – снова решка). Полная информация описывается σ-алгеброй из 2^(8) = 256 событий, где каждое событие является подмножеством Ω.
Алиса знает результат только второго броска. Таким образом, ее неполная информация описывается разделением 1=Ω = A1 ⊔ A2 = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}, где ⊔ обозначает непересекающееся объединение, а соответствующая σ-алгебра. Брайан знает только общее количество орлов. Его разделение состоит из четырех частей: 1=Ω = B0 ⊔ B1 ⊔ B2 ⊔ B3 = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {HTT, THT, TTH} ⊔ {TTT}; соответственно, его σ-алгебра содержит 2^4 = 16 событий. Две σ-алгебры несравнимы: ни одна не является подмножеством другой; обе являются под-σ-алгебрами 2^Ω.
Пример 3
Если 100 избирателей будут выбраны случайным образом из числа всех избирателей в Калифорнии и спросят, за кого они будут голосовать за губернатора, то множество всех последовательностей из 100 калифорнийских избирателей будет являться пространством элементарных событий Ω. Предполагается, что используется выборка без возвращения: разрешены только последовательности из 100 различных избирателей. Для простоты рассматривается упорядоченная выборка, то есть последовательность (Алиса, Брайан) отличается от (Брайан, Алиса). Мы также принимаем за данность, что каждый потенциальный избиратель точно знает свой будущий выбор, то есть он не выбирает случайным образом. Алиса знает только, получил ли Арнольд Шварценеггер не менее 60 голосов. Ее неполная информация описывается σ-алгеброй, которая содержит: (1) множество всех последовательностей в Ω, где не менее 60 человек голосуют за Шварценеггера; (2) множество всех последовательностей, где менее 60 голосуют за Шварценеггера; (3) все пространство элементарных событий Ω; и (4) пустое множество ∅. Брайан знает точное число избирателей, которые собираются голосовать за Шварценеггера. Его неполная информация описывается соответствующим разбиением 1=Ω = B0 ⊔ B1 ⊔ ⋯ ⊔ B100, а σ-алгебра состоит из 2<sup>101</sup> событий. В этом случае σ-алгебра Алисы является подмножеством σ-алгебры Брайана: σ-алгебра Брайана, в свою очередь, является подмножеством гораздо большей "полной информации" σ-алгебры 2<sup>Ω</sup>, состоящей из 2<sup>n(n−1)⋯(n−99)</sup> событий, где n – число всех потенциальных избирателей в Калифорнии.
Пример 4
Число между 0 и 1 выбирается случайным образом, равномерно. Здесь Ω = [0,1] – пространство элементарных событий, является σ-алгеброй борелевских множеств на Ω, а P – мера Лебега на [0,1]. В этом случае открытые интервалы вида (a, b), где 0 < a < b < 1, могут быть приняты в качестве образующих множеств. Каждому из таких множеств можно приписать вероятность P((a, b)) = b − a, которая определяет меру Лебега на [0,1] и борелевскую σ-алгебру на Ω.
Пример 5
Честную монету подбрасывают бесконечно. Здесь можно взять Ω = {0,1}∞, множество всех бесконечных последовательностей чисел 0 и 1. Цилиндрические множества вида 1 = {(x1, x2, ...) ∈ Ω : x1 = a1, ..., xn = an} могут использоваться в качестве генерирующих множеств. Каждый такой набор описывает событие, при котором первые n подбрасываний дали фиксированную последовательность (a1, ..., an), а остальная часть последовательности может быть любой. Каждому такому событию можно естественным образом приписать вероятность 2−n. Эти два неатомных примера тесно связаны: последовательность (x1, x2, ...) ∈ {0,1}∞ приводит к числу 2−1x1 + 2−2x2 + ... ∈ [0,1]. Однако это не взаимно однозначное соответствие между {0,1}∞ и [0,1]: это изоморфизм по модулю нуля, который позволяет рассматривать два вероятностных пространства как две формы одного и того же вероятностного пространства. Фактически, все непатологические неатомные вероятностные пространства одинаковы в этом смысле. Они называются стандартными вероятностными пространствами. Основные применения вероятностных пространств нечувствительны к стандартности. Однако недискретное обуславливание легко и естественно определять в стандартных вероятностных пространствах, в противном случае оно становится неочевидным.
Случайные переменные
Случайная переменная X — это измеримая функция X: Ω → S из пространства элементарных событий Ω в другое измеримое пространство S, называемое пространством состояний. Если A ⊂ S, то обозначение Pr(X ∈ A) является общепринятым сокращением для .
Определение событий с точки зрения пространства выборки
Если Ω счетно, мы почти всегда определяем как семейство всех подмножеств Ω, то есть 2^Ω, что тривиально является σ-алгеброй и наибольшей из тех, которые можно построить, используя Ω. Поэтому мы можем опустить 2^Ω и просто писать (Ω, P) для обозначения пространства вероятностей. С другой стороны, если Ω несчетно и мы используем 2^Ω, мы сталкиваемся с трудностями при определении меры вероятности P, поскольку 2^Ω слишком "велика", то есть часто существуют множества, которым невозможно однозначно присвоить меру. В этом случае необходимо использовать меньшую σ-алгебру, например, борелевскую σ-алгебру на Ω, которая является наименьшей σ-алгеброй, делающей все открытые множества измеримыми.
Условная вероятность
Определение Кольмогорова вероятностных пространств порождает естественное понятие условной вероятности. Любое множество A с ненулевой вероятностью (то есть, P(A) > 0) определяет другую меру вероятности на этом пространстве. Это обычно называют "вероятностью B при условии A". Для любого события A, такого что P(A) > 0, функция Q, заданная для всех событий B, сама является мерой вероятности.
on the space. This is usually pronounced as the "probability of B given A". For any event A such that P(A) > 0, the function Q defined by for all events B is itself a probability measure.
Независимость
Два события, A и B, считаются независимыми, если P(A ∩ B) = P(A) P(B). Две случайные величины, X и Y, считаются независимыми, если любое событие, определенное на основе X, независимо от любого события, определенного на основе Y. Формально, они порождают независимые σ-алгебры, где две σ-алгебры G и H, являющиеся подмножествами F, считаются независимыми, если любой элемент G независим от любого элемента H.
Взаимная исключительность
Два события, A и B, называются взаимоисключающими или непересекающимися, если наступление одного из них исключает наступление другого, то есть их пересечение пусто. Это более строгое условие, чем равенство вероятности их пересечения нулю. Если A и B – взаимоисключающие события, то P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Это свойство распространяется на (конечную или счетно бесконечную) последовательность событий. Однако вероятность объединения несчётного множества событий не равна сумме их вероятностей. Например, если Z – нормально распределённая случайная величина, то P(Z = x) = 0 для любого x, но P(Z ∈ ℝ) = 1. Событие A ∩ B называется "A и B", а событие A ∪ B – "A или B".