Кіріспе
Интегралдарды шамамен бағалау әдісі
In mathematics, Laplace's method, named after Pierre Simon Laplace, is a technique used to approximate integrals of the form
where is a twice differentiable function, M is a large number, and the endpoints a and b could possibly be infinite. This technique was originally presented in
In Bayesian statistics, Laplace's approximation can refer to either approximating the posterior normalizing constant with Laplace's method or approximating the posterior distribution with a Gaussian centered at the maximum a posteriori estimate. Laplace approximations are used in the integrated nested Laplace approximations method for fast approximate Bayesian inference.
Математикада Пьер Симон Лапластың есімімен аталған Лапластың әдісі – екі рет дифференциалданатын функция, M үлкен сан, ал a және b нүктелері шексіз болуы мүмкін интегралдарды шамамен есептеуге қолданылатын тәсіл. Бұл әдіс алғаш рет 18 жылғы еңбекте ұсынылған. Байес статистикасында Лапластың жақындауы Лапластың әдісімен артқы нормалау тұрақтысын немесе максималды апостериорлық бағалауда орталастырылған Гаусс таралымымен артқы үлестіруді шамалауға қатысты болуы мүмкін. Лапластың шамалаулары жылдам шамамен Байес қорытындылары үшін қолданылатын интеграцияланған ұялы Лапластың шамалау әдісінде пайдаланылады.
In mathematics, Laplace's method, named after Pierre Simon Laplace, is a technique used to approximate integrals of the form
where is a twice differentiable function, M is a large number, and the endpoints a and b could possibly be infinite. This technique was originally presented in
In Bayesian statistics, Laplace's approximation can refer to either approximating the posterior normalizing constant with Laplace's method or approximating the posterior distribution with a Gaussian centered at the maximum a posteriori estimate. Laplace approximations are used in the integrated nested Laplace approximations method for fast approximate Bayesian inference.
Тұжырымдама
Функцияның x0 нүктесінде бірегей жаһандық максимумы бар деп есептейік. M тұрақты сан болсын және келесі екі функцияны қарастырайық:
Note that x0 will be the global maximum of and as well. Now observe:
As M increases, the ratio for will grow exponentially, while the ratio for does not change. Thus, significant contributions to the integral of this function will come only from points x in a neighbourhood of x0, which can then be estimated.
Айта кетейік, x0 нүктесі – және функцияларының да жаһандық максимумы болады. Енді мынаны байқаңыз: M мәні артқан сайын, функциясы үшін қатынас экспоненциалды түрде өседі, ал функциясы үшін қатынас өзгеріссіз қалады. Осылайша, осы функцияның интегралына елеулі үлес тек x0 нүктесінің маңындағы x нүктелерінен түседі, оларды кейіннен бағалауға болады.
Note that x0 will be the global maximum of and as well. Now observe:
As M increases, the ratio for will grow exponentially, while the ratio for does not change. Thus, significant contributions to the integral of this function will come only from points x in a neighbourhood of x0, which can then be estimated.
Қосымша жалпылаулар
Ең тік түсу әдісінің кеңейтімі – сызықтық емес стационарлық фаза / ең тік түсу әдісі болып табылады. Мұнда интегралдардың орнына Риманн-Хилберт факторлау мәселелерінің асимптотикалық шешімдерін табу қажет. Комплекс сферадағы C контуры, осы контурда анықталған функция және, мысалы, шексіздік сияқты ерекше нүкте берілген жағдайда, C контурынан тыс жерде голоморфты болатын, C арқылы белгіленген секіру шарты мен шексіздікте берілген нормалау шартын қанағаттандыратын M функциясын іздеу жүргізіледі. Егер және демек, M матрицалар болса, онда бұл мәселе, әдетте, нақты шешімге ие болмайды. Асимптотикалық бағалау сызықтық стационарлық фаза / ең тік түсу әдісінің қағидалары бойынша жүзеге асырылуы мүмкін. Идея – берілген Риманн-Хилберт мәселесінің шешімін қарапайым, нақты шешімі бар Риманн-Хилберт мәселесіне асимптотикалық түрде келтіру. Коши теоремасы секіру контурларын деформациялаудың дұрыстығын дәлелдеу үшін қолданылады. Сызықтық емес стационарлық фаза 1993 жылы Дейфт пен Чжоудың, бұрынғыда Ицтің жұмыстарына сүйене отырып енгізген. 2003 жылы Камвиссис, К. Маклафлин және П. Миллер Лакс, Левермор, Дейфт, Венекид және Чжоудың бұрынғы еңбектеріне негізделген (тура мағынасында) сызықтық емес ең тік түсу әдісін ұсынды. Сызықтық жағдайдағыдай, "ең тік түсу контурлары" минимум-максимум мәселесін шешеді. Сызықтық емес жағдайда олар "S қисықтары" болып табылады (80-ші жылдары Шталь, Гончар және Рахманов басқа контексте анықтаған). Сызықтық емес стационарлық фаза / ең тік түсу әдісі солитондық теңдеулер теориясы мен интегралданатын модельдерге, кездейсоқ матрицаларға және комбинаторикаға қолданылады.