Трансверсальная проекция Меркатора: адаптация и свойства

Введение

Адаптация стандартной проекции Меркатора

Поперечная проекция Меркатора (TM, TMP) является адаптацией стандартной проекции Меркатора. Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая универсальную поперечную проекцию Меркатора. При использовании с подходящей геодезической системой отсчета, поперечная проекция Меркатора обеспечивает высокую точность в зонах, простирающихся менее чем на несколько градусов в направлении с востока на запад.

Сферический поперечный Меркатор

При построении карты на любой проекции обычно выбирают сферу для моделирования Земли, когда протяжённость отображаемой области превышает несколько сотен километров по обеим координатам. Для карт меньших регионов необходимо выбирать эллипсоидальную модель, если требуется более высокая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом. (Текст также доступен в современном английском переводе.) Ламберт не давал названия своим проекциям; название «поперечная проекция Меркатора» появилось во второй половине девятнадцатого века. Основные свойства поперечной проекции представлены здесь в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальные и поперечные сферические проекции

Нормальный МеркаторПредельный Меркатор •Центральный меридиан проецируется на прямую x = 0. Другие меридианы проецируются на прямые линии с постоянным x. •Центральный меридиан проецируется на прямую x = 0. Меридианы, отстоящие на 90 градусов к востоку и западу от центрального меридиана, проецируются на линии с постоянным y, проходящие через проецируемые полюса. Все остальные меридианы проецируются в сложные кривые. •Экватор проецируется на прямую y = 0, а параллельные круги – на прямые линии с постоянным y. •Экватор проецируется на прямую y = 0, но все остальные параллели представляют собой сложные замкнутые кривые. •Проецируемые меридианы и параллели пересекаются под прямым углом. •Проецируемые меридианы и параллели пересекаются под прямым углом. •Проекция неограничена в направлении y. Полюса находятся в бесконечности. •Проекция неограничена в направлении x. Точки на экваторе, отстоящие на девяносто градусов от центрального меридиана, проецируются в бесконечность. •Проекция конформная. Формы малых элементов хорошо сохраняются. •Проекция конформная. Формы малых элементов хорошо сохраняются. •Искажение возрастает с увеличением y. Проекция не подходит для создания карт мира. Искажение невелико вблизи экватора, и проекция (особенно в эллипсоидальной форме) подходит для точного картографирования экваториальных регионов. •Искажение возрастает с увеличением x. Проекция не подходит для создания карт мира. Искажение невелико вблизи центрального меридиана, и проекция (особенно в эллипсоидальной форме) подходит для точного картографирования узких областей. •Гренландия почти такая же большая, как Африка; ее фактическая площадь составляет примерно одну четырнадцатую площади Африки. •Когда Гренландия и Африка находятся вблизи центрального меридиана, их формы хорошо отображаются, а соотношение площадей является хорошим приближением к фактическим значениям. •Коэффициент масштаба точки не зависит от направления. Он является функцией y на проекции. (На сфере он зависит только от широты.) Масштаб истинный на экваторе. •Коэффициент масштаба точки не зависит от направления. Он является функцией x на проекции. (На сфере он зависит как от широты, так и от долготы.) Масштаб истинный на центральном меридиане. •Проекция достаточно точна вблизи экватора. Масштаб на угловом расстоянии 5° (по широте) от экватора меньше чем на 0,4% больше, чем масштаб на экваторе, и примерно на 1,54% больше на угловом расстоянии 10°. •Проекция достаточно точна вблизи центрального меридиана. Масштаб на угловом расстоянии 5° (по долготе) от центрального меридиана меньше чем на 0,4% больше, чем масштаб на центральном меридиане, и составляет около 1,54% на угловом расстоянии 10°. •В секантной версии масштаб уменьшен на экваторе и истинен на двух линиях, параллельных проецируемому экватору (и соответствующих двум параллельным кругам на сфере). •В секантной версии масштаб уменьшен на центральном меридиане и истинен на двух линиях, параллельных проецируемому центральному меридиану. (Эти две линии не являются меридианами.) •Схождение (угол между проецируемыми меридианами и линиями сетки с постоянным x) всегда равно нулю. Истинный север и север сетки совпадают. •Схождение равно нулю на экваторе и не равно нулю в других местах. Оно увеличивается по мере приближения к полюсам. Истинный север и север сетки не совпадают. •Ру́мбовые линии (с постоянным азимутом на сфере) проецируются в прямые линии.

