Введение
Распределение Коши, названное в честь Огюстена Коши, является непрерывным распределением вероятностей. Оно также известно, особенно среди физиков, как распределение Лоренца (в честь Хендрика Лоренца), распределение Коши — Лоренца, функция Лоренца или распределение Брейта — Вигнера. Распределение Коши представляет собой распределение точки пересечения с осью x луча, выпущенного под углом, распределенным равномерно. Оно также является распределением отношения двух независимых нормально распределенных случайных величин со средним значением, равным нулю. Распределение Коши часто используется в статистике как канонический пример "патологического" распределения, поскольку его математическое ожидание и дисперсия не определены (но см. ниже). Распределение Коши не имеет конечных моментов порядка, большего или равного единице; существуют только дробные абсолютные моменты. Распределение Коши не имеет функции, генерирующей моменты. В математике оно тесно связано с ядром Пуассона, которое является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Это одно из немногих устойчивых распределений, функция плотности вероятности которого может быть выражена аналитически; к другим относятся нормальное распределение и распределение Леви.
The Cauchy distribution, named after Augustin Cauchy, is a continuous probability distribution. It is also known, especially among physicists, as the Lorentz distribution (after Hendrik Lorentz), Cauchy–Lorentz distribution, Lorentz(ian) function, or Breit–Wigner distribution. The Cauchy distribution is the distribution of the x intercept of a ray issuing from with a uniformly distributed angle. It is also the distribution of the ratio of two independent normally distributed random variables with mean zero. The Cauchy distribution is often used in statistics as the canonical example of a "pathological" distribution since both its expected value and its variance are undefined (but see below). The Cauchy distribution does not have finite moments of order greater than or equal to one; only fractional absolute moments exist. The Cauchy distribution has no moment generating function. In mathematics, it is closely related to the Poisson kernel, which is the fundamental solution for the Laplace equation in the upper half plane. It is one of the few stable distributions with a probability density function that can be expressed analytically, the others being the normal distribution and the Lévy distribution.
История
Функция, имеющая вид плотности распределения Коши, была изучена геометрически Ферма в 1659 году, а позднее стала известна как «ведьма Агнези», после того как Агнези включила её в качестве примера в свой учебник по математическому анализу 1748 года. Несмотря на название, первый подробный анализ свойств распределения Коши был опубликован французским математиком Пуассоном в 1824 году, а связь Коши с ним установилась лишь в ходе академической полемики в 1853 году. Пуассон заметил, что если вычислять среднее значение наблюдений, подчиняющихся такому распределению, то средняя ошибка не стремится ни к какому конечному числу. Следовательно, применение Лапласом центральной предельной теоремы к такому распределению было некорректным, поскольку она предполагает конечное среднее и дисперсию. Тем не менее, Пуассон не придал этому вопросу большого значения, в отличие от Бине, который впоследствии вступил с Коши в длительный спор по этому поводу.
Строительство
Вот самые важные конструкции.
Ротационная симметрия
Если человек стоит перед линией и ударяет по мячу, направляя его (точнее, под углом) случайным образом в сторону линии, то распределение точки, в которую мяч попадает на линию, является распределением Коши. Более формально, рассмотрим точку в плоскости xy и выберем линию, проходящую через эту точку, при этом её направление (угол с осью x) выбирается равномерно случайным образом (между -90° и +90°). Точка пересечения этой линии с осью x имеет распределение Коши со сдвигом и масштабом. Это определение предоставляет простой способ получения выборки из стандартного распределения Коши. Пусть ξ – выборка из равномерного распределения на интервале (-1, 1), тогда мы можем сгенерировать выборку η из стандартного распределения Коши по формуле:
This definition gives a simple way to sample from the standard Cauchy distribution. Let be a sample from a uniform distribution from , then we can generate a sample, from the standard Cauchy distribution using
Если ξ и η – две независимые нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, то их отношение ξ/η имеет стандартное распределение Коши. В более общем случае, если f – радиально-симметричное распределение на плоскости, то отношение двух независимых случайных величин, распределенных согласно f, имеет стандартное распределение Коши.
