Введение

Система рассуждений о неопределенности – научная теория с таким названием.

Нечеткая логика – это форма многозначной логики, в которой значение истинности переменных может быть любым действительным числом между 0 и 1. Она используется для обработки понятия частичной истинности, где значение истинности может изменяться от полностью истинного до полностью ложного. В отличие от нее, в булевой логике значения истинности переменных могут принимать только целые значения 0 или 1. Термин "нечеткая логика" был введен в 1965 году математиком Лофти Задехом. Однако нечеткая логика изучалась с 1920-х годов как многозначная логика, в частности Лукашевичем и Тарским. Нечеткая логика основана на наблюдении, что люди принимают решения, основываясь на неточной и нечисловой информации. Нечеткие модели или нечеткие множества – это математические средства представления неопределенности и неточной информации (отсюда и термин "нечеткий"). Эти модели способны распознавать, представлять, обрабатывать, интерпретировать и использовать данные и информацию, которые являются неопределенными и лишены определенности. Нечеткая логика находит применение во многих областях, от теории управления до искусственного интеллекта.

Обзор

Классическая логика допускает только заключения, которые либо истинны, либо ложны. Однако существуют также утверждения с переменными ответами, которые можно встретить, например, при опросе группы людей для определения цвета. В таких случаях истина проявляется как результат рассуждений на основе неточных или неполных данных, где полученные ответы отображаются на спектре. Как степени истинности, так и вероятности варьируются от 0 до 1 и поэтому могут показаться одинаковыми на первый взгляд, но нечеткая логика использует степени истинности как математическую модель расплывчатости, а вероятность – как математическую модель незнания.

Применение истинных ценностей

Основное приложение может характеризовать различные поддиапазоны непрерывной переменной. Например, измерение температуры для антиблокировочной системы тормозов может иметь несколько отдельных функций принадлежности, определяющих конкретные температурные диапазоны, необходимые для правильного управления тормозами. Каждая функция сопоставляет одно и то же значение температуры со значением истинности в диапазоне от 0 до 1. Эти значения истинности затем могут быть использованы для определения того, как следует управлять тормозами. Теория нечетких множеств предоставляет способ представления неопределенности.

Языковые переменные

В приложениях нечеткой логики часто используются нечисловые значения для упрощения выражения правил и фактов. Лингвистическая переменная, такая как возраст, может принимать значения, такие как "молодой" и его антоним "старый". Поскольку естественные языки не всегда содержат достаточно терминов для выражения нечеткой шкалы значений, обычной практикой является модификация лингвистических значений с помощью прилагательных или наречий. Например, мы можем использовать ограничители "скорее" и "относительно" для создания дополнительных значений, таких как "скорее старый" или "относительно молодой".

Мамдани

Наиболее известной системой является система Мамдани, основанная на правилах. Она использует следующие этапы:
Нечеткое преобразование всех входных значений в нечеткие функции принадлежности. Выполнение всех применимых правил из базы правил для вычисления нечетких выходных функций. Дефузфикация нечетких выходных функций для получения четких выходных значений.

Такаги Сугено Кан (ТСК)

Система TSK похожа на Mamdani, но процесс дефаззификации включен в выполнение нечетких правил. Эти правила также адаптированы таким образом, что следствие правила представлено полиномиальной функцией (обычно постоянной или линейной). Примером правила с постоянным выходным значением может быть: ЕСЛИ температура ОЧЕНЬ ХОЛОДНАЯ = 2. В этом случае выход будет равен константе в следствии (например, 2). В большинстве случаев используется целая база правил, состоящая из двух или более правил. Если это так, то выход всей базы правил будет средним значением следствия каждого правила i (Yi), взвешенным в соответствии со значением принадлежности его антецедента (hi):

Примером правила с линейным выходным значением может быть: ЕСЛИ температура ОЧЕНЬ ХОЛОДНАЯ И влажность ВЫСОКАЯ = 2 * температура + 1 * влажность. В этом случае выход правила будет результатом функции в следствии. Переменные в функции представляют собой значения принадлежности после фаззификации, а не четкие значения. Как и ранее, если у нас есть целая база правил, состоящая из двух или более правил, общий выход будет средневзвешенным значением выходов каждого правила. Основное преимущество использования TSK по сравнению с Mamdani заключается в его вычислительной эффективности и хорошей работе в составе других алгоритмов, таких как ПИД-регулирование и алгоритмы оптимизации. Он также может гарантировать непрерывность выходной поверхности. Однако Mamdani более интуитивно понятен и удобен в использовании. Поэтому TSK обычно применяется в других сложных методах, таких как адаптивные нейро-нечеткие системы вывода.

