Введение
Метод поиска корней
В численном анализе метод секантных является алгоритмом поиска корней, использующим последовательность пересечений секущих для более точного приближения корня функции f. Метод секантных можно рассматривать как конечно-разностное приближение метода Ньютона. Однако метод секантных предшествовал методу Ньютона более чем на 3000 лет.
Метод
Для нахождения нуля функции f метод секущих определяется рекуррентным соотношением. Как видно из этой формулы, требуются два начальных значения x₀ и x₁. В идеале, они должны быть выбраны вблизи искомого нуля.
Сближение
Итерации метода секущих сходятся к корню, если начальные значения достаточно близки к этому корню. Порядок сходимости равен , где – золотое сечение. В частности, сходимость сверхлинейная, но не квадратичная. Этот результат справедлив только при определенных технических условиях, а именно, если функция дважды непрерывно дифференцируема и рассматриваемый корень простой (то есть имеет кратность 1). Если начальные значения недостаточно близки к корню, то нет гарантии сходимости метода секущих. Не существует общего определения "достаточно близко", но критерий связан с тем, насколько "извилиста" функция на рассматриваемом интервале. Например, если функция дифференцируема на этом интервале и существует точка, где на интервале, то алгоритм может не сходиться.
is the golden ratio. In particular, the convergence is super linear, but not quite quadratic. This result only holds under some technical conditions, namely that be twice continuously differentiable and the root in question be simple (i. e., with multiplicity 1). If the initial values are not close enough to the root, then there is no guarantee that the secant method converges. There is no general definition of "close enough", but the criterion has to do with how "wiggly" the function is on the interval For example, if is differentiable on that interval and there is a point where on the interval, then the algorithm may not converge.
Обобщение
Метод Бройдена является обобщением метода секанта на случай более чем одного измерения. На следующем графике функция f изображена красным цветом, а последняя секущая – жирной синей линией. На графике точка пересечения секущей с осью x выглядит как хорошее приближение корня функции f.