Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Стандартты Меркатор проекциясының өңделуі
Adaptation of the standard Mercator projection
Көлденең Меркатор картасының проекциясы (TM, TMP) стандартты Меркатор проекциясының өңделуі болып табылады. Көлденең нұсқасы бүкіл әлемдегі ұлттық және халықаралық карта жасау жүйелерінде, соның ішінде Universal Transverse Mercator жүйесінде кеңінен қолданылады. Тиісті геодезиялық жүйемен жұптастырылғанда, көлденең Меркатор шығыс-батыс бағытында бірнеше градусқа дейінгі аймақтарда жоғары дәлдік қамтамасыз етеді.
The transverse Mercator map projection (TM, TMP) is an adaptation of the standard Mercator projection. The transverse version is widely used in national and international mapping systems around the world, including the Universal Transverse Mercator. When paired with a suitable geodetic datum, the transverse Mercator delivers high accuracy in zones less than a few degrees in east west extent.
Шар тәрізді Меркатор
Кез келген проекцияда картаны құрастыру кезінде, картаға түсірілген аймақтың көлемі екі өлшемде де бірнеше жүз шақырымнан асатын болса, Жерді модельдеу үшін әдетте сфера таңдалады. Шағын аймақтардың карталары үшін жоғары дәлдік қажет болса, эллипсоидты модельді таңдау керек; келесі бөлімді қараңыз. Көлденең Меркатор проекциясының сфералық түрі 1772 жылы Иоганн Генрих Ламберт ұсынған жеті жаңа проекцияның бірі болды. (Мәтін қазіргі ағылшын тіліндегі аудармасында да қолжетімді.) Ламберт өзінің проекцияларына ат қоймаған; көлденең Меркатор атауы он тоғызыншы ғасырдың екінші жартысынан бастау алады. Көлденең проекцияның негізгі қасиеттері осы жерде қалыпты проекцияның қасиеттерімен салыстырылып көрсетілген.
In constructing a map on any projection, a sphere is normally chosen to model the Earth when the extent of the mapped region exceeds a few hundred kilometers in length in both dimensions. For maps of smaller regions, an ellipsoidal model must be chosen if greater accuracy is required; see next section. The spherical form of the transverse Mercator projection was one of the seven new projections presented, in 1772, by Johann Heinrich Lambert. (The text is also available in a modern English translation.) Lambert did not name his projections; the name transverse Mercator dates from the second half of the nineteenth century. The principal properties of the transverse projection are here presented in comparison with the properties of the normal projection.
Қалыпты және көлденең сфералық проекциялар
Нормальді МеркаторТрансверс Меркатор •Орталық меридиан x = 0 тура сызығына проекцияланады. Басқа меридиандар x тұрақтысы бар түзу сызықтарға проекцияланады. •Орталық меридиан x = 0 тура сызығына проекцияланады. Орталық меридианнан 90 градус шығыс және батысқа орналасқан меридиандар проекцияланған полюстер арқылы өтетін тұрақты y сызықтарына проекцияланады. Қалған меридиандар күрделі қисықтарға проекцияланады. •Экватор y = 0 тура сызығына, ал параллель шеңберлер тұрақты y сызықтарына проекцияланады. •Экватор y = 0 тура сызығына проекцияланады, ал қалған параллельдер күрделі жабық қисықтар болып табылады. •Проекцияланған меридиандар мен параллельдер тік бұрышпен қиылысады. •Проекцияланған меридиандар мен параллельдер тік бұрышпен қиылысады. •Проекция y бағытында шектелмейді. Полюстер шексіздікте орналасқан. •Проекция x бағытында шектелмейді. Орталық меридианнан 90 градусқа дейінгі қашықтықтағы экватордағы нүктелер шексіздікке проекцияланады. •Проекция конформды. Кішкентай элементтердің пішіні жақсы сақталады. •Проекция конформды. Кішкентай элементтердің пішіні жақсы сақталады. •Бұрмалану y координатасымен бірге артады. Проекция әлемдік карталар үшін қолайлы емес. Экваторға жақын бұрмалану аз, сондықтан проекция (әсіресе эллипсоидты түрінде) экваторлық аймақтарды дәл карталауға жарамды. •Бұрмалану x координатасымен бірге артады. Проекция әлемдік карталар үшін қолайлы емес. Орталық меридианға жақын бұрмалану аз, сондықтан проекция (әсіресе эллипсоидты түрінде) тар аймақтарды дәл карталауға жарамды. •Гренландия Африкамен шамалас ауданды алып тұр, бірақ нақты ауданы Африканың шамамен он төртінші бөлігін құрайды. •Гренландия мен Африка екеуі де орталық меридианға жақын орналасқанда, олардың пішіндері жақсы сақталады және аудандарының арақатынасы нақты мәндерге жақын болады. •Беттік масштаб факторы бағытқа тәуелсіз. Бұл проекцияда y функциясы болып табылады. (Сферада ол тек ендікке байланысты.) Экваторда масштаб дұрыс. •Беттік масштаб факторы бағытқа тәуелсіз. Бұл проекцияда x функциясы болып табылады. (Сферада ол ендік және