Формирование консенсуса вводных данных и нечетких правил

Поскольку выход нечеткой системы является результатом согласования всех входных данных и всех правил, нечеткие логические системы могут стабильно работать даже при недоступности или недостоверности входных значений. К каждому правилу в базе правил можно опционально добавить веса, которые регулируют степень его влияния на выходные значения. Эти веса могут основываться на приоритете, надежности или согласованности каждого правила. Веса правил могут быть как статичными, так и динамически изменяться, в том числе на основе результатов, полученных из других правил.

Приложения

Нечеткая логика используется в системах управления, чтобы эксперты могли вносить расплывчатые правила, такие как "если поезд приближается к станции назначения и движется с высокой скоростью, увеличьте давление в тормозной системе"; эти расплывчатые правила затем могут быть количественно уточнены внутри системы. Многие из первых успешных применений нечеткой логики были реализованы в Японии. Первым заметным применением стала серия поездов Sendai Subway 1000, где нечеткая логика позволила улучшить экономичность, комфорт и точность хода. Она также использовалась для распознавания рукописного текста в карманных компьютерах Sony, систем помощи пилотированию вертолетов, управления системами метрополитена, повышения топливной эффективности автомобилей, управления стиральными машинами с одной кнопкой, автоматического регулирования мощности в пылесосах и раннего обнаружения землетрясений Институтом сейсмологии Бюро метеорологии Японии.

Искусственный интеллект

Нейронные сети, основанные на искусственном интеллекте и нечеткой логике, по сути являются одним и тем же – базовая логика нейронных сетей является нечеткой. Нейронная сеть принимает разнообразные входные данные с различными значениями, присваивает им разные веса относительно друг друга, многократно комбинирует промежуточные значения и в итоге приходит к решению с определенной величиной. Нигде в этом процессе нет ничего похожего на последовательность бинарных решений, характерных для четкой математики, компьютерного программирования и цифровой электроники. В 1980-х годах исследователи разделились во мнениях относительно наиболее эффективного подхода к машинному обучению: обучение деревьев решений или нейронные сети. Первый подход использует двоичную логику, соответствующую аппаратному обеспечению, на котором он работает, но, несмотря на значительные усилия, не привел к созданию интеллектуальных систем. Нейронные сети, напротив, позволили создать точные модели сложных ситуаций и вскоре нашли применение во множестве электронных устройств. Теперь их можно реализовывать непосредственно на аналоговых микросхемах, в отличие от предыдущих псевдоаналоговых реализаций на цифровых чипах. Большая эффективность этих схем компенсирует присущую аналоговым технологиям меньшую точность в различных областях применения.

Принятие медицинских решений

Нечеткая логика является важной концепцией в принятии медицинских решений. Поскольку медицинские данные могут быть субъективными или нечеткими, применение нечеткой логики в этой области обладает большим потенциалом для получения значительной пользы. Нечеткая логика может использоваться в различных аспектах процесса принятия медицинских решений, включая анализ медицинских изображений, анализ биомедицинских сигналов, сегментацию изображений или сигналов, а также извлечение и отбор признаков из изображений.

Основной вопрос в этой области заключается в том, какой объем полезной информации можно получить, используя нечеткую логику. Ключевая задача – получение необходимых нечетких данных, что особенно сложно, когда эти данные необходимо получать от людей (как правило, от пациентов). Как было отмечено, "границы возможного и невозможного в медицинской диагностике, иронично, сами по себе размыты". Хотя идея применения нечеткой логики в медицинском принятии решений многообещающа, подходы, основанные на нечеткой логике, все еще сталкиваются с рядом проблем в рамках принятия медицинских решений.

Диагностика с помощью компьютера на основе изображений

Одной из распространенных областей применения нечеткой логики является компьютерная помощь в диагностике заболеваний по изображениям в медицине. Компьютерная помощь в диагностике – это совокупность взаимосвязанных компьютерных инструментов, предназначенных для поддержки врачей в процессе принятия диагностических решений. Например, если врач обнаруживает образование, которое выглядит аномальным, но находится на очень ранней стадии развития, он может использовать компьютерную помощь в диагностике для его характеристики и определения его природы. Нечеткая логика может быть особенно эффективна для описания ключевых характеристик этого образования.

