Кіріспе

Ықтималдық таралымы

Анықтамалар

Егер X Парето (I типті) үлестіріміне ие кездейсоқ айнымалы болса, онда X-тің x санынан артық болу ықтималдығы, яғни өміршеңдік функциясы (немесе құйрық функциясы деп те аталады), келесідей беріледі:

мұнда xm – X-тің (қажетті түрде оң) ең кішкентай мүмкін мәні, ал α – оң параметр. I типті Парето үлестірімі масштаб параметрі xm және пішін параметрі α арқылы сипатталады, α құйрық индексі деп белгілі. Егер бұл үлестіру байлықтың таралуын модельдеу үшін қолданылса, онда α параметрі Парето индексі деп аталады.

Шартты үлестірулер

Парето таратылған кездейсоқ айнымалының, белгілі бір саннан артық немесе оған тең болған жағдайдағы шартты ықтималдық үлестірімі, сол Парето индексімен, бірақ ең төменгі мәні орнына болатын Парето үлестірімі болып табылады. Бұл шартты күтілетін мән (егер ол шекті болса, яғни ) пропорционалды екенін көрсетеді. Егер кездейсоқ айнымалылар объектінің қызмет ету мерзімін сипаттайтын болса, онда өмір сүру ұзақтығы жасқа пропорционалды болады, бұл Линди эффектісі немесе Линди заңы деп аталады.

Қасиеттеу теоремасы

Егер тәуелсіз, бірдей таралған кездейсоқ шамалар болса, олардың ықтималдық үлестірімі [a, b] аралығында қолдау табады (кейбір a, b үшін). Барлық x үшін, екі кездейсоқ шама X және Y тәуелсіз болсын. Онда ортақ үлестірім Парето үлестірімі болады.

Гармониялық орташа

Гармоникалық орташа (H) Парето таралымдарының I, II, III, IV типтері мен Феллер–Парето таралымдары үшін қолданылады. IV типті Парето таралымы I–III типтерін ерекше жағдайлар ретінде қамтиды. Феллер–Парето таралымы IV типті Парето таралымын жалпылайды.

Лог-нормальді үлестіріме қатынасы

Парето үлестірімі мен логарифмдік қалыпты үлестірімі – бірдей типтегі шамаларды сипаттауға қолданылатын баламалы үлестірімдер. Екеуінің арасындағы байланыстардың бірі – олардың екеуі де экспонентаның, тиісінше экспоненциалдық және қалыпты үлестірімдерге сәйкес таратылған кездейсоқ шамалардың үлестірімдері болып табылады. (Алдыңғы бөлімді қараңыз.)

Жалпыланған Парето үлестіріміне қатынасы

Парето үлестірімі – жалпыланған Парето үлестірімінің ерекше жағдайы болып табылады. Бұл үлестірімдер отбасы ұқсас пішінде, бірақ қосымша параметрді қамтиды, соның арқасында үлестірімінің қолдауы төменнен (өзгермелі нүктеде) немесе жоғары және төменнен (екеуі де өзгермелі) шектелген. Ломакс үлестірімі осы отбасының ерекше жағдайы. Бұл отбасына өзгеріссіз және ығыстырылған экспоненциалдық үлестірімдер де кіреді. Масштабы мен пішіні бар Парето үлестірімі, орналасуы, масштабы мен пішіні бар жалпыланған Парето үлестірімімен тең, ал керісінше, GPD-ден Парето үлестірімін алу үшін және егер .

Зипф заңымен байланысы

Парето үлестірімі – үздіксіз ықтималдық үлестірімі. Зипф заңы, сондай-ақ кейде зета үлестірімі деп аталады, дискретті үлестірім болып табылады, ол мәндерді қарапайым рейтингке бөледі. Екеуі де теріс көрсеткіші бар қарапайым қуат заңы, олардың жиынтық үлестірілімдері 1-ге тең. Егер құндылықтар (табыстар) әрбір санаттағы адамдар саны 1/ранг үлгісін сақтау үшін рангілерге жіктелсе, Зипфті Парето үлестірімінен алуға болады. Үлестірім жалпыланған гармоникалық сан арқылы анықталып, нормаланады. Бұл Паретодан Зипфтің ықтималдық тығыздық функциясын тудырады, мұндағы және – 1-ден N-ге дейінгі рангты білдіретін бүтін сан, ал N – ең жоғары табыс санаты. Демек, халықтан (немесе тіл, интернет, ел) кездейсоқ таңдалған адамның (немесе сөздің, веб-сайт сілтемесінің немесе қаланың) рангіне ие болу ықтималдығы бар.

"Парето принципіне" қатысты

"80–20 заңына" сәйкес, халықтың 20% барлық табыстың 80% көлемін алады, ал ең бай 20% осы 80% табыстың 80% көлемін алады, және т.с.с. Бұл қатынас Парето индексінің белгілі бір мәнінде ғана орындалады. Бұл нәтиже төменде келтірілген Лоренц қисығының формуласы арқылы шығарылуы мүмкін. Сонымен қатар, келесілер математикалық тұрғыдан эквивалентті екені көрсетілді: табыс α > 1 индексі бар Парето үлестірімі бойынша бөлінеді. Мұндай 0 ≤ p ≤ 1/2 саны бар, онда халықтың 100p% бөлігі табыстың 100(1 − p)% бөлігін алады, және кез келген нақты (қажетті түрде бүтін сан емес) n > 0 үшін, халықтың 100pn% бөлігі табыстың 100(1 − p)n% бөлігін алады. α және p шамалары арасындағы байланыс бар.

Бұл тек табысқа ғана емес, байлыққа да, сондай-ақ осы үлестірім арқылы модельдеуге болатын кез келген басқа да жағдайға да қатысты. Бұл 0 < α ≤ 1 шартындағы Парето үлестірімін қамтымайды, себебі, жоғарыда айтылғандай, олар шексіз күтілетін мәнге ие, сондықтан табыстың таралуын дұрыс модельдей алмайды.

Прайс заңымен байланысы

Прайс квадрат түбір заңы кейде Парето таралымының қасиеті ретінде немесе оған ұқсас нәрсе ретінде ұсынылады. Дегенмен, бұл заң тек белгілі бір жағдайда ғана орындалады. Аталған жағдайда байлықтың жалпы және күтілетін сомасы анықталмайды, ал ереже тек кездейсоқ үлгілерге асимптотикалық түрде ғана қолданылады. Жоғарыда айтылған Паретоның кеңейтілген принципі әлдеқайда жалпы ереже болып табылады.

Кездейсоқ түрлендірулер генерациясы

Кездейсоқ үлгілер кері түрлендіру арқылы жасалуы мүмкін. (0, 1] бірлік аралығындағы біркелкі таралымнан алынған кездейсоқ U айнымалысы берілгенде, T айнымалысы келесідей:

Парето таралымын ұстанады. Егер U [0, 1) аралығында біркелкі тараған болса, оны (1 − U) -ға алмастыруға болады.