Кіріспе
Картографияда карта проекциясы – шар немесе эллипсоидтің бетін жазықтықта жүйелі түрде бейнелеу. Карта проекциясы – шардың екі өлшемді қисық бетін жазықтықта бейнелеу үшін қолданылатын түрлендірулердің кең жиынтығының кез келгені. Карта проекциясында жер шарының бетіндегі орналасқан жерлердің координаттары, көбінесе ендік және бойлық ретінде беріледі, жазықтықтағы координаттарға түрлендіріледі. Проекция – екі өлшемді карта жасаудағы қажетті қадам және картографияның маңызды элементтерінің бірі. Шардың жазықтықтағы барлық проекциялары міндетті түрде бетті қандай да бір жолмен және белгілі бір дәрежеде бұрмалайды. Картаның мақсатына байланысты кейбір бұрмалаулар қабылданады, ал басқалары – жоқ; сондықтан, басқа қасиеттер есебінен шарға ұқсас денелердің кейбір қасиеттерін сақтау үшін әртүрлі карта проекциялары қолданылады. Карта проекцияларын зерттеу, ең алдымен, олардың бұрмалануын сипаттаумен байланысты. Картаның мүмкін болатын проекцияларының санына шек жоқ. Жалпы алғанда, проекциялар таза математиканың бірнеше салаларында қарастырылады, соның ішінде дифференциалдық геометрия, проективтік геометрия және көптүрліліктер. Алайда, "карта проекциясы" термині нақты карта проекциясына қатысты. Атауының сөзбе-сөз мағынасына қарамастан, проекция экранға көлеңке түсіруден немесе тегіс пленкадағы камерадан алынған тура сызықты бейне сияқты перспективалық проекциялармен ғана шектелмейді. Керісінше, қисық беттен жазықтыққа координаттарды анық және тегіс түрлендіретін кез келген математикалық функция проекция болып табылады. Практикалық қолданыста перспективалық проекциялар аздаған ғана. Бұл мақалада картаға түсірілетін бет шардың беті деп есептеледі. Жер және басқа да ірі аспан денелері көбінесе жалпақ сфералар ретінде модельделеді, ал астероидтар сияқты кішкентай денелер көбінесе ретсіз пішінге ие. Планеталық денелердің беттері, тіпті олар шар немесе эллипсоидпен жақсы модельденуге тым ретсіз болса да, картаға түсірілуі мүмкін. Сондықтан, жалпы алғанда, карта проекциясы – үздіксіз қисық бетті жазықтыққа тегістеудің кез келген әдісі. Картаның ең танымал проекциясы – Меркатор проекциясы.
In cartography, a map projection is any of a broad set of transformations employed to represent the curved two dimensional surface of a globe on a plane. In a map projection, coordinates, often expressed as latitude and longitude, of locations from the surface of the globe are transformed to coordinates on a plane. Projection is a necessary step in creating a two dimensional map and is one of the essential elements of cartography. All projections of a sphere on a plane necessarily distort the surface in some way and to some extent. Depending on the purpose of the map, some distortions are acceptable and others are not; therefore, different map projections exist in order to preserve some properties of the sphere like body at the expense of other properties. The study of map projections is primarily about the characterization of their distortions. There is no limit to the number of possible map projections. More generally, projections are considered in several fields of pure mathematics, including differential geometry, projective geometry, and manifolds. However, the term "map projection" refers specifically to a cartographic projection. Despite the name's literal meaning, projection is not limited to perspective projections, such as those resulting from casting a shadow on a screen, or the rectilinear image produced by a pinhole camera on a flat film plate. Rather, any mathematical function that transforms coordinates from the curved surface distinctly and smoothly to the plane is a projection. Few projections in practical use are perspective. Most of this article assumes that the surface to be mapped is that of a sphere. The Earth and other large celestial bodies are generally better modeled as oblate spheroids, whereas small objects such as asteroids often have irregular shapes. The surfaces of planetary bodies can be mapped even if they are too irregular to be modeled well with a sphere or ellipsoid. Therefore, more generally, a map projection is any method of flattening a continuous curved surface onto a plane. The most well known map projection is the Mercator projection.
