Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Отношение двух чисел и их наибольшего общего делителя. Теорема Безу в арифметике
Relating two numbers and their greatest common divisor
Bézout's theorem in arithmetic
В математике тождество Безу (также называемое леммой Безу), названное в честь Этьена Безу, который доказал его для полиномов, формулируется следующим образом:
In mathematics, Bézout's identity (also called Bézout's lemma), named after Étienne Bézout who proved it for polynomials, is the following theorem:
Здесь наибольший общий делитель 0 и 0 принимается равным 0. Целые числа x и y называются коэффициентами Безу для (a, b); они не единственны. Пара коэффициентов Безу может быть вычислена с помощью расширенного алгоритма Евклида, и эта пара, в случае целых чисел, является одной из двух пар, удовлетворяющих условию и ; равенство достигается только в том случае, если одно из чисел a и b делится на другое. Например, наибольший общий делитель 15 и 69 равен 3, и 3 можно представить в виде линейной комбинации 15 и 69: 3 = 15 × (−9) + 69 × 2, где коэффициенты Безу равны −9 и 2. Многие другие теоремы в элементарной теории чисел, такие как лемма Евклида или китайская теорема об остатках, вытекают из тождества Безу. Область Безу — это целостная область, в которой выполняется тождество Безу. В частности, тождество Безу выполняется в областях главных идеалов. Следовательно, любая теорема, вытекающая из тождества Безу, верна во всех областях главных идеалов.
Here the greatest common divisor of 0 and 0 is taken to be 0. The integers x and y are called Bézout coefficients for (a, b); they are not unique. A pair of Bézout coefficients can be computed by the extended Euclidean algorithm, and this pair is, in the case of integers one of the two pairs such that and ; equality occurs only if one of a and b is a multiple of the other. As an example, the greatest common divisor of 15 and 69 is 3, and 3 can be written as a combination of 15 and 69 as 1=3 = 15 × (−9) + 69 × 2, with Bézout coefficients −9 and 2. Many other theorems in elementary number theory, such as Euclid's lemma or the Chinese remainder theorem, result from Bézout's identity. A Bézout domain is an integral domain in which Bézout's identity holds. In particular, Bézout's identity holds in principal ideal domains. Every theorem that results from Bézout's identity is thus true in all principal ideal domains.
Пример
Пусть a = 12 и b = 42, тогда gcd(12, 42) = 6. Далее, получаем следующие тождества Безу, где коэффициенты Безу, соответствующие минимальным парам, выделены красным цветом, а остальные – синим. Если (x, y) = (18, −5) – исходная пара коэффициентов Безу, то минимальные пары получаются при k = 2 и k = 3, соответственно; то есть (18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1) и (18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1).
Let 1=a = 12 and 1=b = 42, then 1=gcd (12, 42) = 6. Then the following Bézout's identities are had, with the Bézout coefficients written in red for the minimal pairs and in blue for the other ones. If 1=(x, y) = (18, −5) is the original pair of Bézout coefficients, then yields the minimal pairs via 1=k = 2, respectively 1=k = 3; that is, 1=(18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1), and 1=(18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1).
История
Французский математик Этьен Безу (1730–1783) доказал это тождество для полиномов. Это утверждение для целых чисел уже встречается в трудах более раннего французского математика Клода Гаспара Баше де Мезириака (1581–1638).
French mathematician Étienne Bézout (1730–1783) proved this identity for polynomials. This statement for integers can be found already in the work of an earlier French mathematician, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).