Введение

Распределение вероятности

Определения

Если X является случайной величиной с распределением Парето (тип I), то вероятность того, что X превышает некоторое число x, то есть функция выживания (также называемая хвостовой функцией), задается формулой

где xm – (необходимо положительное) минимальное возможное значение X, а α – положительный параметр. Распределение Парето типа I характеризуется параметром масштаба xm и параметром формы α, который известен как хвостовой индекс. Если это распределение используется для моделирования распределения богатства, то параметр α называют индексом Парето.

Условные распределения

Условное распределение вероятностей случайной величины, распределенной по закону Парето, при условии, что она больше или равна некоторому числу, превышающему , является распределением Парето с тем же индексом Парето, но с минимальным значением вместо . Это означает, что условное математическое ожидание (если оно конечно, то есть ) пропорционально . В случае случайных величин, описывающих время жизни объекта, это означает, что ожидаемая продолжительность жизни пропорциональна текущему возрасту, и называется эффектом Линди или законом Линди.

Теорема охарактеризации

Предположим, что являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, чье распределение вероятностей сосредоточено на интервале для некоторого . Предположим, что для всех , две случайные величины и независимы. Тогда общее распределение является распределением Парето.

Средняя гармония

Гармоническое среднее (H) характерно для распределений Парето, известных как распределения Парето типов I, II, III, IV и распределения Феллера — Парето. Распределение Парето типа IV включает в себя распределения Парето типов I–III как частные случаи. Распределение Феллера — Парето является обобщением распределения Парето типа IV.

Отношение к лог-нормальному распределению

Распределение Парето и логнормальное распределение являются альтернативными распределениями для описания одних и тех же типов величин. Одной из связей между ними является то, что оба они являются распределениями экспоненты от случайных величин, распределенных согласно другим распространенным распределениям, а именно экспоненциальному и нормальному распределениям. (См. предыдущий раздел.)

Отношение к обобщенному распределению Парето

Распределение Парето является частным случаем обобщенного распределения Парето, представляющего собой семейство распределений схожей формы, но содержащего дополнительный параметр, благодаря которому область определения распределения либо ограничена снизу (в переменной точке), либо ограничена сверху и снизу (где обе границы переменные), при этом распределение Ломакса является частным случаем. Это семейство также включает в себя как не сдвинутое, так и сдвинутое экспоненциальное распределение. Распределение Парето с параметрами масштаба и формы эквивалентно обобщенному распределению Парето с параметрами местоположения, масштаба и формы, и, наоборот, распределение Парето можно получить из обобщенного распределения Парето (GPD), приняв и , если .

Отношение к закону Зипфа

Распределение Парето — это непрерывное распределение вероятностей. Закон Зипфа, также иногда называемый дзета-распределением, является дискретным распределением, разделяющим значения на простой рейтинг. Оба являются простыми степенными законами с отрицательным показателем, масштабируемыми таким образом, чтобы их интегральные распределения были равны 1. Закон Зипфа можно вывести из распределения Парето, если значения (доходы) сгруппировать по рангам так, чтобы количество людей в каждом ранге соответствовало закономерности 1/ранг. Распределение нормализуется путем определения , где — обобщенное гармоническое число. Это позволяет получить функцию плотности вероятности Зипфа из распределения Парето, где и — целое число, представляющее ранг от 1 до N, где N — наивысший диапазон доходов. Таким образом, случайно выбранный человек (или слово, веб-ссылка, или город) из популяции (или языка, интернета, или страны) имеет вероятность занять ранг .

Отношение к "принципу Парето"

Закон "80–20", согласно которому 20% всех людей получают 80% всех доходов, а 20% самых богатых 20% получают 80% этих 80% и так далее, выполняется точно, когда индекс Парето равен. Этот результат может быть выведен из формулы кривой Лоренца, представленной ниже. Более того, было показано, что следующие утверждения математически эквивалентны:
Доход распределяется в соответствии с распределением Парето с индексом α > 1. Существует некоторое число 0 ≤ p ≤ 1/2, такое что 100p% всех людей получают 100(1 − p)% всех доходов, и аналогично для каждого действительного (не обязательно целого) числа n > 0, 100pn% всех людей получают 100(1 − p)n% всех доходов. Связь между α и p определяется формулой:

Это применимо не только к доходам, но и к богатству, или к чему-либо другому, что может быть смоделировано этим распределением. Это исключает распределения Парето, в которых 0 < α ≤ 1, которые, как отмечалось выше, имеют бесконечное математическое ожидание и поэтому не могут адекватно моделировать распределение доходов.

Отношение к закону Прайса

Закон квадратного корня Прайса иногда представляется как свойство, схожее с распределением Парето. Однако этот закон справедлив лишь в том случае, что Следует отметить, что в этом случае общая и ожидаемая величина богатства не определены, и правило применимо только асимптотически к случайным выборкам. Расширенный принцип Парето, упомянутый выше, представляет собой гораздо более общее правило.

Производство случайных вариаций

Случайные выборки могут быть сгенерированы с использованием метода обратного преобразования. Если случайная величина U взята из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], то величина T, заданная формулой

имеет распределение Парето. Если U равномерно распределена на [0, 1), её можно заменить на (1 − U).