Бұрмалау
Карл Фридрих Гаусстің "Theorema Egregium" теоремасы шардың бетін бұрмаланбастан жазықтықта бейнелеу мүмкін емес екенін дәлелдеді. Осыған ұқсас, Жердің моделі ретінде қолданылатын басқа да анықтамалық беттерге де – мысалы, жалпақ сфераларға, эллипсоидтарға және геоидтарға – қатысты. Кез келген карта проекциясы осы беттердің біреуін жазықтықта бейнелеу болып табылатындықтан, барлық карта проекциялары бұрмалауға ұшырайды. Тиссо индикатрисі сияқты, Гольдберг Готт индикатрисі де шексіз кішкентай шамаларға негізделген және иілу мен қисықтықты (бұрылу мен пішіннің өзгеруін) көрсетеді. Тиссо индикатрисіндегідей түпнұсқа (үлкендетілген) шексіз кішкентай шеңбердің орнына, кейбір визуализация әдістері картаның бір бөлігін қамтитын шекті пішіндерді проекциялайды. Мысалы, белгілі бір радиусы бар кішкентай шеңбер (мысалы, 15 градус бұрыштық радиусы). Кейде сфералық үшбұрыштар да қолданылады. 20 ғасырдың бірінші жартысында, әртүрлі проекцияларда адам басын көрсету, бір проекциядағы бұрмалаудың екіншісімен салыстырғанда қалай өзгеретінін көрсету үшін кең таралған тәжірибе болды. Динамикалық медиада таныс жағалау сызықтары мен шекаралардың пішіндерін интерактивті картада сүйреу арқылы проекцияның картадағы орналасуына байланысты өлшемдер мен пішіндерді қалай бұрмалайтынын көрсетуге болады. Жергілікті бұрмалауды визуализациялаудың тағы бір жолы – сұр түстің градиенттері немесе түстердің өзгеруі арқылы, олардың түсі бұрыштық деформацияның немесе аудандық кеңеюдің дәрежесін көрсетеді. Кейде екеуі де бір мезгілде көрсетіледі, екі түсті араластыру арқылы екі айнымалы карта жасалады. Бұрмалауды жалғыз нүктеде емес, бүкіл аумақта өлшеу үшін міндетті түрде компромиске келіп, басымдықтарды анықтау қажет. Кейбір схемалар бұрыштық деформация мен аудандық кеңеюдің комбинациясы үшін аралық бұрмалауды прокси ретінде пайдаланады; мұндай әдістер бір нәтиже алу үшін қандай жолдарды өлшеуді және оларды қалай салмақтауды кездейсоқ таңдайды. Олардың көптеген түрлері сипатталған.
Жобалау бетін таңдау
Ұзартылмастан, жыртылмай немесе қысқармастан жазықтыққа немесе бетке жаюға болатын бет өрістетілетін бет деп аталады. Цилиндр, конус және жазықтық – барлығы дамитын беттер. Сфера мен эллипсоидтың өрістірілетін беттері болмайды, сондықтан олардың жазықтыққа кез келген проекциясы бейнені бұрмалауға әкеледі. (Мысалы, апельсин қабығын жыртып, бұрмаламастан жазу мүмкін емес.) Проекцияны сипаттаудың бір жолы – ең алдымен Жер бетінен цилиндр немесе конус сияқты өрістірілетін бетке проекциялау, содан кейін осы бетті жазықтыққа жаю. Алғашқы қадамда Жер шарының кейбір қасиеттері бұрмаланса да, өрістірілетін бетті қосымша бұрмалаусыз жаюға болады.
Жобалаудың аспектісі
Цилиндрге, конусқа немесе жазықтыққа проекциялауды таңдағаннан кейін, пішіннің қасиеттері нақтылануы керек. Қасиеттер дамуға болатын беттің Жер шарына қатысты қалай орналасқандығын сипаттайды: ол нормальды (беттің симметрия осі Жер осімен сәйкес келетін), перпендикулярлы (Жер осіне тік бұрышпен) немесе көлбеу (аралықтағы кез келген бұрыш) болуы мүмкін.
Ерекше белгілері
Дамытылатын бет сфераға немесе эллипсоидқа да жанама немесе кескіш болуы мүмкін. Жанама дегеніміз – бет жер шарына тиеді, бірақ оны кесіп өтпейді; кескіш дегеніміз – бет жер шарын кесіп өтеді. Дамытылатын бетті жер шарымен тікелей байланыстан алшақтату ешқашан метрикалық қасиеттерді сақтап немесе жақсартпайды, сондықтан бұл мүмкіндік бұдан әрі талқыланбайды. Жанама және кескіш сызықтар (стандартты сызықтар) бұрмаланбаған күйде көрсетіледі. Егер бұл сызықтар конустық проекциядағыдай ендік параллелі болса, онда оны стандартты параллель деп атайды. Орталық меридиан – проекция жасау алдында жер шарының бұрылған меридианы. Орталық меридиан (әдетте λ деп белгіленеді) және бастапқы нүктенің параллелі (әдетте φ деп белгіленеді) карта проекциясының бастапқы нүктесін анықтау үшін жиі қолданылады.
