Введение

Метод приближенного вычисления интегралов

В математике метод Лапласа, названный в честь Пьера Симона Лапласа, — это техника, используемая для приближенного вычисления интегралов вида

где f — дважды дифференцируемая функция, M — большое число, а пределы интегрирования a и b могут быть бесконечными. Этот метод был впервые представлен в 1806 году. В байесовской статистике приближение Лапласа может относиться либо к приближению нормализующей константы апостериорного распределения методом Лапласа, либо к приближению самого апостериорного распределения гауссовым распределением, центрированным в точке максимального апостериорного правдоподобия. Приближения Лапласа используются в методе интегрированных вложенных приближений Лапласа для быстрого приближенного байесовского вывода.

Концепция

Предположим, что функция имеет единственный глобальный максимум в точке x0. Пусть M – константа и рассмотрим следующие две функции:

Обратите внимание, что x0 будет глобальным максимумом как для функции f(x), так и для g(x). Теперь заметим:

При увеличении M отношение для f(x) будет расти экспоненциально, в то время как отношение для g(x) останется неизменным. Таким образом, существенный вклад в интеграл данной функции внесут только точки x в окрестности x0, которые затем можно оценить.

Дальнейшие обобщения

Расширением метода наискорейшего спуска является так называемый нелинейный метод стационарной фазы/наискорейшего спуска. Здесь вместо интегралов требуется асимптотически оценивать решения задач факторизации Римана — Гильберта. Заданы контур C на комплексной сфере, функция, определенная на этом контуре, и специальная точка, например, бесконечность. Необходимо найти функцию M, голоморфную вне контура C, с предписанным разрывом на C и заданной нормализацией в бесконечности. Если и, следовательно, M являются матрицами, а не скалярами, то эта задача, как правило, не имеет явного решения. В этом случае возможна асимптотическая оценка, аналогичная методу линейной стационарной фазы/наискорейшего спуска. Идея заключается в асимптотическом сведении решения исходной задачи Римана — Гильберта к решению более простой, явно разрешимой задачи Римана — Гильберта. Теорема Коши используется для обоснования деформаций контура разрыва. Нелинейная стационарная фаза была введена Дэйфтом и Чжоу в 1993 году на основе более ранних работ Ицса. Нелинейный метод наискорейшего спуска был введен Камвиссисом, К. Маклафлином и П. Миллером в 2003 году на основе предыдущих работ Лакса, Левермора, Дэйфта, Венекида и Чжоу. Как и в линейном случае, "контуры наискорейшего спуска" решают задачу минимума и максимума. В нелинейном случае они оказываются "S-образными кривыми" (определенными в другом контексте еще в 80-х годах Сталлом, Гончаром и Рахмановым). Метод нелинейной стационарной фазы/наискорейшего спуска находит применение в теории уравнений солитонов и интегрируемых моделей, теории случайных матриц и комбинаторике.