Свойства
Распределение Коши является примером распределения, которое не имеет определенного математического ожидания, дисперсии или моментов более высокого порядка. Его мода и медиана хорошо определены и обе равны. Распределение Коши — это бесконечно делимое распределение вероятностей. Оно также является строго устойчивым распределением. Как и все устойчивые распределения, семейство масштаба и сдвига, к которому принадлежит распределение Коши, замкнуто относительно линейных преобразований с действительными коэффициентами. Кроме того, распределение Коши замкнуто относительно линейно-дробных преобразований с действительными коэффициентами. В связи с этим, обратитесь также к параметризации МакКаллаха распределений Коши.
The Cauchy distribution is an infinitely divisible probability distribution. It is also a strictly stable distribution. Like all stable distributions, the location scale family to which the Cauchy distribution belongs is closed under linear transformations with real coefficients. In addition, the Cauchy distribution is closed under linear fractional transformations with real coefficients. In this connection, see also McCullagh's parametrization of the Cauchy distributions.
Сумма распределений Коши
Если X₁, X₂, ..., Xₙ – независимые одинаково распределённые (IID) случайные величины из стандартного распределения Коши, то их выборочное среднее также имеет стандартное распределение Коши. В частности, среднее не сходится к математическому ожиданию, и, следовательно, стандартное распределение Коши не удовлетворяет закону больших чисел. Это можно доказать повторным интегрированием с использованием функции плотности вероятности (PDF), или, что более удобно, используя характеристическую функцию стандартного распределения Коши (см. ниже): С её помощью мы получаем , и, следовательно, выборочное среднее имеет стандартное распределение Коши. В более общем случае, если X₁, X₂, ..., Xₙ – независимые случайные величины, распределённые по Коши с параметрами местоположения μᵢ и масштаба σᵢ, и c₁, c₂, ..., cₙ – действительные числа, то линейная комбинация имеет распределение Коши с параметром местоположения и масштабом . Мы видим, что закон больших чисел не выполняется для любой взвешенной суммы независимых распределений Коши. Это показывает, что условие конечности дисперсии в центральной предельной теореме нельзя отбросить. Это также пример более обобщённой версии центральной предельной теоремы, характерной для всех стабильных распределений, распределение Коши является частным случаем которых.
Центральная теорема о пределах
Если являются независимыми и одинаково распределенными выборками с функцией плотности вероятности (PDF) такими, что конечно, но не равно нулю, то сходится по распределению к распределению Коши с параметром масштаба .
Характерная функция
Пусть обозначает случайную величину, распределенную по закону Коши. Характерная функция распределения Коши задается выражением
, которое является преобразованием Фурье плотности вероятности. Исходную плотность вероятности можно выразить через характеристическую функцию, по сути, используя обратное преобразование Фурье:
n-й момент распределения — это n-я производная характеристической функции, вычисленная в точке 0. Обратите внимание, что характеристическая функция не дифференцируема в начале координат: это соответствует тому факту, что распределение Коши не имеет четко определенных моментов, отличных от нулевого.
Моменты
Распределение Коши обычно используется в качестве иллюстративного контрпримера в курсах элементарной теории вероятностей, поскольку это распределение не имеет чётко определённых (или "неопределённых") моментов.
Время отбора образцов
Если мы берем независимые и одинаково распределенные (IID) выборки из стандартного распределения Коши, то последовательность их выборочного среднего также имеет стандартное распределение Коши. Следовательно, вне зависимости от количества взятых членов, выборочное среднее не сходится. Аналогично, выборочная дисперсия также не сходится. Типичная траектория выборочного среднего выглядит как длительные периоды медленного приближения к нулю, прерываемые резкими скачками от нуля, но не уходящими слишком далеко. Типичная траектория выборочной дисперсии выглядит похоже, но скачки накапливаются быстрее, чем убывание, стремясь к бесконечности. Эти два типа траекторий изображены на рисунке. Моменты выборки порядка меньше 1 будут сходиться к нулю. Моменты выборки порядка больше 2 будут расходиться к бесконечности даже быстрее, чем выборочная дисперсия.