Введение

В топологии и смежных областях математики, топологическое пространство X называется регулярным пространством, если для любого замкнутого подмножества C пространства X и любой точки p, не принадлежащей C, существуют непересекающиеся открытые окрестности. Таким образом, точку p и множество C можно разделить окрестностями. Это условие известно как аксиома T3. Термин "пространство T3" обычно означает "регулярное пространство Хаусдорфа". Эти условия являются примерами аксиом разделения.

Определения

Топологическое пространство X является регулярным пространством, если для любого замкнутого множества F и любой точки x, не принадлежащей F, существует окрестность U точки x и окрестность V множества F, которые не пересекаются. Иными словами, точку x и множество F можно разнести непересекающимися окрестностями. Пространство T3 или регулярное пространство Хаусдорфа – это топологическое пространство, которое одновременно является регулярным и пространством Хаусдорфа. (Пространство Хаусдорфа или T2 – это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство является T3 тогда и только тогда, когда оно одновременно является регулярным и T0. (Пространство T0 или пространство Колмогорова – это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы, то есть для каждой пары различных точек хотя бы одна из них имеет открытую окрестность, не содержащую другую.) Действительно, если пространство является хаусдорфовым, то оно является T0, и каждое T0-регулярное пространство является хаусдорфовым: при наличии двух различных точек, по крайней мере одна из них не принадлежит замыканию другой, поэтому (по регулярности) существуют непересекающиеся окрестности, разделяющие одну точку от (замыкания) другой. Хотя определения "регулярный" и "T3", представленные здесь, не являются редкостью, в литературе существует значительная вариативность: некоторые авторы меняют местами определения "регулярный" и "T3", как они используются здесь, или используют оба термина как взаимозаменяемые. В этой статье термин "регулярный" используется свободно, но обычно будет использоваться термин "регулярный Хаусдорф", который является однозначным, вместо менее точного "T3". Более подробную информацию об этом вопросе можно найти в разделе "История аксиом разделения". Пространство является топологическим, если для каждой точки в нем существует открытая регулярная окрестность. Каждое регулярное пространство является локально регулярным, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, не являющегося регулярным, является линия с "глазками".

Отношения с другими аксиомами разделения

Регулярное пространство также является пререгулярным, то есть любые две топологически различимые точки могут быть разделены окрестностями. Поскольку пространство Хаусдорфа эквивалентно пререгулярному пространству T0, регулярное пространство, являющееся также T0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T3). Фактически, регулярное хаусдорфово пространство удовлетворяет несколько более сильному условию T2½. (Однако такое пространство не обязательно должно быть вполне хаусдорфовым.) Таким образом, в определении T3 можно указывать T0, T1 или T2½ вместо T2 (хаусдорфовости); все они эквивалентны в контексте регулярных пространств. В более теоретическом плане условия регулярности и T3 связаны посредством коэффициентов Колмогорова. Пространство является регулярным тогда и только тогда, когда его коэффициент Колмогорова является T3; и, как уже упоминалось, пространство является T3 тогда и только тогда, когда оно является регулярным и T0. Следовательно, регулярное пространство, встречающееся на практике, обычно можно считать T3, заменяя пространство его коэффициентом Колмогорова. Существует множество результатов для топологических пространств, справедливых как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты применимы ко всем пререгулярным пространствам; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку понятие пререгулярных пространств возникло позднее. С другой стороны, результаты, которые действительно касаются регулярности, как правило, не применимы к нерегулярным хаусдорфовым пространствам. Существует множество ситуаций, когда другое условие для топологических пространств (такое как нормальность, псевдонормальность, паракомпактность или локальная компактность) влечет за собой регулярность, если выполнена некоторая более слабая аксиома разделения, например, пререгулярность. Такие условия часто существуют в двух вариантах: регулярный и хаусдорфов. Хотя хаусдорфовы пространства обычно не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (например) локально компактно, будет регулярным, поскольку любое хаусдорфово пространство является пререгулярным. Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность здесь не является ключевым моментом, и мы могли бы наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат. Однако определения обычно все же формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое. Большинство топологических пространств, изучаемых в математическом анализе, являются регулярными; на самом деле, они обычно вполне регулярны, что является более сильным условием. Регулярные пространства также следует рассматривать в противопоставлении нормальным пространствам.

Примеры и не-примеры

Нулевое пространство относительно малой индуктивной размерности имеет базу, состоящую из полуоткрытых полузамкнутых множеств. Все такие пространства регулярны. Как описано выше, любое полностью регулярное пространство является регулярным, и любое T0-пространство, которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не является пререгулярным), не может быть регулярным. Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях. С другой стороны, пространства, которые регулярны, но не полностью регулярны, или пререгулярны, но не регулярны, обычно конструируются только для приведения контрпримеров к гипотезам, демонстрируя границы применимости возможных теорем. Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T0, и, следовательно, не являются хаусдорфовыми, например, недискретное пространство, но эти примеры дают больше понимания аксиомы T0, чем регулярности. Примером регулярного пространства, которое не является полностью регулярным, является тихоновский штопор. Большинство интересных в математике регулярных пространств также удовлетворяют некоторому более сильному условию. Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются для поиска свойств и теорем, таких как приведенные ниже, которые на самом деле применяются к полностью регулярным пространствам, как правило, в анализе. Существуют хаусдорфовы пространства, которые не являются регулярными. Примером является множество R с топологией, порожденной множествами вида U \ C, где U — открытое множество в обычном смысле, а C — фиксированное не замкнутое подмножество R с пустым внутренним множеством.

Элементарные свойства

Предположим, что X – регулярное пространство. Тогда для любой точки x и окрестности G точки x существует замкнутая окрестность E точки x, являющаяся подмножеством G.
Более формально, замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в точке x. Фактически, это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки в топологическом пространстве образуют локальную базу в этой точке, то пространство является регулярным. Переходя к внутренностям этих замкнутых окрестностей, мы видим, что регулярные открытые множества образуют базу для открытых множеств регулярного пространства X. Это свойство на самом деле более слабое, чем регулярность; топологическое пространство, у которого регулярные открытые множества образуют базу, является полурегулярным.