Введение
В теории групп, класс эквивалентности по отношению сопряженности.
В математике, особенно в теории групп, два элемента *a* и *b* группы называются сопряжёнными, если существует элемент *g* в группе такой, что *b* = *g*⁻¹*a*g. Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются классами сопряжённости. Иными словами, каждый класс сопряжённости замкнут относительно операции группы для всех элементов группы. Элементы одного и того же класса сопряжённости нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они обладают многими общими свойствами. Изучение классов сопряжённости неабелевых групп является фундаментальным для изучения их структуры. Для абелевой группы каждый класс сопряжённости представляет собой множество, содержащее один элемент (одноэлементное множество). Функции, которые постоянны для элементов одного и того же класса сопряжённости, называются классовыми функциями.
Определение
Пусть G – группа. Два элемента x и y называются сопряжёнными, если существует элемент g такой, что y = gxg⁻¹, в этом случае y называется сопряжённым к x, а g – сопрягающим элементом.
In the case of the general linear group of invertible matrices, the conjugacy relation is called matrix similarity. It can be easily shown that conjugacy is an equivalence relation and therefore partitions into equivalence classes. (This means that every element of the group belongs to precisely one conjugacy class, and the classes and are equal if and only if and are conjugate, and disjoint otherwise.) The equivalence class that contains the element is
and is called the conjugacy class of The class number of is the number of distinct (nonequivalent) conjugacy classes. All elements belonging to the same conjugacy class have the same order. Conjugacy classes may be referred to by describing them, or more briefly by abbreviations such as "6A", meaning "a certain conjugacy class with elements of order 6", and "6B" would be a different conjugacy class with elements of order 6; the conjugacy class 1A is the conjugacy class of the identity which has order 1. In some cases, conjugacy classes can be described in a uniform way; for example, in the symmetric group they can be described by cycle type.
В случае общей линейной группы GL(n) инвертируемых матриц, отношение сопряжённости называется матричной подобием. Легко показать, что сопряжённость является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает G на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряжённости, и классы x^G и y^G равны тогда и только тогда, когда x и y сопряжены, и различны в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент x, равен x^G = {gxg⁻¹ | g ∈ G} и называется классом сопряжённости элемента x. Число классов G – это количество различных (неэквивалентных) классов сопряжённости. Все элементы, принадлежащие одному и тому же классу сопряжённости, имеют один и тот же порядок. Классы сопряжённости могут обозначаться их описанием или более кратко аббревиатурами, такими как "6A", что означает "определённый класс сопряжённости с элементами порядка 6", а "6B" будет другим классом сопряжённости с элементами порядка 6; класс сопряжённости 1A – это класс сопряжённости единичного элемента, который имеет порядок 1. В некоторых случаях классы сопряжённости можно описать единообразным образом; например, в симметрической группе они могут быть описаны типом циклов.
In the case of the general linear group of invertible matrices, the conjugacy relation is called matrix similarity. It can be easily shown that conjugacy is an equivalence relation and therefore partitions into equivalence classes. (This means that every element of the group belongs to precisely one conjugacy class, and the classes and are equal if and only if and are conjugate, and disjoint otherwise.) The equivalence class that contains the element is
and is called the conjugacy class of The class number of is the number of distinct (nonequivalent) conjugacy classes. All elements belonging to the same conjugacy class have the same order. Conjugacy classes may be referred to by describing them, or more briefly by abbreviations such as "6A", meaning "a certain conjugacy class with elements of order 6", and "6B" would be a different conjugacy class with elements of order 6; the conjugacy class 1A is the conjugacy class of the identity which has order 1. In some cases, conjugacy classes can be described in a uniform way; for example, in the symmetric group they can be described by cycle type.
Геометрическая интерпретация
Классы сопряжённости в фундаментальной группе связного топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель относительно свободной гомотопии.
Класс конъюгации и необратимые представления в конечной группе
В любой конечной группе число неизоморфных неприводимых представлений над комплексными числами равно числу классов сопряженности.