Введение

Отдел статистики, специализирующийся на больших отклонениях в статистической теории. Теория экстремальных значений, или анализ экстремальных значений (ЭВА), – это раздел статистики, изучающий экстремальные отклонения от медианы распределений вероятностей. Она направлена на оценку, на основе заданной упорядоченной выборки случайной величины, вероятности событий, превосходящих любые ранее наблюдаемые по своей экстремальности. Анализ экстремальных значений широко применяется в различных областях, таких как строительная механика, финансы, экономика, науки о Земле, прогнозирование транспортных потоков и геологическая инженерия. Например, ЭВА может использоваться в гидрологии для оценки вероятности возникновения исключительно сильного наводнения, такого как 100-летнее наводнение. Аналогично, при проектировании волнолома, инженер-гидротехник должен оценить 50-летнюю волну и спроектировать конструкцию с учетом этого.

Анализ данных

Существует два основных подхода к практическому анализу экстремальных значений. Первый метод основан на получении рядов максимальных (минимальных) значений за блоки в качестве предварительного этапа. Во многих случаях обычно и удобно извлекать годовые максимумы (минимумы), формируя ряд годовых максимумов (AMS). Второй метод основан на выделении из непрерывного ряда пиковых значений, достигнутых за любой период, в течение которого значения превышают определенный порог (или опускаются ниже определенного порога). Этот метод обычно называют методом превышения порога (POT). Для данных AMS анализ может частично опираться на результаты теоремы Фишера — Типпетта — Гнеденко, что приводит к выбору обобщенного экстремального распределения для подгонки. Однако на практике применяются различные процедуры для выбора из более широкого спектра распределений. Теорема относится к предельным распределениям для минимума или максимума очень большой совокупности независимых случайных величин из одного и того же распределения. Учитывая, что количество релевантных случайных событий в течение года может быть довольно ограниченным, неудивительно, что анализ наблюдаемых данных AMS часто приводит к выбору распределений, отличных от обобщенного экстремального распределения (GEVD). Для данных POT анализ может включать подгонку двух распределений: одного для числа событий за рассматриваемый период времени и второго для величины превышений. Распределение Пуассона является распространенным предположением для первого, а обобщенное распределение Парето используется для превышений. Подгонка хвоста может быть основана на теореме Пикандса — Балкема — де Хаана. Новак (2011) резервирует термин "метод POT" для случая, когда порог неслучаен, и отличает его от случая, когда рассматриваются превышения случайного порога.

История

Область теории экстремальных значений была заложена Л. Типпетом (1902–1985). Типпетт работал в Британской ассоциации исследований хлопковой промышленности, где занимался повышением прочности хлопковой пряжи. В ходе своих исследований он пришел к выводу, что прочность пряжи определяется прочностью ее самых слабых волокон. С помощью Р. А. Фишера Типпет вывел три асимптотических предела, описывающих распределения экстремальных значений при условии независимости переменных. Э. Дж. Гамбель (1958) систематизировал эту теорию. Эти результаты можно обобщить для учета небольших корреляций между переменными, однако классическая теория не применима к сильным корреляциям, сопоставимым с дисперсией. Особый интерес представляет класс универсальности логарифмически коррелированных полей, в которых корреляции убывают по логарифмическому закону с увеличением расстояния.

Многовариантная теория

Теория экстремальных значений в более чем одной переменной ставит дополнительные вопросы, требующие решения. Одна из возникающих проблем заключается в необходимости определения, что представляет собой экстремальное событие. Если в одномерном случае это сделать просто, то в многомерном случае однозначного способа не существует. Фундаментальная проблема состоит в том, что хотя множество вещественных чисел можно упорядочить, для множества векторов естественного способа упорядочивания нет. Например, в одномерном случае, имея набор наблюдений, легко найти наиболее экстремальное событие, просто взяв максимум (или минимум) этих наблюдений. Однако в двумерном случае, имея набор наблюдений, неясно, как определить наиболее экстремальное событие. Предположим, что значения были измерены в определенный момент времени, а значения – в более поздний момент. Какое из этих событий следует считать более экстремальным? На этот вопрос нет универсального ответа. Другая проблема в многомерном случае заключается в том, что предельная модель не задана столь однозначно, как в одномерном случае. В одномерном случае модель (распределение ГЕВ) содержит три параметра, значения которых не предсказываются теорией и должны быть оценены путем подгонки распределения к данным. В многомерном случае модель содержит не только неизвестные параметры, но и функцию, точная форма которой теорией не предписана. Однако эта функция должна удовлетворять определенным ограничениям. Разработка оценок, удовлетворяющих таким ограничениям, – непростая задача, хотя некоторые из них были недавно разработаны. В качестве примера применения, двумерная теория экстремальных значений была применена в океанографических исследованиях.

Нестационарные крайности

Статистическое моделирование нестационарных временных рядов было разработано в 1990-х годах. Методы для анализа нестационарных многомерных экстремальных значений были предложены позднее. Последние позволяют отслеживать изменение зависимости между экстремальными значениями во времени или в зависимости от другой переменной.

Программное обеспечение

— Пакет для статистики экстремальных значений в R.
— Пакет для статистики экстремальных значений в Julia.