Эквант: устаревшая концепция орбит планет, предложенная Птолемеем во II веке н.э. Объясняет изменение скорости планет и сохраняет теорию равномерного движения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Устаревшая модель орбит планет, используемая телекоммуникационной компанией Equant.
Outdated measure of planetary orbits
the telecommunications company named Equant
Эквиант (или punctum aequans) – это математическая концепция, разработанная Клавдием Птолемеем во II веке нашей эры для объяснения наблюдаемого движения планет. Эквиант использовался для объяснения наблюдаемого изменения скорости на различных участках планетарной орбиты. Эта концепция позволила Птолемею сохранить теорию равномерного кругового движения, утверждая, что траектория небесных тел равномерна относительно одной точки и кругла относительно другой. У Птолемея не было отдельного слова для экванта – он использовал выражения вроде "экцентр, определяющий среднюю скорость".
Equant (or punctum aequans) is a mathematical concept developed by Claudius Ptolemy in the 2nd century AD to account for the observed motion of the planets. The equant is used to explain the observed speed change in different stages of the planetary orbit. This planetary concept allowed Ptolemy to keep the theory of uniform circular motion alive by stating that the path of heavenly bodies was uniform around one point and circular around another point. Ptolemy does not have a word for the equant – he used expressions such as "the eccentre producing the mean motion".
Размещение
Экватантная точка (показана на диаграмме большим •) располагается таким образом, чтобы быть диаметрально противоположной Земле относительно центра деферента, известного как эксцентр (обозначен ×). Считалось, что планета или центр эпицикла (меньшая окружность, по которой движется планета) движется с постоянной угловой скоростью относительно экванта. Гипотетическому наблюдателю, находящемуся в эквантной точке, центр эпицикла (обозначен маленьким ·) казался бы движущимся с равномерной угловой скоростью. Однако центр эпицикла не движется с постоянной скоростью по своей траектории – деференту.
The equant point (shown in the diagram by the large • ), is placed so that it is directly opposite to Earth from the deferent's center, known as the eccentric (represented by the × ). A planet or the center of an epicycle (a smaller circle carrying the planet) was conceived to move at a constant angular speed with respect to the equant. To a hypothetical observer placed at the equant point, the epicycle's center (indicated by the small · ) would appear to move at a steady angular speed. However, the epicycle's center will not move at a constant speed along its deferent.
Мотивация
Причина внедрения экванта заключалась в поддержании видимости постоянного кругового движения небесных тел – давней веры, возникшей у Аристотеля по философским соображениям, – а также в обеспечении наилучшего соответствия вычислений наблюдаемому движению тел, особенно в отношении величины видимого ретроградного движения всех тел Солнечной системы, за исключением Солнца и Луны. Модель экванта предполагает движение тела по круговой траектории, не центрированной на Земле. Скорость движущегося объекта изменяется в течение его орбиты вокруг внешнего круга (пунктирной линией), будучи выше в нижней половине и ниже в верхней, однако движение считается равномерным, поскольку планета проходит равные углы за равные промежутки времени с точки зрения экванта. Угловая скорость объекта не является равномерной при наблюдении из любой другой точки на орбите. Применение экванта без эпицикла (как в случае Солнца) позволяет добиться правильной угловой скорости в перигее и апогее, с соотношением (где – орбитальная эксцентриситет). Однако по сравнению с орбитой Кеплера, метод экванта приводит к тому, что тело проводит слишком мало времени вдали от Земли и слишком много времени вблизи неё. Например, когда эксцентрическая аномалия равна π/2, кеплеровская модель показывает, что с момента прохождения перигея прошло время (где период равен , см. уравнение Кеплера), в то время как модель экванта дает значение, немного превышающее это. Более того, истинная аномалия в этой точке, согласно модели экванта, составляет только , тогда как в кеплеровской модели она больше. Однако при малых значениях эксцентриситета погрешность очень мала и асимптотически стремится к эксцентриситету в третьей степени.
The reason for the implementation of the equant was to maintain a semblance of constant circular motion of celestial bodies, a long standing article of faith originated by Aristotle for philosophical reasons, while also allowing for the best match of the computations of the observed movements of the bodies, particularly in the size of the apparent retrograde motion of all Solar System bodies except the Sun and the Moon. The equant model has a body in motion on a circular path not centered on the Earth. The moving object's speed will vary during its orbit around the outer circle (dashed line), faster in the bottom half and slower in the top half, but the motion is considered uniform because the planet goes through equal angles in equal times from the perspective of the equant point. The angular speed of the object is non uniform when viewed from any other point within the orbit. Applied without an epicycle (as for the Sun), using an equant allows for the angular speed to be correct at perigee and apogee, with a ratio of (where is the orbital eccentricity). But compared with the Keplerian orbit, the equant method causes the body to spend too little time far from the Earth and too much close to the Earth. For example, when the eccentric anomaly is π/2, the Keplerian model says that an amount of time of will have elapsed since perigee (where the period is , see Kepler equation), whereas the equant model gives which is a little more. Furthermore, the true anomaly at this point, according to the equant model, will be only whereas in the Keplerian model it is which is more. However, for small eccentricity the error is very small, being asymptotic to the eccentricity to the third power.
