Электрическая цепь LC-контура: резонанс и колебания

Введение

Электрическая "резонаторная" цепь, состоящая из индуктивных и емкостных элементов без сопротивления. LC-цепь, также называемая резонансной цепью, контурным колебательным контуром или настроенным контуром, – это электрическая цепь, состоящая из индуктора, обозначаемого буквой L, и конденсатора, обозначаемого буквой C, соединенных вместе. Цепь может функционировать как электрический резонатор, электрический аналог камертона, накапливая энергию, колеблющуюся на резонансной частоте цепи. LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения сигнала на определенной частоте из более сложного сигнала; эта функция называется фильтром полосы пропускания. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, и применяются в схемах, таких как генераторы, фильтры, тюнеры и частотные смесители. LC-цепь представляет собой идеализированную модель, поскольку предполагает отсутствие потерь энергии из-за сопротивления. Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери, возникающие из-за малого, но ненулевого сопротивления в компонентах и соединительных проводах. Обычно целью LC-цепи является колебание с минимальным затуханием, поэтому сопротивление делается как можно ниже. Хотя ни одна практическая цепь не лишена потерь, тем не менее, изучение этой идеальной формы цепи полезно для понимания и развития физической интуиции. Для модели цепи, включающей сопротивление, см. RLC-цепь.

Терминология

Двухэлементная схема LC, описанная выше, является простейшим типом индуктивно-ёмкостной сети (или сети LC). Она также называется LC-контуром второго порядка, чтобы отличить её от более сложных (высшего порядка) LC-контуров, содержащих большее количество индукторов и конденсаторов. Такие LC-контуры с более чем двумя реактивными элементами могут иметь несколько резонансных частот. Порядок контура определяется порядком рациональной функции, описывающей контур в комплексной переменной частоты s. Как правило, порядок равен числу индуктивностей и ёмкостей в схеме и в любом случае не может превышать это число.

Операция

Схема LC, колеблющаяся на своей собственной резонансной частоте, способна накапливать электрическую энергию. Смотрите анимацию. Конденсатор запасает энергию в электрическом поле (E) между своими обкладками, величина которого зависит от напряжения на нем, а индуктор – в магнитном поле (B), величина которого зависит от протекающего через него тока. Если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе создает ток в индукторе, формируя вокруг него магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля по мере расходования заряда в результате протекания тока. В этот момент энергия, накопленная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, поскольку индукторы препятствуют изменению тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор, придавая ему напряжение с полярностью, противоположной первоначальной. В соответствии с законом Фарадея, ЭДС, приводящая ток в движение, возникает из-за уменьшения магнитного поля, таким образом, энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова накапливается в конденсаторе, но уже с противоположной полярностью. Затем цикл повторяется, при этом ток течет в противоположном направлении через индуктор. Заряд перемещается взад и вперед между обкладками конденсатора через индуктор. Энергия колеблется между конденсатором и индуктором до тех пор, пока (если не происходит пополнения из внешней цепи) внутреннее сопротивление не приведет к затуханию колебаний. Принцип работы колебательного контура, математически описываемый как гармонический осциллятор, аналогичен качающемуся маятнику или колебаниям воды в резервуаре; по этой причине контур также называют контуром-резервуаром. Собственная частота (то есть частота, на которой он будет колебаться в изоляции от других систем, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве применений колебательный контур является частью более сложной схемы, которая подает на него переменный ток, поддерживая непрерывные колебания. Если частота подаваемого тока совпадает с собственной резонансной частотой контура (собственная частота, указанная ниже), возникает резонанс, и небольшой управляющий ток может вызывать колебания напряжения и тока большой амплитуды. В типичных колебательных контурах в электронном оборудовании колебания происходят очень быстро – от тысяч до миллиардов раз в секунду.

An LC circuit, oscillating at its natural resonant frequency, can store electrical energy. See the animation. A capacitor stores energy in the electric field (E) between its plates, depending on the voltage across it, and an inductor stores energy in its magnetic field (B), depending on the current through it. If an inductor is connected across a charged capacitor, the voltage across the capacitor will drive a current through the inductor, building up a magnetic field around it. The voltage across the capacitor falls to zero as the charge is used up by the current flow. At this point, the energy stored in the coil's magnetic field induces a voltage across the coil, because inductors oppose changes in current. This induced voltage causes a current to begin to recharge the capacitor with a voltage of opposite polarity to its original charge. Due to Faraday's law, the EMF which drives the current is caused by a decrease in the magnetic field, thus the energy required to charge the capacitor is extracted from the magnetic field. When the magnetic field is completely dissipated the current will stop and the charge will again be stored in the capacitor, with the opposite polarity as before. Then the cycle will begin again, with the current flowing in the opposite direction through the inductor. The charge flows back and forth between the plates of the capacitor, through the inductor. The energy oscillates back and forth between the capacitor and the inductor until (if not replenished from an external circuit) internal resistance makes the oscillations die out. The tuned circuit's action, known mathematically as a harmonic oscillator, is similar to a pendulum swinging back and forth, or water sloshing back and forth in a tank; for this reason the circuit is also called a tank circuit. The natural frequency (that is, the frequency at which it will oscillate when isolated from any other system, as described above) is determined by the capacitance and inductance values. In most applications the tuned circuit is part of a larger circuit which applies alternating current to it, driving continuous oscillations. If the frequency of the applied current is the circuit's natural resonant frequency (natural frequency below), resonance will occur, and a small driving current can excite large amplitude oscillating voltages and currents. In typical tuned circuits in electronic equipment the oscillations are very fast, from thousands to billions of times per second.

