Введение

Число с действительной и мнимой частью

В математике, комплексное число — это элемент системы чисел, расширяющей множество действительных чисел с помощью специального элемента, обозначаемого i, называемого мнимой единицей и удовлетворяющего уравнению ; каждое комплексное число может быть выражено в форме , где a и b — действительные числа. Поскольку ни одно действительное число не удовлетворяет вышеуказанному уравнению, Рене Декарт назвал i воображаемым числом. Для комплексного числа , a называется действительной частью, а b — мнимой частью. Множество комплексных чисел обозначается одним из символов или "C". Несмотря на историческую номенклатуру, "воображаемые" комплексные числа имеют математическое существование, столь же надёжное, как и у действительных чисел, и являются фундаментальными инструментами в научном описании естественного мира. Комплексные числа позволяют находить решения всех полиномиальных уравнений, даже тех, которые не имеют решений в действительных числах. Более точно, основная теорема алгебры утверждает, что каждое неконстантное полиномиальное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет решение, являющееся комплексным числом. Например, уравнение не имеет действительного решения, поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, но имеет два комплексных решения, не являющихся действительными, и . Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел могут быть определены естественным образом с использованием правила наряду с ассоциативными, коммутативными и дистрибутивными законами. Каждое ненулевое комплексное число имеет мультипликативный обратный элемент. Это делает комплексные числа полем, в котором множество действительных чисел является подполем. Комплексные числа также образуют действительное векторное пространство размерности два, с в качестве стандартного базиса. Этот стандартный базис делает комплексные числа декартовой плоскостью, называемой комплексной плоскостью. Это позволяет геометрически интерпретировать комплексные числа и их операции, и наоборот, некоторые геометрические объекты и операции могут быть выражены в терминах комплексных чисел. Например, действительные числа образуют действительную ось, которая изображается как горизонтальная ось комплексной плоскости, в то время как действительные кратные числа образуют вертикальную ось. Комплексное число также может быть определено его геометрическими полярными координатами: радиус называется абсолютной величиной комплексного числа, а угол от положительной действительной оси — аргументом комплексного числа. Комплексные числа с абсолютной величиной, равной единице, образуют единичную окружность. Добавление фиксированного комплексного числа ко всем комплексным числам определяет сдвиг в комплексной плоскости, а умножение на фиксированное комплексное число — подобие с центром в начале координат (масштабирование на абсолютную величину и вращение на аргумент). Операция комплексного сопряжения — это зеркальная симметрия относительно действительной оси. Комплексные числа образуют богатую структуру, которая одновременно является алгебраически замкнутым полем, коммутативной алгеброй над действительными числами и евклидовым векторным пространством размерности два.

Основная теорема алгебры

Фундаментальная теорема алгебры, сформулированная Карлом Фридрихом Гауссом и Жаном Ле Роном д’Аламбером, утверждает, что для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами) a0, …, an уравнение

имеет хотя бы одно комплексное решение z, при условии, что хотя бы один из старших коэффициентов a1, …, an не равен нулю. Это свойство не выполняется для поля рациональных чисел (полином x^(2) − 2 не имеет рационального корня, поскольку √2 не является рациональным числом) и не выполняется для поля действительных чисел (полином x^(2) + 4 не имеет действительного корня, поскольку квадрат x положителен для любого действительного числа x). В связи с этим, поле комплексных чисел называется алгебраически замкнутым полем. Это краеугольный камень различных приложений комплексных чисел, что подробно описано ниже. Существуют различные доказательства этой теоремы, использующие аналитические методы, такие как теорема Лиувиля, или топологические методы, такие как индекс намотки, или доказательство, объединяющее теорию Галуа и тот факт, что любой полином с действительными коэффициентами нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Абстрактные алгебраические аспекты

В то время как вышеприведенные определения низкого уровня, включая сложение и умножение, точно описывают комплексные числа, существуют другие, эквивалентные подходы, которые сразу же демонстрируют абстрактную алгебраическую структуру комплексных чисел.

Комплексный анализ

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение в прикладной математике, а также в других областях математики. Зачастую, наиболее естественные доказательства утверждений в вещественном анализе или даже теории чисел используют методы комплексного анализа (например, теорему о простых числах). В отличие от вещественных функций, которые обычно представляются в виде двухмерных графиков, комплексные функции имеют четырехмерные графики и могут быть полезно проиллюстрированы цветовой кодировкой трехмерного графика для отображения четырех измерений или анимацией динамического преобразования комплексной функции на комплексной плоскости.

Комплекс синуса и косинуса

Ряд, определяющий действительные тригонометрические функции синус и косинус, а также гиперболические функции sinh и cosh, без изменений переносится и на комплексные аргументы. Для остальных тригонометрических и гиперболических функций, таких как тангенс, ситуация несколько сложнее, поскольку определяющие ряды не сходятся для всех комплексных значений. Поэтому их необходимо определять либо через синус, косинус и экспоненту, либо, что эквивалентно, методом аналитического продолжения.

