Введение
Описательная геометрия – это раздел геометрии, позволяющий представлять трехмерные объекты в двух измерениях с использованием определенного набора процедур. Полученные методы важны для инженерии, архитектуры, дизайна и искусства. Теоретическую основу описательной геометрии составляют плоские геометрические проекции. Самая ранняя известная публикация по данной технике – "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt" (Наблюдение за измерением с помощью циркуля и ватерпаса), опубликованная в Нюрнберге, Линии: 1525, Альбрехтом Дюрером. Итальянский архитектор Гуарино Гуарини также был пионером проективной и описательной геометрии, что видно из его работ "Placita Philosophica" (1665), "Euclides Adauctus" (1671) и "Architettura Civile" (1686 – не опубликована до 1737), предвосхитивших работы Гаспара Монжа (1746–1818), которому обычно приписывают изобретение описательной геометрии. Гаспар Монж обычно считается «отцом описательной геометрии» благодаря его разработкам в области решения геометрических задач. Его первые открытия были сделаны в 1765 году, когда он работал чертежником при строительстве военных укреплений, хотя его результаты были опубликованы позднее. Методы Монжа позволяют изобразить воображаемый объект таким образом, чтобы его можно было представить в трех измерениях. Все геометрические характеристики воображаемого объекта учитываются в истинном размере и форме и могут быть изображены с любой точки зрения в пространстве. Все изображения проецируются на двухмерную поверхность. Описательная геометрия использует технику создания изображения посредством воображаемых параллельных проекторов, исходящих из воображаемого объекта и пересекающих воображаемую плоскость проекции под прямым углом. Точки пересечения формируют желаемое изображение.
Descriptive geometry is the branch of geometry which allows the representation of three dimensional objects in two dimensions by using a specific set of procedures. The resulting techniques are important for engineering, architecture, design and in art. The theoretical basis for descriptive geometry is provided by planar geometric projections. The earliest known publication on the technique was "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt" (Observation of the measurement with the compass and spirit level), published in Linien, Nuremberg: 1525, by Albrecht Dürer. Italian architect Guarino Guarini was also a pioneer of projective and descriptive geometry, as is clear from his Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) and Architettura Civile (1686—not published until 1737), anticipating the work of Gaspard Monge (1746–1818), who is usually credited with the invention of descriptive geometry. Gaspard Monge is usually considered the "father of descriptive geometry" due to his developments in geometric problem solving. His first discoveries were in 1765 while he was working as a draftsman for military fortifications, although his findings were published later on. Monge's protocols allow an imaginary object to be drawn in such a way that it may be modeled in three dimensions. All geometric aspects of the imaginary object are accounted for in true size/to scale and shape, and can be imaged as seen from any position in space. All images are represented on a two dimensional surface. Descriptive geometry uses the image creating technique of imaginary, parallel projectors emanating from an imaginary object and intersecting an imaginary plane of projection at right angles. The cumulative points of intersections create the desired image.
Протоколы
Проецируйте два изображения объекта в произвольных, взаимно перпендикулярных направлениях. Каждый вид изображения охватывает три измерения пространства, два из которых отображаются в полном масштабе в виде взаимно перпендикулярных осей, а одно – как невидимая (точечная) ось, уходящая в глубину изображения. Каждый из двух смежных видов разделяет полномасштабное отображение одного из трех измерений пространства. Любой из этих видов может служить отправной точкой для третьего проецируемого вида. Третий вид может инициировать четвертую проекцию и так до бесконечности. Каждая из этих последовательных проекций представляет собой обходной поворот на 90° в пространстве для обзора объекта с другого направления. Каждая новая проекция использует измерение в полном масштабе, которое в предыдущем виде отображалось как точечное измерение. Для получения полномасштабного отображения этого измерения и размещения его в новом виде необходимо игнорировать предыдущий вид и перейти ко второму предыдущему виду, где это измерение отображается в полном масштабе. Каждый новый вид может быть создан путем проецирования в любом из бесконечного числа направлений, перпендикулярных предыдущему направлению проецирования. (Представьте себе множество направлений спиц колеса повозки, каждое из которых перпендикулярно направлению оси.) Результатом является последовательное обхождение вокруг объекта с поворотами на 90° и просмотр объекта с каждой точки обзора. Каждый новый вид добавляется как дополнительный вид к компоновке ортогональных проекций и отображается в виде "развертки модели стеклянной коробки". Помимо ортогональных проекций, шести стандартных основных видов (передний, правый, левый, верхний, нижний, задний), описательная геометрия стремится получить четыре основных решающих вида: истинную длину линии (т.е. размер в натуральную величину, без искажений), точечный вид (вид на конец) линии, истинную форму плоскости (т.е. размер в натуральную величину, без искажений) и краевой вид плоскости (т.е. вид плоскости, при котором линия взгляда перпендикулярна линии взгляда, связанной с линией взгляда, используемой для получения истинной формы плоскости). Они часто служат для определения направления проецирования для последующего вида. При последовательном обходе на 90° проецирование в любом направлении из точечного вида линии дает ее вид в истинную длину; проецирование в направлении, параллельном виду в истинную длину, дает ее точечный вид; проецирование точечного вида любой линии на плоскость дает краевой вид плоскости; проецирование в направлении, перпендикулярном краевому виду плоскости, дает вид в истинную форму (в масштабе). Эти различные виды могут быть использованы для решения инженерных задач, возникающих при применении принципов солидной геометрии.
Эвристика
Изучение описательной геометрии имеет эвристическую ценность. Оно развивает навыки визуализации и пространственного анализа, а также интуитивное понимание оптимального угла обзора для представления геометрической задачи с целью её решения. Примеры:
Найти кратчайший соединитель между двумя заданными кривыми PR и SU
Учитывая X, Y и Z координаты точек P, R, S и U, проекции 1 и 2 выполнены в масштабе на плоскостях XY и XZ соответственно. Для получения истинного вида (длина на проекции равна длине в трехмерном пространстве) одной из линий – в данном случае SU – строится проекция 3 с шарнирной линией H2,3, параллельной S2U2. Для получения вида в торце SU строится проекция 4 с шарнирной линией H3,4, перпендикулярной S3U3. Перпендикулярное расстояние d определяет кратчайшее расстояние между прямыми PR и SU. Для нахождения точек Q и T на этих прямых, соответствующих кратчайшему расстоянию, строится проекция 5 с шарнирной линией H4,5, параллельной P4R4, при этом P5R5 и S5U5 являются истинными видами (любая проекция вида в торце является истинным видом). Проецирование точек пересечения этих прямых, Q5 и T5, обратно на проекцию 1 (пунктирные линии и обозначения) позволяет определить их координаты по осям X, Y и Z.