Введение

Периодический набор точек

В геометрии и теории групп решетка в реальном координатном пространстве — это бесконечное множество точек в этом пространстве, обладающее следующими свойствами: покомпонентное сложение или вычитание любых двух точек решетки дает другую точку решетки, все точки решетки разделены некоторым минимальным расстоянием, и каждая точка в пространстве находится на расстоянии не более некоторого максимального расстояния от точки решетки. Закрытость относительно сложения и вычитания означает, что решетка должна быть подгруппой аддитивной группы точек в пространстве, а требования к минимальному и максимальному расстояниям можно обобщить, сказав, что решетка является множеством Делоне. Более абстрактно, решетку можно описать как свободно абелеву группу размерности, которая порождает векторное пространство. Для любого базиса, подгруппа всех линейных комбинаций базисных векторов с целочисленными коэффициентами образует решетку, и любую решетку можно получить из базиса таким образом. Решетку можно рассматривать как регулярное замощение пространства элементарной ячейкой. Решетки имеют множество важных применений в чистой математике, особенно в связи с алгебрами Ли, теорией чисел и теорией групп. Они также возникают в прикладной математике в связи с теорией кодирования, в теории перколяции для изучения связности, возникающей из локальных взаимодействий, в криптографии из-за предполагаемой вычислительной сложности некоторых решетчатых задач, и используются различными способами в естественных науках. Например, в материаловедении и физике твердого тела решетка является синонимом каркаса кристаллической структуры, трехмерного массива регулярно расположенных точек, которые в особых случаях совпадают с положениями атомов или молекул в кристалле. Более общие решетчатые модели изучаются в физике, часто с использованием методов вычислительной физики.

Рассмотрение симметрии и примеры

Сетка — это группа симметрии дискретной трансляционной симметрии в n направлениях. Узор, обладающий такой решеткой трансляционной симметрии, не может иметь большей, но может иметь меньшей симметрии, чем сама решетка. Как группа (если отбросить её геометрическую структуру), решетка является конечно порожденной свободной абелевой группой и, следовательно, изоморфна к ℤⁿ. Решетка в смысле трехмерного массива регулярно расположенных точек, совпадающих, например, с положениями атомов или молекул в кристалле, или, в более общем случае, с орбитой группового действия при трансляционной симметрии, является сдвигом трансляционной решетки: косетом, который не обязан содержать начало координат и, следовательно, не обязан быть решеткой в предыдущем смысле. Простой пример решетки — это подгруппа ℤⁿ. Более сложные примеры включают решетку E8, которая является решеткой в ℝ⁸, и решетку Лича в ℝ²⁴. Периодическая решетка в ℂ является центральной для изучения эллиптических функций, разработанных в математике XIX века; она обобщается на более высокие измерения в теории абелевых функций. Решетки, называемые корневыми решетками, важны в теории простых алгебр Ли; например, решетка E8 связана с алгеброй Ли с тем же названием.

Точки решетки в выпуклых наборах

Теорема Минковского связывает число d и объем симметричного выпуклого множества S с количеством точек решетки, содержащихся в S. Количество точек решетки, содержащихся в политопе, все вершины которого являются элементами решетки, описывается полиномом Эрхарта этого политопа. Формулы для некоторых коэффициентов этого полинома также включают в себя d.

Вычислительные решетчатые задачи

У вычислительных задач на решетках много применений в информатике. Например, алгоритм приведения базиса решетки Ленстра — Ленстра — Ловаша (LLL) использовался в криптоанализе многих схем шифрования с открытым ключом, и известно, что многие криптографические схемы, основанные на решетках, являются безопасными при условии, что определенные задачи на решетках вычислительно сложны.

Трехмерные решетки

14 типов решёток в 3D называются решётками Браве. Они характеризуются своей пространственной группой. Трёхмерные структуры с трансляционной симметрией определённого типа не могут иметь большей, но могут иметь меньшей симметрии, чем сама решётка.

Решетки в сложном пространстве

Сетка в – это дискретная подгруппа , которая порождает как вещественное векторное пространство. Поскольку размерность как вещественного векторного пространства равна , сетка в будет свободной абелевой группой ранга . Например, гауссовы целые образуют сетку в , поскольку является базисом над .

В группах Лей

Более общим образом, решетка Γ в группе Ли G — это дискретная подгруппа, такая что факторпространство G/Γ имеет конечную меру, унаследованную от меры Хаара на G (левоинвариантной или правоинвариантной — определение не зависит от этого выбора). Это, безусловно, будет выполняться, когда G/Γ компактно, но это достаточное условие не является необходимым, что демонстрирует пример модулярной группы в SL2(R), которая является решеткой, но факторпространство которой не компактно (оно имеет куспиды). Существуют общие результаты, утверждающие существование решеток в группах Ли. Решетка называется равномерной или кокомпактной, если G/Γ компактно; в противном случае решетка называется неравномерной.

Связанные понятия

Примитивный элемент решётки — это элемент, который не является положительным целым кратным другого элемента решётки.