Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математической области теории порядка часто говорят о функциях, сохраняющих определенные пределы, то есть определенные супремумы или инфимумы. Говоря упрощенно, эти функции отображают супремум/инфимум множества в супремум/инфимум его образа. В зависимости от типа множеств, для которых функция удовлетворяет этому свойству, она может сохранять конечные, направленные, непустые или произвольные супремумы или инфимумы. Каждое из этих требований естественно возникает и часто встречается во многих областях теории порядка, и существуют различные важные связи между этими понятиями и другими, такими как монотонность. Если свойство сохранения пределов инвертируется, так что существование пределов в области значений функции влечет существование пределов в области определения, то получаются функции, отражающие пределы. Цель данной статьи – уточнить определения этих базовых понятий, что необходимо, поскольку в литературе они не всегда представлены последовательно, а также предоставить общие результаты и объяснения по этим вопросам.
In the mathematical area of order theory, one often speaks about functions that preserve certain limits, i. e. certain suprema or infima. Roughly speaking, these functions map the supremum/infimum of a set to the supremum/infimum of the image of the set. Depending on the type of sets for which a function satisfies this property, it may preserve finite, directed, non empty, or just arbitrary suprema or infima. Each of these requirements appears naturally and frequently in many areas of order theory and there are various important relationships among these concepts and other notions such as monotonicity. If the implication of limit preservation is inverted, such that the existence of limits in the range of a function implies the existence of limits in the domain, then one obtains functions that are limit reflecting. The purpose of this article is to clarify the definition of these basic concepts, which is necessary since the literature is not always consistent at this point, and to give general results and explanations on these issues.
История и мотивация
Во многих специализированных областях теории порядка рассматриваются классы частично упорядоченных множеств, полных относительно определенных предельных конструкций. Например, в теории решёток изучаются порядки, в которых все конечные непустые множества имеют как наименьшую верхнюю грань, так и наибольшую нижнюю грань. В теории доменов, напротив, основное внимание уделяется частично упорядоченным множествам, в которых каждое направленное подмножество имеет супремум. Полные решётки и порядки с наименьшим элементом ("пустой супремум") приводят дополнительные примеры. Во всех этих случаях пределы играют центральную роль в соответствующих теориях, что подтверждается их интерпретациями в практических приложениях каждой дисциплины. Также представляет интерес определение подходящих отображений между такими порядками. С алгебраической точки зрения это означает поиск адекватных понятий гомоморфизмов для рассматриваемых структур. Это достигается путем рассмотрения функций, совместимых с конструкциями, характерными для соответствующих порядков. Например, гомоморфизмы решёток – это функции, сохраняющие непустые конечные супремумы и инфимумы, то есть образ супремума/инфимума двух элементов равен супремуму/инфимуму их образов. В теории доменов часто используются так называемые скоттовски непрерывные функции, сохраняющие все направленные супремумы. Основой для определений и терминологии, представленных ниже, является теория категорий, где пределы (и копределы) рассматриваются в более общем смысле. Категорическое понятие функторов, сохраняющих и отражающих пределы, полностью согласуется с теорией порядка, поскольку порядки можно рассматривать как малые категории, определяемые как частично упорядоченные категории с определённой дополнительной структурой.
In many specialized areas of order theory, one restricts to classes of partially ordered sets that are complete with respect to certain limit constructions. For example, in lattice theory, one is interested in orders where all finite non empty sets have both a least upper bound and a greatest lower bound. In domain theory, on the other hand, one focuses on partially ordered sets in which every directed subset has a supremum. Complete lattices and orders with a least element (the "empty supremum") provide further examples. In all these cases, limits play a central role for the theories, supported by their interpretations in practical applications of each discipline. One also is interested in specifying appropriate mappings between such orders. From an algebraic viewpoint, this means that one wants to find adequate notions of homomorphisms for the structures under consideration. This is achieved by considering those functions that are compatible with the constructions that are characteristic for the respective orders. For example, lattice homomorphisms are those functions that preserve non empty finite suprema and infima, i. e. the image of a supremum/infimum of two elements is just the supremum/infimum of their images. In domain theory, one often deals with so called Scott continuous functions that preserve all directed suprema. The background for the definitions and terminology given below is to be found in category theory, where limits (and co limits) in a more general sense are considered. The categorical concept of limit preserving and limit reflecting functors is in complete harmony with order theory, since orders can be considered as small categories defined as poset categories with defined additional structure.
