Введение

Комплексное число, являющееся корнем ненулевого многочлена от одной переменной с рациональными коэффициентами.

Алгебраическое число — это число, являющееся корнем ненулевого многочлена от одной переменной с целыми (или, эквивалентно, рациональными) коэффициентами. Например, золотое сечение, φ, является алгебраическим числом, поскольку оно является корнем многочлена x² - x - 1 = 0. То есть, это такое значение x, при котором многочлен обращается в нуль. В качестве другого примера, комплексное число i является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x² + 1 = 0. Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел. Реальные и комплексные числа, которые не являются алгебраическими, такие как π и e (математическая константа), называются трансцендентными числами. Множество алгебраических чисел счетно бесконечно и имеет меру нуль в мере Лебега как подмножество несчётных комплексных чисел. В этом смысле, почти все комплексные числа являются трансцендентными.

Свойства

Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель, то полученный многочлен с целыми коэффициентами будет иметь те же корни. Это показывает, что алгебраическое число можно эквивалентно определить как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Для любого алгебраического числа существует единственный моничный многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени, имеющий это число в качестве корня. Этот многочлен называется его минимальным многочленом. Если минимальный многочлен имеет степень n, то говорят, что алгебраическое число имеет степень n. Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным числом. Алгебраические числа плотны в множестве действительных чисел. Это следует из того факта, что они содержат рациональные числа, которые сами плотны в множестве действительных чисел. Множество алгебраических чисел счетно, и поэтому его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в множестве комплексных чисел). Иными словами, "почти все" действительные и комплексные числа являются трансцендентными. Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны. Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба числа a и b являются алгебраическими.

Поле

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) двух алгебраических чисел снова являются алгебраическими, что можно показать с помощью результирующего многочлена, и алгебраические числа таким образом образуют поле (иногда обозначаемое , но обычно это обозначает кольцо аделей). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициенты которого — алгебраические числа, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто. Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.

Числа, определяемые радикалами

Любое число, которое можно получить из целых чисел с помощью конечного числа сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечения (возможно, комплексных) корней n-й степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Однако обратное неверно: существуют алгебраические числа, которые нельзя получить таким образом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. уравнения пятой степени и теорему Абеля — Руффини). Например, уравнение:

имеет единственный вещественный корень, который нельзя выразить только с помощью радикалов и арифметических операций.

Номер закрытой формы

Алгебраические числа – это все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, начиная с рациональных чисел. Это понятие можно обобщить до "чисел в замкнутой форме", которые могут быть определены различными способами. В самом широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, экспонент и логарифмов, называются "элементарными числами" и включают в себя алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В наиболее узком смысле рассматриваются числа, явно определенные с помощью полиномов, экспонент и логарифмов – это не включает в себя все алгебраические числа, но включает некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2.

Алгебраические целые числа

Алгебраическое целое число — это алгебраическое число, являющееся корнем многочлена с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 (моник). Примеры алгебраических целых чисел — √2 и √3. Следовательно, алгебраические целые числа составляют собственное надмножество целых чисел, поскольку последние являются корнями моник-многочленов вида x − k для всех целых k. В этом смысле, алгебраические целые числа по отношению к алгебраическим числам аналогичны целым числам по отношению к рациональным числам. Сумма, разность и произведение алгебраических целых чисел снова являются алгебраическими целыми числами, что означает, что алгебраические целые числа образуют кольцо. Название «алгебраическое целое» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, являющимися алгебраическими целыми числами, являются целые числа, и потому что алгебраические целые числа в любом числовом поле во многом аналогичны обычным целым числам. Если K — числовое поле, то его кольцо целых чисел — это подкольцо алгебраических целых чисел в K, которое часто обозначается как O<sub>K</sub>. Это прототипические примеры областей Дедекинда.