бойлыққа байланысты.) Масштаб орталық меридианда дұрыс. •Проекция экваторға жақын жерде өте дәл. Экватордан 5° (ендік бойынша) қашықтықтағы масштаб экватордағы масштабтан 0,4%-дан кем, ал 10° қашықтықта 1,54%-ға артық. •Проекция орталық меридианға жақын жерде өте дәл. Орталық меридианнан 5° (бойлық бойынша) қашықтықтағы масштаб орталық меридиандағы масштабтан 0,4%-дан кем, ал 10° қашықтықта 1,54%-ға жуық. •Секантты нұсқада экваторда масштаб кішірейтіледі және ол проекцияланған экваторға параллель екі түзуде дұрыс болады (және сферадағы екі параллель шеңберге сәйкес келеді). •Секантты нұсқада масштаб орталық меридианда кішірейтіледі және ол проекцияланған орталық меридианға параллель екі түзуде дұрыс болады. (Бұл екі түзу меридиан емес.) •Конвергенция (x тұрақтысы бар проекцияланған меридиандар мен тор сызықтары арасындағы бұрыш) бірдей нөлге тең. Торлық солтүстік және нақты солтүстік сәйкес келеді. •Конвергенция экваторда нөлге тең, ал басқа жерлерде нөлден өзгеше. Полюстерге жақындаған сайын ол артады. Торлық солтүстік және нақты солтүстік сәйкес келмейді. •Румб сызықтары (сферадағы тұрақты азимутты) түзу сызықтарға проекцияланады.
Normal MercatorTransverse Mercator •The central meridian projects to the straight line x = 0. Other meridians project to straight lines with x constant. •The central meridian projects to the straight line x = 0. Meridians 90 degrees east and west of the central meridian project to lines of constant y through the projected poles. All other meridians project to complicated curves. • The equator projects to the straight line y = 0 and parallel circles project to straight lines of constant y. •The equator projects to the straight line y = 0 but all other parallels are complicated closed curves. •Projected meridians and parallels intersect at right angles. •Projected meridians and parallels intersect at right angles. •The projection is unbounded in the y direction. The poles lie at infinity. •The projection is unbounded in the x direction. The points on the equator at ninety degrees from the central meridian are projected to infinity. •The projection is conformal. The shapes of small elements are well preserved. •The projection is conformal. The shapes of small elements are well preserved. •Distortion increases with y. The projection is not suited for world maps. Distortion is small near the equator and the projection (particularly in its ellipsoidal form) is suitable for accurate mapping of equatorial regions. •Distortion increases with x. The projection is not suited for world maps. Distortion is small near the central meridian and the projection (particularly in its ellipsoidal form) is suitable for accurate mapping of narrow regions. •Greenland is almost as large as Africa; the actual area is about one fourteenth that of Africa. •When Greenland and Africa are both near the central meridian, their shapes are good and the ratio of the areas is a good approximation to actual values. •The point scale factor is independent of direction. It is a function of y on the projection. (On the sphere it depends on latitude only.) The scale is true on the equator. •The point scale factor is independent of direction. It is a function of x on the projection. (On the sphere it depends on both latitude and longitude.) The scale is true on the central meridian. •The projection is reasonably accurate near the equator. Scale at an angular distance of 5° (in latitude) away from the equator is less than 0.4% greater than scale at the equator, and is about 1.54% greater at an angular distance of 10°. •The projection is reasonably accurate near the central meridian. Scale at an angular distance of 5° (in longitude) away from the central meridian is less than 0.4% greater than scale at the central meridian, and is about 1.54% at an angular distance of 10°. •In the secant version the scale is reduced on the equator and it is true on two lines parallel to the projected equator (and corresponding to two parallel circles on the sphere). •In the secant version the scale is reduced on the central meridian and it is true on two lines parallel to the projected central meridian. (The two lines are not meridians.) •Convergence (the angle between projected meridians and grid lines with x constant) is identically zero. Grid north and true north coincide. •Convergence is zero on the equator and non zero everywhere else. It increases as the poles are approached. Grid north and true north do not coincide. •Rhumb lines (of constant azimuth on the sphere) project to straight lines.