Особые случаи
Некоторые частные случаи или свойства, вытекающие из описанной схемы, известны под другими названиями или имеют особое значение для определенных областей теории порядка. Например, функции, сохраняющие пупремум пустого множества, сохраняют наименьший элемент. Более того, в силу ранее описанной мотивации, многие функции, сохраняющие пределы, выступают в качестве специальных гомоморфизмов для некоторых структур порядка. Ниже приведены некоторые другие важные примеры.
Some special cases or properties derived from the above scheme are known under other names or are of particular importance to some areas of order theory. For example, functions that preserve the empty supremum are those that preserve the least element. Furthermore, due to the motivation explained earlier, many limit preserving functions appear as special homomorphisms for certain order structures. Some other prominent cases are given below.
Сохранение всех пределов
Интересная ситуация возникает, если функция сохраняет все супремумы (или инфимумы). Более точно, это выражается тем, что функция сохраняет все существующие супремумы (или инфимумы), и вполне возможно, что рассматриваемые частично упорядоченные множества не являются полными решетками. Например, (монотонные) связи Галуа обладают этим свойством. И наоборот, согласно теоретической теореме о сопряженных функторах, отображения, сохраняющие все супремумы/инфимумы, могут быть гарантированно частью единственной связи Галуа, при условии выполнения некоторых дополнительных требований.
An interesting situation occurs if a function preserves all suprema (or infima). More accurately, this is expressed by saying that a function preserves all existing suprema (or infima), and it may well be that the posets under consideration are not complete lattices. For example, (monotone) Galois connections have this property. Conversely, by the order theoretical Adjoint Functor Theorem, mappings that preserve all suprema/infima can be guaranteed to be part of a unique Galois connection as long as some additional requirements are met.
Скотт-продолжительность
Функции, сохраняющие направленные супремумы, называются Скотт-непрерывными или иногда просто непрерывными, если это не приводит к путанице с соответствующим понятием анализа и топологии. Аналогичное использование термина "непрерывная" для сохранения пределов также встречается в теории категорий.
Functions that preserve directed suprema are called Scott continuous or sometimes just continuous, if this does not cause confusions with the according concept of analysis and topology. A similar use of the term continuous for preservation of limits can also be found in category theory.
Важные свойства и результаты
Вышеуказанное определение сохранения пределов достаточно строгое. Действительно, любая функция, сохраняющая хотя бы супремум или инфимум двухэлементных цепей, то есть множеств из двух сопоставимых элементов, обязательно монотонна. Следовательно, все вышеупомянутые специальные свойства сохранения индуцируют монотонность. Основываясь на том, что некоторые пределы могут быть выражены через другие, можно вывести связи между свойствами сохранения. Например, функция f сохраняет направленные супремумы тогда и только тогда, когда она сохраняет супремумы всех идеалов. Более того, отображение f из полурешетки супремумов (так называемой sup-полурешетки), в которой существует каждый непустой конечный супремум, сохраняет произвольные супремумы тогда и только тогда, когда она сохраняет как направленные, так и конечные (возможно, пустые) супремумы. Однако неверно, что функция, сохраняющая все супремумы, также сохраняет все инфимумы или наоборот.
The above definition of limit preservation is quite strong. Indeed, every function that preserves at least the suprema or infima of two element chains, i. e. of sets of two comparable elements, is necessarily monotone. Hence, all the special preservation properties stated above induce monotonicity. Based on the fact that some limits can be expressed in terms of others, one can derive connections between the preservation properties. For example, a function f preserves directed suprema if and only if it preserves the suprema of all ideals. Furthermore, a mapping f from a poset in which every non empty finite supremum exists (a so called sup semilattice) preserves arbitrary suprema if and only if it preserves both directed and finite (possibly empty) suprema. However, it is not true that a function that preserves all suprema would also preserve all infima or vice versa.