Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Рет теориясының математикалық саласында белгілі бір шектерді сақтайтын функциялар туралы жиі айтылады, яғни белгілі бір жоғарғы немесе төменгі шектерді. Дәлірек айтқанда, мұндай функциялар жиынның жоғарғы/төменгі шегін сол жиынның бейнесінің жоғарғы/төменгі шегіне бейімдейді. Функцияның осы қасиетті қандай жиындар үшін орындалатынына байланысты, ол шекті, бағытталған, бос емес немесе кез келген жоғарғы немесе төменгі шектерді сақтауы мүмкін. Осы талаптардың әрқайсысы рет теориясының көптеген салаларында табиғи түрде кездеседі және жиі қолданылады, сондай-ақ осы ұғымдар мен монотондық сияқты басқа ұғымдар арасында маңызды байланыстар бар. Егер шек сақтау қағидасы кері қайтарылса, яғни функцияның мәндер жиынындағы шектердің болуы домендегі шектердің болуын білдірсе, онда шектерді шағылыстыратын функциялар пайда болады. Осы мақаланың мақсаты – осы негізгі ұғымдардың анықтамасын нақтылау, себебі әдебиетте осы мәселе бойынша үнемі келісім болмайды, сондай-ақ осы тақырыптар бойынша жалпы нәтижелер мен түсіндірмелер беру.
In the mathematical area of order theory, one often speaks about functions that preserve certain limits, i. e. certain suprema or infima. Roughly speaking, these functions map the supremum/infimum of a set to the supremum/infimum of the image of the set. Depending on the type of sets for which a function satisfies this property, it may preserve finite, directed, non empty, or just arbitrary suprema or infima. Each of these requirements appears naturally and frequently in many areas of order theory and there are various important relationships among these concepts and other notions such as monotonicity. If the implication of limit preservation is inverted, such that the existence of limits in the range of a function implies the existence of limits in the domain, then one obtains functions that are limit reflecting. The purpose of this article is to clarify the definition of these basic concepts, which is necessary since the literature is not always consistent at this point, and to give general results and explanations on these issues.
Негізгі фактілер және мотивация
Тәртіп теориясының көптеген мамандандырылған салаларында, белгілі бір шекті құрылымдарға қатысты толық болатын ішінара реттелген жиынтықтардың кластары қарастырылады. Мысалы, тор теориясында, барлық шекті бос емес жиынтықтардың ең кіші жоғарғы шегі және ең үлкен төменгі шегі болатын тәртіптерге қызығушылық танытылады. Ал домен теориясында, керісінше, әрбір бағытталған ішкі жиынның жоғарғы шегі болатын ішінара реттелген жиынтар зерттеледі. Толық торлар және ең кіші элементі бар тәртіптер ("бос жоғарғы шек") одан әрі мысалдар келтіреді. Бұл жағдайлардың барлығында, шектер осы теориялар үшін орталық рөл атқарады, әр саланың практикалық қолданыстағы түсіндірмелерімен байланысты. Сондай-ақ, мұндай тәртіптер арасындағы сәйкес келулерді анықтауға да қызығушылық бар. Алгебралық тұрғыдан алғанда, бұл қарастырылып отырған құрылымдар үшін гомоморфизмдердің тиісті ұғымдарын табуды білдіреді. Бұл, тиісті тәртіптерге тән құрылымдармен үйлесетін функцияларды қарастыру арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, торлы гомоморфизмдер – бос емес шекті жоғарғы және төменгі шектерді сақтайтын функциялар, яғни екі элементтің жоғарғы/төменгі шегінің бейнесі олардың бейнелерінің жоғарғы/төменгі шегіне тең болады. Домен теориясында, көбінесе барлық бағытталған жоғарғы шектерді сақтайтын Скотт үздіксіз функциялары қолданылады. Төменде келтірілген анықтамалар мен терминологияның негізі категориялар теориясында жатыр, онда шектер (және қосымша шектер) жалпы жағдайда қарастырылады. Шекті сақтайтын және шекті көрсететін функторлардың категориялық ұғымы тәртіп теориясымен толық үйлесімде, себебі тәртіптерді қосымша құрылыммен анықталған, ішкі жиын категориялары ретінде қарастыруға болады.
In many specialized areas of order theory, one restricts to classes of partially ordered sets that are complete with respect to certain limit constructions. For example, in lattice theory, one is interested in orders where all finite non empty sets have both a least upper bound and a greatest lower bound. In domain theory, on the other hand, one focuses on partially ordered sets in which every directed subset has a supremum. Complete lattices and orders with a least element (the "empty supremum") provide further examples. In all these cases, limits play a central role for the theories, supported by their interpretations in practical applications of each discipline. One also is interested in specifying appropriate mappings between such orders. From an algebraic viewpoint, this means that one wants to find adequate notions of homomorphisms for the structures under consideration. This is achieved by considering those functions that are compatible with the constructions that are characteristic for the respective orders. For example, lattice homomorphisms are those functions that preserve non empty finite suprema and infima, i. e. the image of a supremum/infimum of two elements is just the supremum/infimum of their images. In domain theory, one often deals with so called Scott continuous functions that preserve all directed suprema. The background for the definitions and terminology given below is to be found in category theory, where limits (and co limits) in a more general sense are considered. The categorical concept of limit preserving and limit reflecting functors is in complete harmony with order theory, since orders can be considered as small categories defined as poset categories with defined additional structure.