Ерекшеліктері
Орталық меридианның жанында (мысалы, жоғарыда көрсетілгендей Гринвич) проекцияның бұрмалануы төмен, ал Африка, Батыс Еуропа, Британ аралдары, Гренландия және Антарктида пішіндері глобуспен салыстырғанда жақсы сәйкес келеді. Сфера мен эллипсоидтағы көлденең проекциялардың орталық аймақтары осы жерде көрсетілген кішкентай масштабтағы проекцияларда ажыратылмайды. Таңдалған орталық меридианның 90° шығыс және батысындағы меридиандар полюстер арқылы горизонталь сызықтарға проекцияланады. Алшақ жарты шар солтүстік полюстен жоғары, ал оңтүстік полюстен төмен проекцияланады. Экватор Африканы екіге бөліп, Оңтүстік Америкадан өтеді, содан кейін проекцияның толық сыртқы шекарасына дейін жалғасады; жоғарғы және төменгі жиектер, оң және сол жиектер сәйкес келеді (яғни, олар глобустағы бірдей сызықтарды көрсетеді). (Индонезия екіге бөлінеді.) Бұрмалау проекцияның оң және сол жиектеріне қарай артады, бірақ шексіздікке жете алмайды. Галапагос аралдарына назар аударыңыз, онда 90° батыс меридианы экватормен төменгі сол жақта қиылысады. Карта конформды. Эллипсоидтағы кез келген бұрышта қиылысатын сызықтар проекцияда да сондай бұрышта қиылысатын сызықтар болып проекцияланады. Атап айтқанда, параллельдер мен меридиандар 90° бұрышпен қиылысады. Нүктелік масштаб факторы кез келген нүктеде бағытқа тәуелсіз, сондықтан кішкентай аймақтың пішіні сақталған күйде болады. Бұл үшін масштаб факторының аймақ бойынша тым көп өзгеруіне жол болмайды. Оңтүстік Американың қатты бұрмаланғанын ескеріңіз, бірақ Цейлон аралы орталық меридианнан алыс болса да, пішіні сақталады, өйткені ол кішкентай. Орталық меридианды таңдау проекцияның көрінісіне үлкен әсер етеді. Егер 90° батыс меридианы таңдалса, Американың барлық бөлігі жақсы көрінеді. Егер 145° шығыс меридианы таңдалса, Қиыр Шығыс жақсы көрінеді және Австралия солтүстікке қарай бағытталады. Көптеген жағдайларда Гаусс-Крюгер координаталар жүйесі орталық меридиандарға жақын тар жолаққа қолданылады, онда сфералық және эллипсоидтық нұсқалар арасындағы айырмашылықтар аз, бірақ дәл карта жасауда маңызды. Масштаб, конвергенция және бұрмалау үшін тікелей қатарлар эллипсоидтың эксцентриситетінен және ендік пен бойлықтан тәуелді, ал кері қатарлар эксцентриситеттен және проекциядағы x және y координаталарынан тәуелді. Секантты нұсқада проекциядағы нақты масштаб сызықтары енді орталық меридианға параллель емес, олар сәл қисық. Проекцияланған меридиандар мен x тұрақты тор сызықтары арасындағы конвергенция бұрышы енді нөлге тең емес (экватордан басқа), сондықтан тор бағытын нақты солтүстікке қатысты азимут алу үшін түзету қажет. Бұл айырмашылық аз, бірақ елеусіз емес, әсіресе жоғары ендіктерде.