Открытие и использование
Птолемей ввел эквант в «Альмагесте». Для таких данных требуется понятие эксцентрических центров движения. До примерно 430 года до нашей эры Метон и Евктемон из Афин наблюдали различия в продолжительности сезонов.
Ptolemy introduced the equant in "Almagest". Such data requires the concept of eccentric centers of motion. Before around the year 430 BCE, Meton and Euktemon of Athens observed differences in the lengths of the seasons.
Птолемей
Между моделью Гиппарха и моделью Птолемея существовала промежуточная модель, предложенная для объяснения движения планет в целом, основываясь на наблюдаемом движении Марса. В этой модели центр деферента совпадал с эквантом, который можно было перемещать вдоль линии симметрии деферента, чтобы согласовать его с ретроградным движением планеты. Однако эта модель по-прежнему не соответствовала фактическому движению планет, как отмечал Гиппарх. Это особенно касалось фактического расстояния и ширины ретроградных дуг, которые позже можно было наблюдать в модели Птолемея и сравнивать. Птолемей решил эту проблему, отделив эквант от центра деферента, сделав их обоими отдельными элементами модели и зафиксировав центр деферента на протяжении всего движения планеты.
Between Hipparchus's model and Ptolemy's there was an intermediate model that was proposed to account for the motion of planets in general based on the observed motion of Mars. In this model, the deferent had a center that was also the equant, that could be moved along the deferent's line of symmetry in order to match to a planet's retrograde motion. This model, however, still did not align with the actual motion of planets, as noted by Hipparchos. This was true specifically regarding the actual spacing and widths of retrograde arcs, which could be seen later according to Ptolemy's model and compared. when he separated it from the center of the deferent, making both it and the deferent's center their own distinct parts of the model and making the deferent's center stationary throughout the motion of a planet.
Критики
Эквиант решал последнюю основную проблему, связанную с аномалистическим движением планет, но некоторые считали, что он компрометирует принципы древнегреческих философов, а именно равномерное круговое движение вокруг Земли. Равномерность обычно предполагалась наблюдаемой из центра деферента, и поскольку это происходит только в одной точке, неравномерное движение наблюдается из любой другой точки. Птолемей переместил точку наблюдения из центра деферента в точку экванта. Это можно рассматривать как нарушение аксиомы равномерного кругового движения. Известные критики экванта включают персидского астронома Насира ад-Дина ат-Туси, разработавшего пару Туси как альтернативное объяснение, и Николая Коперника, альтернативой которого стала новая пара небольших эпициклов для каждого деферента. Неприязнь к экванту была главной мотивацией для Коперника в создании его гелиоцентрической системы. Нарушение равномерного кругового движения вокруг центра деферента беспокоило многих мыслителей, особенно Коперника, который упоминает эквант как «чудовищную конструкцию» в «De Revolutionibus». Коперник вывел Землю из центра космоса, что устранило первостепенную необходимость в эпициклах Птолемея: это объясняло ретроградное движение как эффект перспективы, обусловленный относительным движением Земли и планет. Однако он не объяснил неравномерное движение Солнца и Луны, относительное движение которых Коперник не изменил (хотя он переформулировал вращение Солнца вокруг Земли как вращение Земли вокруг Солнца, эти два варианта геометрически эквивалентны). Перемещение центра планетарного движения с Земли на Солнце не устранило необходимости в объяснении неравномерного движения Солнца, для которого Коперник заменил эквант двумя (или несколькими) меньшими эпициклами.
The equant solved the last major problem of accounting for the anomalistic motion of the planets but was believed by some to compromise the principles of the ancient Greek philosophers, namely uniform circular motion about the Earth. The uniformity was generally assumed to be observed from the center of the deferent, and since that happens at only one point, only non uniform motion is observed from any other point. Ptolemy displaced the observation point from the center of the deferent to the equant point. This can be seen as violating the axiom of uniform circular motion. Noted critics of the equant include the Persian astronomer Nasir al Din Tusi who developed the Tusi couple as an alternative explanation, and Nicolaus Copernicus, whose alternative was a new pair of small epicycles for each deferent. Dislike of the equant was a major motivation for Copernicus to construct his heliocentric system. The violation of uniform circular motion around the center of the deferent bothered many thinkers, especially Copernicus, who mentions the equant as a "monstrous construction" in De Revolutionibus. Copernicus' displacement of the Earth from the center of the cosmos obviated the primary need for Ptolemy's epicycles: It explained retrograde movement as an effect of perspective, due to the relative motion of the earth and the planets. However, it did not explain non uniform motion of the Sun and Moon, whose relative motions Copernicus did not change (even though he did recast the Sun orbiting the Earth as the Earth orbiting the Sun, the two are geometrically equivalent). Moving the center of planetary motion from the Earth to the Sun did not remove the need for something to explain the non uniform motion of the Sun, for which Copernicus substituted two (or several) smaller epicycles instead of an equant.