Normal MercatorTransverse Mercator •The central meridian projects to the straight line x = 0. Other meridians project to straight lines with x constant. •The central meridian projects to the straight line x = 0. Meridians 90 degrees east and west of the central meridian project to lines of constant y through the projected poles. All other meridians project to complicated curves. • The equator projects to the straight line y = 0 and parallel circles project to straight lines of constant y. •The equator projects to the straight line y = 0 but all other parallels are complicated closed curves. •Projected meridians and parallels intersect at right angles. •Projected meridians and parallels intersect at right angles. •The projection is unbounded in the y direction. The poles lie at infinity. •The projection is unbounded in the x direction. The points on the equator at ninety degrees from the central meridian are projected to infinity. •The projection is conformal. The shapes of small elements are well preserved. •The projection is conformal. The shapes of small elements are well preserved. •Distortion increases with y. The projection is not suited for world maps. Distortion is small near the equator and the projection (particularly in its ellipsoidal form) is suitable for accurate mapping of equatorial regions. •Distortion increases with x. The projection is not suited for world maps. Distortion is small near the central meridian and the projection (particularly in its ellipsoidal form) is suitable for accurate mapping of narrow regions. •Greenland is almost as large as Africa; the actual area is about one fourteenth that of Africa. •When Greenland and Africa are both near the central meridian, their shapes are good and the ratio of the areas is a good approximation to actual values. •The point scale factor is independent of direction. It is a function of y on the projection. (On the sphere it depends on latitude only.) The scale is true on the equator. •The point scale factor is independent of direction. It is a function of x on the projection. (On the sphere it depends on both latitude and longitude.) The scale is true on the central meridian. •The projection is reasonably accurate near the equator. Scale at an angular distance of 5° (in latitude) away from the equator is less than 0.4% greater than scale at the equator, and is about 1.54% greater at an angular distance of 10°. •The projection is reasonably accurate near the central meridian. Scale at an angular distance of 5° (in longitude) away from the central meridian is less than 0.4% greater than scale at the central meridian, and is about 1.54% at an angular distance of 10°. •In the secant version the scale is reduced on the equator and it is true on two lines parallel to the projected equator (and corresponding to two parallel circles on the sphere). •In the secant version the scale is reduced on the central meridian and it is true on two lines parallel to the projected central meridian. (The two lines are not meridians.) •Convergence (the angle between projected meridians and grid lines with x constant) is identically zero. Grid north and true north coincide. •Convergence is zero on the equator and non zero everywhere else. It increases as the poles are approached. Grid north and true north do not coincide. •Rhumb lines (of constant azimuth on the sphere) project to straight lines.

Особенности

Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) искажения проекции невелики, и формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды хорошо соответствуют форме на земном шаре. Центральные области поперечных проекций на сфере и эллипсоиде практически неразличимы на проекциях малого масштаба, представленных здесь. Меридианы, отстоящие на 90° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана, проецируются в горизонтальные линии, проходящие через полюса. Более удаленное полушарие проецируется выше северного полюса и ниже южного полюса. Экватор рассекает Африку, пересекает Южную Америку и затем продолжается вдоль всей внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края следует рассматривать как идентичные (то есть они представляют собой одни и те же линии на земном шаре). (Индонезия рассечена экватором.) Искажения возрастают по направлению к правой и левой границам проекции, но не становятся бесконечными. Обратите внимание на Галапагосские острова, где 90° западный меридиан пересекает экватор в нижнем левом углу. Проекция конформная. Линии, пересекающиеся под определенным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом на проекции. В частности, параллели и меридианы пересекаются под углом 90°. Точечный масштабный коэффициент не зависит от направления в любой точке, что обеспечивает достаточно точное сохранение формы небольших областей. Необходимым условием является то, что величина масштабного коэффициента не должна слишком сильно изменяться в рассматриваемой области. Следует отметить, что, хотя Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы сохранить более или менее правильную форму, несмотря на удаленность от центрального меридиана. Выбор центрального меридиана существенно влияет на вид проекции. При выборе 90° западной долготы хорошо отображается вся Америка. При выборе 145° восточной долготы хорошо отображается Дальний Восток, а Австралия ориентирована севером вверх. В большинстве случаев система координат Гаусса — Крюгера применяется к узкой полосе вблизи центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидальной версиями невелики, но тем не менее важны для точного картографирования. Прямые ряды для масштаба, конвергенции и искажений являются функциями эксцентриситета, а также широты и долготы на эллипсоиде; обратные ряды являются функциями эксцентриситета, а также координат x и y на проекции. В секантной версии линии истинного масштаба на проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка изогнуты. Угол конвергенции между проецируемыми меридианами и линиями постоянной сетки x больше не равен нулю (за исключением экватора), поэтому показания сетки необходимо корректировать для получения азимута относительно истинного севера. Разница невелика, но не пренебрежима, особенно на высоких широтах.

