Введение

Набор значений, удовлетворяющих заданному набору уравнений.

В математике, множество решений — это набор значений, которые удовлетворяют заданному набору уравнений или неравенств. Например, для множества {fᵢ} многочленов над кольцом R, множество решений является подмножеством R, на котором все многочлены обращаются в ноль (принимают значение 0), формально:
{x ∈ R : ∀ i ∈ I, fᵢ(x) = 0}.

Область допустимых решений задачи оптимизации с ограничениями является множеством решений этих ограничений.

Примеры

Множество решений единственного уравнения — множество {0}. Для любого ненулевого многочлена над комплексными числами от одной переменной множество решений состоит из конечного числа точек. Однако для комплексного многочлена от нескольких переменных множество решений не содержит изолированных точек.

Замечания

В алгебраической геометрии множества решений называются алгебраическими, если они заданы только уравнениями, без неравенств. Над действительными числами, с использованием неравенств, такие множества называются полуалгебраическими.

Другие значения

Более общим образом, множество решений произвольного набора E отношений (Ei) (i, изменяющегося в некотором индексном множестве I) для набора неизвестных, предполагаемых принимать значения в соответствующих пространствах, является множеством S всех решений отношений E, где решение представляет собой семейство значений, такое, что подстановка вместо неизвестных в наборе E делает все отношения истинными. (Вместо отношений, зависящих от неизвестных, более корректно говорить о предикатах, набор E является их логической конъюнкцией, а множество решений – прообразом булевого значения "истина" относительно соответствующей булевозначной функции.) Вышеописанное понимание является частным случаем этого, если множество многочленов fi интерпретировать как множество уравнений fi(x) = 0.

Примеры

Набор решений для E = { x+y = 0 } относительно – это S = { (a,−a) : a ∈ R }. Набор решений для E = { x+y = 0 } относительно – это S = { −y }. (Здесь y не "объявлено" как неизвестное и, следовательно, рассматривается как параметр, от которого зависит уравнение и, как следствие, множество решений.) Множество решений для – относительно – является интервалом S = [0,2] (поскольку не определено для отрицательных значений x). Множество решений для – относительно – является S = 2πZ (см. тождество Эйлера).