Приложения

Комплексные числа находят применение во многих научных областях, включая обработку сигналов, теорию управления, электромагнетизм, гидродинамику, квантовую механику, картографию и анализ колебаний. Некоторые из этих применений описаны ниже. Комплексное сопряжение также используется в инверсивной геометрии – разделе геометрии, изучающем обобщённые отражения, не ограничивающиеся отражениями относительно прямой. При анализе электрических цепей комплексное сопряжение применяется для определения эквивалентного импеданса при поиске максимальной мощности, передаваемой в цепь.

Формы

Три неколлинеарных точки на плоскости определяют форму треугольника. Если расположить эти точки на комплексной плоскости, то эта форма треугольника может быть выражена с помощью операций с комплексными числами.

Форма треугольника останется неизменной при преобразовании комплексной плоскости посредством сдвига или масштабирования (аффинного преобразования), что соответствует интуитивному понятию формы и описывает подобие. Таким образом, каждый треугольник принадлежит классу подобия треугольников с одинаковой формой.

Фрактальная геометрия

Множество Мандельброта — популярный пример фрактала, образованного на комплексной плоскости. Оно определяется отображением всех точек, для которых последовательность итераций не расходится при бесконечном числе итераций. Подобным образом, множества Жулиа подчиняются тем же правилам, но с постоянным значением .

Треугольники

Каждый треугольник имеет уникальную эллипсу Штейнера – эллипс, расположенный внутри треугольника и касающийся середин сторон треугольника. Очаги эллипсы Штейнера треугольника можно найти следующим образом, согласно теореме Мардена: обозначим вершины треугольника в комплексной плоскости как 1=a = xA + yAi, 1=b = xB + yBi и 1=c = xC + yCi. Запишем кубическое уравнение, найдем его производную и приравняем (квадратичную) производную к нулю. Теорема Мардена утверждает, что решения этого уравнения являются комплексными числами, определяющими положение двух фокусов эллипса Штейнера.

Алгебраическая теория чисел

Как упоминалось выше, любое неконстантное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение. А тем более, то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами – они являются основным объектом изучения в алгебраической теории чисел. По сравнению с , алгебраическим замыканием , которое также содержит все алгебраические числа, имеет преимущество в том, что его легче понимать в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы могут быть использованы для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, а точнее, применяя аппарат теории полей к числовому полю, содержащему корни из единицы, можно доказать, что невозможно построить правильный девятиугольник, используя только циркуль и линейку – чисто геометрическую задачу. Другой пример – гауссовы целые числа, то есть числа вида x + iy, где x и y – целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов.

Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, в которых применимы аналитические методы. Это достигается путем кодирования теоретико-числовой информации в функции комплексного переменного. Например, дзета-функция Римана ζ(s) связана с распределением простых чисел.

Неправильные интегралы

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления определенных несобственных интегралов с действительными значениями, посредством комплекснозначных функций. Существует несколько методов для этого; см. методы контурного интегрирования.

Динамические уравнения

В дифференциальных уравнениях обычно сначала находят все комплексные корни r характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения или системы уравнений, а затем пытаются решить систему, выражая её через базисные функции вида f(t) = e^(rt). Аналогично, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему, выражая её через базисные функции вида f(t) = r^t.

Линейная алгебра

Поскольку поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, любая непустая квадратная матрица с комплексными элементами имеет хотя бы одно (комплексное) собственное значение. В отличие от этого, вещественные матрицы не всегда имеют вещественные собственные значения; например, матрицы вращения (для вращения плоскости на углы, отличные от 0° или 180°) не оставляют ни одного направления неподвижным и, следовательно, не имеют вещественных собственных значений. Существование (комплексных) собственных значений и, как следствие, существование собственного разложения, является полезным инструментом для вычисления степеней матрицы и матричных экспонент. Комплексные числа часто обобщают понятия, изначально сформулированные для вещественных чисел. Например, сопряжённая транспозиция обобщает транспонирование, эрмитовы матрицы обобщают симметричные матрицы, а унитарные матрицы обобщают ортогональные матрицы.

Динамика жидкостей

В динамике жидкостей комплексные функции используются для описания потенциального течения в двух измерениях.

Квантовая механика

Поле комплексных чисел является неотъемлемой частью математических формулировок квантовой механики, где комплексные гильбертовы пространства предоставляют контекст для одной из удобных и, пожалуй, наиболее стандартных формулировок. Исходные основополагающие формулы квантовой механики – уравнение Шрёдингера и матричная механика Гейзенберга – используют комплексные числа.

Относительность

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства-времени упрощаются, если считать временную компоненту пространства-временного континуума мнимой. (Этот подход больше не является общепринятым в классической теории относительности, но играет существенную роль в квантовой теории поля.) Комплексные числа необходимы для спиноров, которые представляют собой обобщение тензоров, используемых в теории относительности.

Исторические ссылки

— Мягкое введение в историю комплексных чисел и истоки комплексного анализа. — Углублённый взгляд на историческое развитие понятия числа.