Нечеткие базы данных

После определения нечетких отношений становится возможной разработка нечетких реляционных баз данных. Первая нечеткая реляционная база данных, FRDB, была представлена в диссертации Марии Земанковой (1983). Впоследствии появились и другие модели, такие как модель Баклза-Петри, модель Прада-Тестамаля, модель Умано-Фуками или модель GEFRED, разработанная Дж. М. Медина, М. А. Вила и др. Были разработаны языки нечетких запросов, такие как SQLf, предложенный П. Боском и др., и FSQL, разработанный Дж. Галиндо и др. Эти языки определяют структуры для включения нечетких аспектов в SQL-запросы, такие как нечеткие условия, нечеткие операторы сравнения, нечеткие константы, нечеткие ограничения, нечеткие пороговые значения, лингвистические метки и т.д.

Логический анализ

В математической логике существует несколько формальных систем "нечеткой логики", большинство из которых относятся к семейству t-нормальных нечетких логик.

Продикаты нечеткой логики

Подобно тому, как предикатная логика создается из пропозициональной логики, предикатные нечеткие логики расширяют нечеткие системы универсальными и экзистенциальными кванторами. Семантика универсального квантора в нечетких логиках с t-нормой является инфимумом степеней истинности экземпляров квантифицированной подформулы, а семантика экзистенциального квантора – супремумом тех же степеней.

Вопросы решительности

Понятия "решаемого подмножества" и "рекурсивно перечисляемого подмножества" являются базовыми для классической математики и классической логики. Таким образом, вопрос о подходящем расширении этих понятий на теорию нечетких множеств является ключевым. Первое предложение в этом направлении было сделано Э. С. Сантосом с помощью понятий нечеткой машины Тьюринга, нормального нечеткого алгоритма Маркова и нечеткой программы (см. Сантос, 1970). Впоследствии Л. Биачино и Г. Герла утверждали, что предложенные определения вызывают серьезные сомнения. Например, показано, что нечеткие машины Тьюринга неадекватны для теории нечетких языков, поскольку существуют естественные нечеткие языки, интуитивно вычислимые, которые не могут быть распознаны нечеткой машиной Тьюринга. Затем они предложили следующие определения. Обозначим через Ü множество рациональных чисел в [0,1]. Тогда нечеткое подмножество s : S → [0,1] множества S является рекурсивно перечислимым, если существует рекурсивное отображение h : S × N → Ü, такое что для каждого x из S функция h(x,n) возрастает относительно n и s(x) = lim h(x,n). Говорят, что s является решимым, если и s, и его дополнение –s рекурсивно перечислимы. Возможно расширение этой теории на общий случай подмножеств L (см. Герла, 2006). Предложенные определения тесно связаны с нечеткой логикой. Действительно, справедлива следующая теорема (при условии, что аппарат дедукции рассматриваемой нечеткой логики удовлетворяет некоторому очевидному свойству эффективности). Любая "аксиоматизируемая" нечеткая теория является рекурсивно перечислимой. В частности, нечеткое множество логически истинных формул рекурсивно перечислимо, несмотря на то, что четкое множество валидных формул, как правило, не является рекурсивно перечислимым. Более того, любая аксиоматизируемая и полная теория является решимой. Открытым вопросом является обоснование "тезиса Черча" для нечеткой математики, и предлагаемое понятие рекурсивной перечислимости для нечетких подмножеств представляется адекватным. Для решения этой задачи необходимо расширение понятий нечеткой грамматики и нечеткой машины Тьюринга. Другой открытый вопрос заключается в том, чтобы, исходя из этого понятия, найти расширение теорем Гёделя на нечеткую логику.