Қалыпты цилиндрлік
Қалыпты цилиндрлік проекция – бұл меридиандар бірдей арақашықтықтағы тік сызықтарға, ал ендік шеңберлері (паралельдер) көлденең сызықтарға орналастырылған кез келген проекция. Мердиандарды тік сызықтарға карталау цилиндрді елестету арқылы көрінеді, оның осі Жердің айналу осімен сәйкес келеді. Бұл цилиндр Жерді айналдыра оралып, оған проекцияланып, содан кейін ашылады. Құрылысының геометриясына сәйкес, цилиндрлік проекциялар шығыс-батысқа дейінгі арақашықтықты созады. Созудың мөлшері барлық цилиндрлік проекцияларда кез келген таңдалған ендікте бірдей және ендіктің секанты экватор шкаласының еселігі ретінде беріледі. Әртүрлі цилиндрлік проекциялар бір-бірінен тек солтүстік-оңтүстікке созуымен ерекшеленеді (мұнда ендік φ арқылы беріледі):
Солтүстік-оңтүстікке созу шығыс-батысқа созуға тең (sec φ): шығыс-батыс шкаласы солтүстік-оңтүстік шкаласына сәйкес келеді: конформды цилиндрлік немесе Меркатор; бұл жоғары ендіктердегі аумақтарды шамадан тыс бұрмалайды. Солтүстік-оңтүстікке созу ендікке қарай шығыс-батысқа созудан (sec φ) жылдам өседі: цилиндрлік перспектива (немесе орталық цилиндрлік) проекциясы; бұрмалану Меркатор проекциясынан тіпті нашар болғандықтан, ол жарамсыз. Солтүстік-оңтүстікке созу ендікке қарай өседі, бірақ шығыс-батысқа қарағанда ақырын: мысалы, Миллер цилиндрлік проекциясы (sec φ). Солтүстік-оңтүстік қашықтықтар созылмайды да, қысылмайды да (1): теңтөртбұрышты проекция немесе "plate carrée". Солтүстік-оңтүстік қысымы ендіктің косинусына тең (шығыс-батыс созуының кері шамасы): тең ауданы бар цилиндрлік проекция. Бұл проекцияның тек масштабтау тұрақтысымен ғана ерекшеленетін көптеген атаулы түрлері бар, мысалы, Галл-Петерс немесе Галл орфографиялық (45° параллельдерде бұрмаланбаған), Берман (30° параллельдерде бұрмаланбаған) және Ламберт цилиндрлік тең ауданы (экваторда бұрмаланбаған). Бұл проекция солтүстік-оңтүстік қашықтықты шығыс-батыс созуының кері шамасымен өлшегендіктен, пішіннің есебінен аумақты сақтайды. Бірінші жағдайда (Меркатор) шығыс-батыс шкаласы әрқашан солтүстік-оңтүстік шкаласына тең болады. Екінші жағдайда (орталық цилиндрлік) солтүстік-оңтүстік шкаласы экватордан алыстағанда шығыс-батыс шкаласынан асып түседі. Қалған әрбір жағдайда екі секанттық сызық бар – қарама-қарсы белгідегі (немесе экватордағы) бірдей ендіктердің жұбы, онда шығыс-батыс шкаласы солтүстік-оңтүстік шкаласына сәйкес келеді. Қалыпты цилиндрлік проекциялар бүкіл Жерді шекті тіктөртбұрыш ретінде картаға түсіреді, бірінші екі жағдайды қоспағанда, тіктөртбұрыш тұрақты енімен шексіз биіктікке созылады.
North south stretching equals east west stretching (sec φ): The east west scale matches the north south scale: conformal cylindrical or Mercator; this distorts areas excessively in high latitudes. North south stretching grows with latitude faster than east west stretching (sec φ): The cylindric perspective (or central cylindrical) projection; unsuitable because distortion is even worse than in the Mercator projection. North south stretching grows with latitude, but less quickly than the east west stretching: such as the Miller cylindrical projection (sec φ). North south distances neither stretched nor compressed (1): equirectangular projection or "plate carrée". North south compression equals the cosine of the latitude (the reciprocal of east west stretching): equal area cylindrical. This projection has many named specializations differing only in the scaling constant, such as the Gall–Peters or Gall orthographic (undistorted at the 45° parallels), Behrmann (undistorted at the 30° parallels), and Lambert cylindrical equal area (undistorted at the equator). Since this projection scales north south distances by the reciprocal of east west stretching, it preserves area at the expense of shapes. In the first case (Mercator), the east west scale always equals the north south scale. In the second case (central cylindrical), the north south scale exceeds the east west scale everywhere away from the equator. Each remaining case has a pair of secant lines—a pair of identical latitudes of opposite sign (or else the equator) at which the east west scale matches the north south scale. Normal cylindrical projections map the whole Earth as a finite rectangle, except in the first two cases, where the rectangle stretches infinitely tall while retaining constant width.