Ерекше жағдайлар
Жоғарыда аталған схемадан туындайтын кейбір ерекше жағдайлар немесе қасиеттер басқаша аталады немесе тәртіп теориясының кейбір салалары үшін айрықша маңызға ие. Мысалы, бос жоғарғы шекті сақтайтын функциялар – ең кіші элементті сақтайтын функциялар. Сонымен қатар, бұрын түсіндірілгендей, көптеген шектейтін функциялар белгілі бір тәртіптік құрылымдар үшін арнайы гомоморфизмдер түрінде кездеседі. Тағы да бірнеше маңызды жағдайлар төменде көрсетілген.
Some special cases or properties derived from the above scheme are known under other names or are of particular importance to some areas of order theory. For example, functions that preserve the empty supremum are those that preserve the least element. Furthermore, due to the motivation explained earlier, many limit preserving functions appear as special homomorphisms for certain order structures. Some other prominent cases are given below.
Барлық шектерді сақтау
Функция барлық жоғарғы (немесе төменгі) шектерін сақтаса, қызықты жағдай туындайды. Дәлірек айтқанда, бұл функцияның барлық қолданыстағы жоғарғы (немесе төменгі) шектерін сақтайтынын білдіреді, ал қарастырылып отырған жиындар толық торлар болмауы мүмкін. Мысалы, (монотонды) Галуа байланыстары осы қасиетке ие. Керісінше, реттік теориялық қосымша функтор теоремасы бойынша, барлық жоғарғы/төменгі шектерін сақтайтын бейнелеулер, егер қосымша талаптар орындалса, бірегей Галуа байланысының бір бөлігі болуы кепілденеді.
An interesting situation occurs if a function preserves all suprema (or infima). More accurately, this is expressed by saying that a function preserves all existing suprema (or infima), and it may well be that the posets under consideration are not complete lattices. For example, (monotone) Galois connections have this property. Conversely, by the order theoretical Adjoint Functor Theorem, mappings that preserve all suprema/infima can be guaranteed to be part of a unique Galois connection as long as some additional requirements are met.
Скотт-қатастығы
Бағытталған жоғары шекті сақтайтын функциялар Скотт үздіксіз деп аталады, немесе егер бұл талдау және топологияның тиісті ұғымдарымен шатасуға себеп болмаса, жай ғана үздіксіз деп аталады. Шекті сақтау үшін "үздіксіз" терминінің ұқсас қолданылуын категориялар теориясында да кездестіруге болады.
Functions that preserve directed suprema are called Scott continuous or sometimes just continuous, if this does not cause confusions with the according concept of analysis and topology. A similar use of the term continuous for preservation of limits can also be found in category theory.
Маңызды қасиеттері мен нәтижелері
Жоғарыдағы шек сақтау туралы анықтама өте қатаң. Шындығында, екі элементтік тізбектердің – яғни, екі салыстырылатын элементтер жиындарының – жоғарғы немесе төменгі шектерін сақтайтын кез келген функция міндетті түрде монотонды болады. Сондықтан, жоғарыда аталған барлық арнайы сақтау қасиеттері монотондылыққа алып келеді. Кейбір шектерді басқалары арқылы өрнектеуге болатынын ескере отырып, сақтау қасиеттері арасындағы байланыстарды табуға болады. Мысалы, f функциясы бағытталған жоғарғы шектерді сақтаса, онда ол барлық идеалдардың жоғарғы шектерін де сақтайды. Сонымен қатар, әрбір бос емес шекті жоғарғы шегі бар (sup semilattice деп аталатын) жиыннан f көшіруі, кез келген жоғарғы шекті сақтайды, егер және тек егер ол бағытталған және шекті (бос болуы мүмкін) жоғарғы шектерді сақтаса. Дегенмен, барлық жоғарғы шектерді сақтайтын функция барлық төменгі шектерді де сақтайды немесе керісінше деген тұжырым дұрыс емес.
The above definition of limit preservation is quite strong. Indeed, every function that preserves at least the suprema or infima of two element chains, i. e. of sets of two comparable elements, is necessarily monotone. Hence, all the special preservation properties stated above induce monotonicity. Based on the fact that some limits can be expressed in terms of others, one can derive connections between the preservation properties. For example, a function f preserves directed suprema if and only if it preserves the suprema of all ideals. Furthermore, a mapping f from a poset in which every non empty finite supremum exists (a so called sup semilattice) preserves arbitrary suprema if and only if it preserves both directed and finite (possibly empty) suprema. However, it is not true that a function that preserves all suprema would also preserve all infima or vice versa.