Серийная схема

В последовательной конфигурации LC-контура индуктор (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Полное напряжение V на разомкнутых выводах является просто суммой напряжения на индукторе и напряжения на конденсаторе. Ток I, входящий в положительный вывод контура, равен току, протекающему через конденсатор и индуктор.

Параллельная схема

Когда индуктор (L) и конденсатор (C) соединены параллельно, как показано здесь, напряжение V на разомкнутых выводах равно напряжению на индукторе и напряжению на конденсаторе. Общий ток I, входящий в положительный вывод схемы, равен сумме тока, протекающего через индуктор, и тока, протекающего через конденсатор.

История

Первое свидетельство того, что конденсатор и индуктор могут генерировать электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари. Он обнаружил, что при разряде Лейденской банки через провод, обмотанный вокруг железной иглы, игла иногда оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда – в противоположном. Он правильно заключил, что это вызвано затухающим колебательным разрядным током в проводе, который попеременно менял намагниченность иглы, пока она не становилась слишком слабой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к тому же выводу, по-видимому, независимо. Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд Лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вывел формулу для его резонансной частоты. Британский исследователь в области радио Оливер Лодж, разряжая большую батарею Лейденских банок через длинный провод, создал колебательный контур с резонансной частотой в звуковом диапазоне, который при разряде создавал музыкальный тон от искры. В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, возникающую в резонансном контуре Лейденской банки, с помощью вращающегося зеркала, получив видимое подтверждение существования колебаний. В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его основополагающей работе об открытии радиоволн, демонстрируя длину искры, получаемой от его искровых LC-резонаторов, как функцию частоты. Одной из первых демонстраций резонанса между колебательными контурами стал эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» около 1889 года. Он разместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из Лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой с искровым промежутком. При подаче высокого напряжения от индукционной катушки на один колебательный контур, создавая искры и, следовательно, колебательные токи, искры возбуждались в другом колебательном контуре только при настройке контуров на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочитали термин «синтония» для обозначения этого эффекта, но термин «резонанс» в конечном итоге закрепился. Первое практическое применение LC-контуров было в 1890-х годах в искровых радиопередатчиках, позволяющее настраивать приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему с возможностью настройки был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони.

The first evidence that a capacitor and inductor could produce electrical oscillations was discovered in 1826 by French scientist Felix Savary. He found that when a Leyden jar was discharged through a wire wound around an iron needle, sometimes the needle was left magnetized in one direction and sometimes in the opposite direction. He correctly deduced that this was caused by a damped oscillating discharge current in the wire, which reversed the magnetization of the needle back and forth until it was too small to have an effect, leaving the needle magnetized in a random direction. American physicist Joseph Henry repeated Savary's experiment in 1842 and came to the same conclusion, apparently independently. Irish scientist William Thomson (Lord Kelvin) in 1853 showed mathematically that the discharge of a Leyden jar through an inductance should be oscillatory, and derived its resonant frequency. British radio researcher Oliver Lodge, by discharging a large battery of Leyden jars through a long wire, created a tuned circuit with its resonant frequency in the audio range, which produced a musical tone from the spark when it was discharged. In 1857, German physicist Berend Wilhelm Feddersen photographed the spark produced by a resonant Leyden jar circuit in a rotating mirror, providing visible evidence of the oscillations. In 1868, Scottish physicist James Clerk Maxwell calculated the effect of applying an alternating current to a circuit with inductance and capacitance, showing that the response is maximum at the resonant frequency. The first example of an electrical resonance curve was published in 1887 by German physicist Heinrich Hertz in his pioneering paper on the discovery of radio waves, showing the length of spark obtainable from his spark gap LC resonator detectors as a function of frequency. One of the first demonstrations of resonance between tuned circuits was Lodge's "syntonic jars" experiment around 1889. He placed two resonant circuits next to each other, each consisting of a Leyden jar connected to an adjustable one turn coil with a spark gap. When a high voltage from an induction coil was applied to one tuned circuit, creating sparks and thus oscillating currents, sparks were excited in the other tuned circuit only when the circuits were adjusted to resonance. Lodge and some English scientists preferred the term "syntony" for this effect, but the term "resonance" eventually stuck. The first practical use for LC circuits was in the 1890s in spark gap radio transmitters to allow the receiver and transmitter to be tuned to the same frequency. The first patent for a radio system that allowed tuning was filed by Lodge in 1897, although the first practical systems were invented in 1900 by Italian radio pioneer Guglielmo Marconi.