Near the central meridian (Greenwich in the above example) the projection has low distortion and the shapes of Africa, western Europe, the British Isles, Greenland, and Antarctica compare favourably with a globe. The central regions of the transverse projections on sphere and ellipsoid are indistinguishable on the small scale projections shown here. The meridians at 90° east and west of the chosen central meridian project to horizontal lines through the poles. The more distant hemisphere is projected above the north pole and below the south pole. The equator bisects Africa, crosses South America and then continues onto the complete outer boundary of the projection; the top and bottom edges and the right and left edges must be identified (i. e. they represent the same lines on the globe). (Indonesia is bisected.) Distortion increases towards the right and left boundaries of the projection but it does not increase to infinity. Note the Galapagos Islands where the 90° west meridian meets the equator at bottom left. The map is conformal. Lines intersecting at any specified angle on the ellipsoid project into lines intersecting at the same angle on the projection. In particular parallels and meridians intersect at 90°. The point scale factor is independent of direction at any point so that the shape of a small region is reasonably well preserved. The necessary condition is that the magnitude of scale factor must not vary too much over the region concerned. Note that while South America is distorted greatly the island of Ceylon is small enough to be reasonably shaped although it is far from the central meridian. The choice of central meridian greatly affects the appearance of the projection. If 90°W is chosen then the whole of the Americas is reasonable. If 145°E is chosen the Far East is good and Australia is oriented with north up. In most applications the Gauss–Krüger coordinate system is applied to a narrow strip near the central meridians where the differences between the spherical and ellipsoidal versions are small, but nevertheless important in accurate mapping. Direct series for scale, convergence and distortion are functions of eccentricity and both latitude and longitude on the ellipsoid: inverse series are functions of eccentricity and both x and y on the projection. In the secant version the lines of true scale on the projection are no longer parallel to central meridian; they curve slightly. The convergence angle between projected meridians and the x constant grid lines is no longer zero (except on the equator) so that a grid bearing must be corrected to obtain an azimuth from true north. The difference is small, but not negligible, particularly at high latitudes.
Меркатордың шарлық нормалы қайта қаралған
Қалыпты цилиндрлік проекциялар шардың полярлық осі бойымен осьті, экваторға жанасқан цилиндрге қатысты сипатталады. Цилиндрлік проекциялар меридиандағы барлық нүктелерді (жер радиусы мұндағы ) нүктелеріне проекциялайтын етіп құрастырылады, ал – бұл функциясы белгіленген. Таңбалы Нормаль Меркатор проекциясы үшін сәйкестікті қамтамасыз ететін (бірден-бір) формулалар: Малинг және Осборн (толық мәліметтерімен).
The normal cylindrical projections are described in relation to a cylinder tangential at the equator with axis along the polar axis of the sphere. The cylindrical projections are constructed so that all points on a meridian are projected to points with (where is the Earth radius) and is a prescribed function of For a tangent Normal Mercator projection the (unique) formulae which guarantee conformality are: Maling and Osborne (with full details).
Ынтымақтастық
Проекциядағы γ нүктесінің конвергенция бұрышы, шынайы солтүстікті анықтайтын жобаланған меридианнан, тұрақты x координатасы бойынша жүргізілген тор сызығына дейінгі бұрышпен анықталады, ол тор солтүстігін көрсетеді. Сондықтан γ экватордың солтүстігінде және орталық меридианның шығысындағы квадрантта, сондай-ақ экватордың оңтүстігінде және орталық меридианның батысындағы квадрантта оң болады. Шын солтүстік бағытын алу үшін конвергенцияны тор бағытына қосу қажет. Секанттық көлденең Меркатор проекциясы үшін конвергенция географиялық координаталар немесе проекция координаталары арқылы көрсетілуі мүмкін.