Көлденең цилиндрлік
Трансверсальды цилиндрлік проекция – цилиндрлік проекция, ол жанама жағдайда цилиндрге тиіс сызық ретінде меридиан бойымен өтетін үлкен шеңберді қолданады. Қараңыз: көлденең Меркатор.
Қисық цилиндрлік
Көлбеу цилиндрлік проекция үлкен шеңбер бойымен сәйкес келеді, бірақ экватормен немесе меридианмен сәйкес келмейді.
Гибридті
HEALPix проекциясы экваторлық аймақтарда тең ауданы бар цилиндрлік проекцияны, ал полярлық аймақтарда Коллиньон проекциясын қолданады.
Псевдокониялық
Бонн, тең аумақты проекция, онда көптеген меридиандар мен параллельдер қисық сызықтар түрінде бейнеленеді. Оның конфигурацияланатын стандартты параллелі бар, оның бойымен бұрмалау болмайды. Вернердің жүрек тәрізді проекциясы, онда бір полюстен және барлық параллельдер бойымен қашықтықтар дұрыс көрсетіледі. Поликоникалық проекциялар класындағы американдық поликоникалық және басқа проекциялар.
Көпбұрышты
Полиэдрлік карта проекциялары жер шарын жақтарға бөлу үшін полиэдрді пайдаланады, содан кейін әр жақты жазықтыққа түсіреді. Ең әйгілі полиэдрлік карта проекциясы – Бакминстер Фуллердің Димаксион картасы.
Бiрдей арақашықтықта
Егер жазықтықтағы екі проекцияланған нүктені жалғастыратын сызық сегментінің ұзындығы, жер шарындағы екі проекцияланбаған нүктенің арасындағы геодезиялық (ең қысқа беттік) қашықтыққа пропорционал болса, онда осы екі нүкте арасындағы қашықтық сақталды деуге болады. Теңқашықтық проекциясы, бір немесе екі арнайы нүктеден барлық басқа нүктелерге дейінгі қашықтықты сақтайды. Арнайы нүкте немесе нүктелер проекцияланғанда сызық немесе қисық сегментке созылуы мүмкін. Мұндай жағдайда, өлшенетін нүктеге ең жақын сызық немесе қисық сегментіндегі нүкте қашықтықты өлшеу үшін қолданылуы тиіс. Plate carrée: Экваторлық аспектіде екі полюске дейінгі қашықтық сақталады. Азимуттық теңқашықтық: Орталықтан және шеттен қашықтық сақталады. Теңқашықтық конусы: Экваторлық аспектіде екі полюстен қашықтық сақталады. Вернердің жүрек тәрізді проекциясы: Экваторлық аспектіде Солтүстік полюске дейінгі қашықтық сақталады. Екі нүктелік теңқашықтық: Карта жасаушы екі "бақылау нүктесін" кез келген түрде таңдайды; әрбір бақылау нүктесінен қашықтық сақталады.
Бұрандалардың қолдануға жарамдылығы
Проекция математикасы картаның кез келген проекциясын барлық жағдайға ең жақсы етіп табуға мүмкіндік бермейді. Әлемнің анықтамалық карталары көбінесе шартты проекцияларда кездеседі. Әлемнің кез келген картасына тән бұрмалаулардың болуына байланысты, проекцияны таңдау эстетикалық қалауларға негізделеді. Тематикалық карталарға бірлік аумақтағы құбылыстарды дұрыс пропорцияда көрсету үшін тең ауданды проекциялау қажет. Дегенмен, аудандар арақатынасын дұрыс көрсету, тең ауданды емес көптеген карталарға қарағанда пішіндерді одан да көп бұрмалауға әкеледі. Навигациялық мақсаттар үшін жасалған Меркатор проекциясы, басқа проекциялар орындырақ болса да, әлем карталарында жиі қолданылады. Бұл мәселе кәсіби ортадан тыс жерлерде де ұзақтан бері танылған. Мысалы, 1943 жылғы «Нью-Йорк Таймс» газетінің редакциондық мақаласында былай делінген:
цитата|Континенттер мен бағыттарды шамадан тыс бұрмалап көрсететін [Меркатор] проекциясын енді қолдануды тоқтату уақыты келді. Оның қолданылуы азайғанмен, ол әлі де қабырға картасы ретінде кең таралған, себебі тікбұрышты карта ретінде тікбұрышты қабырға кеңістігін толығырақ картамен толтырады, сондай-ақ оның танымалдылығы одан әрі танымалдылыққа себеп болады.) Карта проекциялары және карталардағы бұрмалау туралы халықты біліммен қаруландыру мақсатында жасалған. 1989 және 1990 жылдары ішкі талқылардан кейін Солтүстік Американың жеті географиялық ұйымы әлемнің анықтамалық карталарын жасау үшін тікбұрышты проекцияларды (Меркатор және Галл-Питерс сияқты) қолдануға қарсы резолюция қабылдады.