Введение

Специальная функция, определяемая интегралом. В интегральном исчислении эллиптический интеграл — это одна из ряда связанных функций, определяемых как значение определенных интегралов, которые впервые были изучены Джулио Фагнано и Леонардом Эйлером (около 1750 года). Их название происходит от первоначальной связи с задачей определения длины дуги эллипса. Современная математика определяет "эллиптический интеграл" как любую функцию f, которую можно представить в виде

где R — рациональная функция двух аргументов, P — полином степени 3 или 4 без кратных корней, а c — константа. В общем случае интегралы в этой форме нельзя выразить через элементарные функции. Исключения составляют случаи, когда P имеет кратные корни, или когда R(x, y) не содержит нечетных степеней y, либо если интеграл является псевдоэллиптическим. Однако, с помощью подходящей формулы приведения, любой эллиптический интеграл можно привести к виду, включающему интегралы от рациональных функций и три канонические формы Лежандра (то есть эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода). Помимо формы Лежандра, представленной ниже, эллиптические интегралы также могут быть выражены в симметричной форме Карлсона. Более глубокое понимание теории эллиптических интегралов можно получить, изучая отображение Шварца — Кристоффеля. Исторически эллиптические функции были открыты как обратные функции к эллиптическим интегралам.

Асимптотические выражения

Это приближение обладает относительной точностью лучше 3 для [значения], при этом сохранение только первых двух членов обеспечивает точность до 0.01 для [значения].

Производные и дифференциальные уравнения

Второе решение этого уравнения — .