Near the central meridian (Greenwich in the above example) the projection has low distortion and the shapes of Africa, western Europe, the British Isles, Greenland, and Antarctica compare favourably with a globe. The central regions of the transverse projections on sphere and ellipsoid are indistinguishable on the small scale projections shown here. The meridians at 90° east and west of the chosen central meridian project to horizontal lines through the poles. The more distant hemisphere is projected above the north pole and below the south pole. The equator bisects Africa, crosses South America and then continues onto the complete outer boundary of the projection; the top and bottom edges and the right and left edges must be identified (i. e. they represent the same lines on the globe). (Indonesia is bisected.) Distortion increases towards the right and left boundaries of the projection but it does not increase to infinity. Note the Galapagos Islands where the 90° west meridian meets the equator at bottom left. The map is conformal. Lines intersecting at any specified angle on the ellipsoid project into lines intersecting at the same angle on the projection. In particular parallels and meridians intersect at 90°. The point scale factor is independent of direction at any point so that the shape of a small region is reasonably well preserved. The necessary condition is that the magnitude of scale factor must not vary too much over the region concerned. Note that while South America is distorted greatly the island of Ceylon is small enough to be reasonably shaped although it is far from the central meridian. The choice of central meridian greatly affects the appearance of the projection. If 90°W is chosen then the whole of the Americas is reasonable. If 145°E is chosen the Far East is good and Australia is oriented with north up. In most applications the Gauss–Krüger coordinate system is applied to a narrow strip near the central meridians where the differences between the spherical and ellipsoidal versions are small, but nevertheless important in accurate mapping. Direct series for scale, convergence and distortion are functions of eccentricity and both latitude and longitude on the ellipsoid: inverse series are functions of eccentricity and both x and y on the projection. In the secant version the lines of true scale on the projection are no longer parallel to central meridian; they curve slightly. The convergence angle between projected meridians and the x constant grid lines is no longer zero (except on the equator) so that a grid bearing must be corrected to obtain an azimuth from true north. The difference is small, but not negligible, particularly at high latitudes.

Сферическая нормальная Меркатор пересмотрен

Нормальные цилиндрические проекции описываются относительно цилиндра, касающегося экватора, с осью, совпадающей с полярной осью сферы. Цилиндрические проекции строятся таким образом, что все точки меридиана проецируются в точки с координатами (где – радиус Земли), а φ является заданной функцией. Для тангентной нормальной проекции Меркатора (единственной) существуют формулы, гарантирующие конформность: Малинг и Осборн (с подробным описанием).

Сближение

Угол сближения γ в точке проекции определяется углом, измеренным от спроецированного меридиана, определяющего истинный север, до линии сетки с постоянным значением x, определяющей север сетки. Следовательно, γ является положительным в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Для получения направления на истинный север к направлению в сетке необходимо добавить сближение. Для секантной поперечной проекции Меркатора сближение может быть выражено как через географические координаты, так и через координаты проекции.

Координаты, сетки, восточные и северные точки

Координаты проекции, получаемые в результате различных развитий эллипсоидной поперечной Меркатора, являются декартовыми координатами, при которых центральный меридиан соответствует оси x, а экватор – оси y. И x, и y определены для всех значений λ и φ. Сама проекция не определяет сетку: сетка – это независимая конструкция, которую можно определить произвольно. На практике национальные реализации и UTM используют сетки, выровненные с декартовыми осями проекции, но они имеют конечные размеры, с началами координат, которые не обязаны совпадать с пересечением центрального меридиана с экватором. Истинное начало сетки всегда принимается на центральном меридиане, так что координаты сетки будут отрицательными к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, общепринятая практика определяет условное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от истинного начала сетки: координаты относительно условного начала определяют восточные и северные координаты, которые всегда будут положительными. Условное восточное смещение, E0, – это расстояние от истинного начала сетки к востоку от условного начала. Условное северное смещение, N0, – это расстояние от истинного начала сетки к северу от условного начала. Если истинное начало сетки находится на широте φ0 на центральном меридиане, а масштабный коэффициент на центральном меридиане равен k0, то эти определения дают восточные и северные координаты следующим образом:

Термины «восточные координаты» и «северные координаты» не подразумевают строго восточное и северное направления. Линии сетки поперечной проекции, за исключением осей x и y, не проходят строго с севера на юг или с востока на запад, как определено параллелями и меридианами. Это очевидно из глобальных проекций, представленных выше. Вблизи центрального меридиана различия невелики, но измеримы. Разница между линиями сетки, ориентированными с севера на юг, и истинными меридианами – это угол схождения.