The convergence angle γ at a point on the projection is defined by the angle measured from the projected meridian, which defines true north, to a grid line of constant x, defining grid north. Therefore, γ is positive in the quadrant north of the equator and east of the central meridian and also in the quadrant south of the equator and west of the central meridian. The convergence must be added to a grid bearing to obtain a bearing from true north. For the secant transverse Mercator the convergence may be expressed either in terms of the geographical coordinates or in terms of the projection coordinates:
Координаттар, торлар, шығыс және солтүстік бағыттар
Эллипсоидты көлденең Меркатордың әртүрлі дамуынан туындайтын проекциялық координаттар – Картезиандық координаттар болып табылады, мұнда орталық меридиан x осіне, ал экватор y осіне сәйкес келеді. x және y екеуі де λ және φ-ның барлық мәндері үшін анықталады. Проекция торды анықтамайды: тор – бұл кездейсоқ түрде анықталуы мүмкін тәуелсіз құрылым. Іс жүзінде, ұлттық жүзеге асырулар мен UTM проекцияның Картезиандық осьтерімен сәйкестендірілген торларды қолданады, бірақ олар шектеулі көлемде болады және орталық меридианның экватормен қиылысуымен сәйкес келмейтін бастапқы нүктеге ие. Тордың нақты бастапқы нүктесі әрқашан орталық меридианда орналасады, сондықтан тор координаттары орталық меридианның батысында теріс болады. Мұндай теріс тор координаттарын болдырмау үшін, стандартты тәжірибе тордың батысына (сондай-ақ, мүмкін, солтүстігіне немесе оңтүстігіне) жалған бастапқы нүктені анықтайды: жалған бастапқы нүктеге қатысты координаттар шығыс және солтүстік координаталарын анықтайды, олар әрқашан оң болады. Жалған шығыс, E0, – нақты тордың шығыс жағындағы жалған бастапқы нүктенің қашықтығы. Жалған солтүстік, N0, – нақты тордың жалған бастапқы нүктенің солтүстігіндегі қашықтығы. Егер тордың нақты бастапқы нүктесі орталық меридиандағы φ0 ендігінде орналасса және орталық меридианның масштаб факторы k0 болса, онда бұл анықтамалар шығыс және солтүстік координаталарын былай береді:
The projection coordinates resulting from the various developments of the ellipsoidal transverse Mercator are Cartesian coordinates such that the central meridian corresponds to the x axis and the equator corresponds to the y axis. Both x and y are defined for all values of λ and ϕ. The projection does not define a grid: the grid is an independent construct which could be defined arbitrarily. In practice the national implementations, and UTM, do use grids aligned with the Cartesian axes of the projection, but they are of finite extent, with origins which need not coincide with the intersection of the central meridian with the equator. The true grid origin is always taken on the central meridian so that grid coordinates will be negative west of the central meridian. To avoid such negative grid coordinates, standard practice defines a false origin to the west (and possibly north or south) of the grid origin: the coordinates relative to the false origin define eastings and northings which will always be positive. The false easting, E0, is the distance of the true grid origin east of the false origin. The false northing, N0, is the distance of the true grid origin north of the false origin. If the true origin of the grid is at latitude φ0 on the central meridian and the scale factor the central meridian is k0 then these definitions give eastings and northings by:
«Шығыс» және «солтүстік» терминдері қатаң шығыс және солтүстік бағыттарын білдірмейді. Көлденең проекцияның x және y осьтерінен басқа тор сызықтары, параллельдер мен меридиандармен анықталғандай, солтүстік-оңтүстік немесе шығыс-батыс бағыттарында жүрмейді. Бұл жоғарыда көрсетілген жаһандық проекциялардан көрінеді. Орталық меридианға жақын айырмашылықтар шағын, бірақ өлшенетін. Солтүстік-оңтүстік тор сызықтары мен нақты меридиандар арасындағы айырмашылық – конвергенция бұрышы.
The terms "eastings" and "northings" do not mean strict east and north directions. Grid lines of the transverse projection, other than the x and y axes, do not run north south or east west as defined by parallels and meridians. This is evident from the global projections shown above. Near the central meridian the differences are small but measurable. The difference between the north south grid lines and the true meridians is the angle of convergence.