Вероятность

Нечеткая логика и вероятность имеют дело с разными формами неопределенности. Хотя и нечеткая логика, и теория вероятностей могут представлять степень определенного типа субъективного убеждения, теория нечетких множеств использует концепцию принадлежности к нечетким множествам, то есть, насколько наблюдение соответствует нечетко определенному множеству, а теория вероятностей использует концепцию субъективной вероятности, то есть, частоту появления или вероятность наступления какого-либо события или условия. Концепция нечетких множеств была разработана в середине двадцатого века в Беркли как ответ на отсутствие теории вероятностей для совместного моделирования неопределенности и расплывчатости. Барт Коско утверждает в книге «Нечеткость против вероятности», что теория вероятностей является подтеорией нечеткой логики, поскольку вопросы о степени уверенности во взаимоисключающей принадлежности к множеству в теории вероятностей могут быть представлены как частные случаи не взаимоисключающей градуированной принадлежности в нечеткой теории. В этом контексте он также выводит теорему Байеса из концепции нечеткой подмножественности. Лотфи А. Заде утверждает, что нечеткая логика отличается по своей природе от вероятности и не является ее заменой. Он обобщил вероятность до нечеткой вероятности и также расширил ее до теории возможностей. В более широком смысле, нечеткая логика является одним из многих различных расширений классической логики, предназначенных для решения проблем неопределенности, выходящих за рамки классической логики, неприменимости теории вероятностей во многих областях и парадоксов теории Демпстера-Шейфера.

Экоритмы

Теоретик вычислений Лесли Валиант использует термин "экорифмы" для описания того, как менее точные системы и методы, такие как нечеткая логика (и "менее устойчивая" логика), могут быть применены к алгоритмам обучения. Валиант по сути переопределяет машинное обучение как эволюционный процесс. В широком смысле, экорифмы – это алгоритмы, которые учатся на основе взаимодействия со сложными средами (отсюда и "эко") для обобщения, аппроксимации и упрощения логики решения. Подобно нечеткой логике, они используются для работы с непрерывными переменными или системами, которые слишком сложны для полного перечисления или дискретного и точного понимания. Экорифмы и нечеткая логика также обладают общим свойством оперировать скорее возможностями, чем вероятностями, хотя обратная и прямая связь, по сути, стохастические веса, являются характерной чертой обоих при работе, например, с динамическими системами.

Логика Гёделя G∞

Другой логической системой, где значения истинности являются вещественными числами между 0 и 1, а операторы И & ИЛИ заменяются функциями MIN и MAX, является логика Гёделя G∞. Эта логика имеет много общего с нечёткой логикой, но определяет отрицание иначе и обладает внутренней импликацией. Отрицание и импликация определяются следующим образом:

что превращает полученную логическую систему в модель интуиционистской логики, делая её особенно хорошо определённой среди всех возможных логических систем с вещественными числами между 0 и 1 в качестве значений истинности. В этом случае импликация может интерпретироваться как «x менее истинно, чем y», а отрицание — как «x менее истинно, чем 0» или «x строго ложно», и для любых x и y выполняется условие: В частности, в логике Гёделя отрицание больше не является инволюцией, и двойное отрицание отображает любое ненулевое значение в 1.

Компенсационная нечеткая логика

Компенсаторная нечеткая логика (CFL) — это раздел нечеткой логики с модифицированными правилами для конъюнкции и дизъюнкции. Когда значение истинности одного компонента конъюнкции или дизъюнкции увеличивается или уменьшается, другой компонент уменьшается или увеличивается в качестве компенсации. Это увеличение или уменьшение значения истинности может быть скомпенсировано изменением другого компонента. Компенсация может быть заблокирована при достижении определенных пороговых значений. Сторонники утверждают, что CFL обеспечивает более адекватное вычислительное семантическое поведение и имитирует естественный язык. Согласно Хесусу Сехасу Монтеро (2011), компенсаторная нечеткая логика состоит из четырех непрерывных операторов: конъюнкция (c); дизъюнкция (d); нечеткий строгий порядок (or); и отрицание (n). Конъюнкция является геометрическим средним и его двойственным оператором, выступающим в качестве конъюнктивного и дизъюнктивного оператора.

Стандартизация языка разметки

IEEE 1855, IEEE STANDARD 1855–2016 – это спецификация языка под названием Fuzzy Markup Language (FML), разработанного Ассоциацией стандартов IEEE. FML позволяет моделировать систему нечеткой логики в удобочитаемом для человека и аппаратно-независимом формате. FML основан на eXtensible Markup Language (XML). Разработчики нечетких систем, использующие FML, получают унифицированную и высокоуровневую методологию для описания совместимых нечетких систем. IEEE STANDARD 1855–2016 использует язык определения схем XML (XML Schema) W3C для определения синтаксиса и семантики программ FML. До появления FML специалисты по нечеткой логике могли обмениваться информацией о своих алгоритмах, добавляя в свои программные функции возможность чтения, корректного разбора и хранения результатов своей работы в формате, совместимом с языком нечеткого управления (FCL), описанным и определенным в части 7 IEC 61131.