Введение

Распределение вероятности

В теории вероятностей и статистике биномиальное распределение с параметрами n и p — это дискретное распределение вероятности числа успехов в последовательности из n независимых экспериментов, каждый из которых предполагает вопрос с ответом «да» или «нет», и каждый из которых имеет булевский результат: успех (с вероятностью p) или неудача (с вероятностью 1-p). Отдельный эксперимент с успехом или неудачей также называется испытанием Бернулли или экспериментом Бернулли, а последовательность результатов — процессом Бернулли; для одного испытания, то есть при n = 1, биномиальное распределение является распределением Бернулли. Биномиальное распределение служит основой для популярного биномиального теста статистической значимости. Биномиальное распределение часто используется для моделирования числа успехов в выборке размера n, отобранной с возвращением из генеральной совокупности размера N. Если отбор производится без возвращения, выборки не являются независимыми, и, следовательно, результирующее распределение является гипергеометрическим распределением, а не биномиальным. Однако, если N значительно больше, чем n, биномиальное распределение остаётся хорошим приближением и широко используется.

Функция массы вероятности

В общем случае, если случайная величина X следует биномиальному распределению с параметрами n ∈ и p ∈ [0,1], мы записываем X ~ B(n, p). Вероятность получения ровно k успехов в n независимых испытаниях Бернулли (с одинаковой вероятностью p) задается функцией массы вероятности:

для k = 0, 1, 2, ..., n, где

– биномиальный коэффициент, отсюда и название распределения. Формулу можно интерпретировать следующим образом: это вероятность получения последовательности из n испытаний Бернулли, в которой первые k испытаний являются «успехами», а остальные (последние) n-k испытаний – «неудачей». Поскольку испытания независимы и вероятности между ними остаются постоянными, любая последовательность (перестановка) из n испытаний с k успехами (и n-k неудачами) имеет одинаковую вероятность реализации (независимо от расположения успехов в последовательности). Существует таких последовательностей , поскольку определяет количество перестановок (возможных последовательностей) из n объектов двух типов, где k – количество объектов одного типа (и n-k – количество объектов другого типа, при этом под «типом» понимается совокупность идентичных объектов, а в данном случае двумя типами являются «успех» и «неудача»). Биномиальное распределение связано с вероятностью получения любой из этих последовательностей, то есть вероятность получения одной из них необходимо сложить раз, следовательно,

при создании справочных таблиц для вероятностей биномиального распределения обычно таблица заполняется до значений n/2. Это связано с тем, что для k > n/2 вероятность можно вычислить по формуле дополнения:

Рассматривая выражение f(k, n, p) как функцию от k, можно найти значение k, которое максимизирует ее. Это значение k можно определить, вычислив

и сравнив его с 1. Всегда существует целое число M, удовлетворяющее условию

f(k, n, p) монотонно возрастает при k < M и монотонно убывает при k > M, за исключением случая, когда (n + 1)p является целым числом. В этом случае существует два значения, при которых f достигает максимума: (n + 1)p и (n + 1)p − 1. M – наиболее вероятный исход (то есть наиболее ожидаемый, хотя он все равно может быть маловероятным в целом) испытаний Бернулли и называется модой. Эквивалентно, применяя функцию взятия целой части (floor), получаем

за исключением тривиального случая , который необходимо проверять отдельно.

Пример

Предположим, что при броске смещенной монеты вероятность выпадения орла равна 0,3. Вероятность увидеть ровно 4 орла в 6 бросках равна

Медиана

В общем, не существует единой формулы для нахождения медианы биномиального распределения, и она может быть даже не единственной. Однако, было установлено несколько частных случаев: Если *n* – целое число, то среднее значение, медиана и мода совпадают и равны *n*. Любая медиана *m* должна лежать в интервале [*0, n*]. Медиана *m* не может сильно отличаться от среднего значения: . Медиана единственна и равна *m* = round(*np*) когда *np* ≥ 1 (за исключением случая, когда *np* = 1 и *n* нечетно). Когда *np* = 1 и *n* нечетно, любое число *m* в интервале [*np*, *np* + 1] является медианой биномиального распределения. Если *np* = 1 и *n* четно, то *np* является единственной медианой.

Метод Вальда

Можно добавить поправку на непрерывность, равную 0,5/n.

Биномиальное распределение Пуассона

Биномиальное распределение является частным случаем распределения Пуассона-биномиального типа, которое описывает распределение суммы n независимых, но не одинаковых испытаний Бернулли с вероятностью успеха pi.

Соотношение двух биномиальных распределений

Этот результат был впервые получен Кацем и соавторами в 1978 году. Пусть X ~ B(n, p1) и Y ~ B(m, p2) независимы. Пусть T = (X/n) / (Y/m). Тогда log(T) приблизительно нормально распределен со средним log(p1/p2) и дисперсией ((1/p1) − 1)/n + ((1/p2) − 1)/m.

Распределение Бернулли

Распределение Бернулли является частным случаем биномиального распределения, при n = 1. Символически, X ~ B(1, p) означает то же самое, что и X ~ Bernoulli(p). Обратно, любое биномиальное распределение B(n, p) является распределением суммы n независимых испытаний Бернулли с вероятностью p, каждое из которых имеет одинаковую вероятность p.

Приближение Пуассона

Биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона при стремлении числа испытаний к бесконечности, при этом произведение np стремится к конечному пределу. Следовательно, распределение Пуассона с параметром λ = np можно использовать в качестве приближения к биномиальному распределению B(n, p), если n достаточно велико, а p достаточно мало. Согласно эмпирическим правилам, такое приближение хорошо, если n ≥ 20 и p ≤ 0,05, при этом np ≤ 1, или если n > 50 и p < 0,1, при этом np < 5, или если n ≥ 100 и np ≤ 10. Подробности о точности приближения Пуассона см. в работе Новак, глава 4, и ссылках в ней.

Ограничение распределения

Теорема Пуассона о предельном переходе: при стремлении n к бесконечности и p к нулю, при этом произведение np остаётся постоянным, биномиальное распределение (n, p) стремится к распределению Пуассона с математическим ожиданием λ = np. При использовании равномерного априорного распределения, апостериорное распределение вероятности успеха p, полученное на основе n независимых событий с k наблюдаемыми успехами, является бета-распределением.

Генерация случайных чисел

Методы генерации случайных чисел, для которых предельное распределение является биномиальным, хорошо разработаны. Один из способов генерации случайных выборок из биномиального распределения — использование алгоритма инверсии. Для этого необходимо вычислить вероятность Pr(X = k) для всех значений k от 0 до n. (Сумма этих вероятностей должна быть близка к единице, чтобы охватить все пространство возможных значений.) Затем, используя генератор псевдослучайных чисел для получения равномерно распределенных случайных чисел между 0 и 1, можно преобразовать полученные значения в дискретные числа, используя вероятности, вычисленные на первом шаге.

История

Это распределение было выведено Якобом Бернулли. Он рассмотрел случай, когда p = r/(r + s), где p — вероятность успеха, а r и s — положительные целые числа. Блез Паскаль ранее рассматривал случай, когда p = 1/2, и составил таблицу соответствующих биномиальных коэффициентов, которая теперь известна как треугольник Паскаля.