Универсальность построений с помощью линейки и одной окружности.

Введение

Универсальность построения с использованием только линейки и одной окружности с центром

В области математики, известной как евклидова геометрия, теорема Понселе-Штейнера является одним из нескольких результатов, касающихся построений с помощью линейки и циркуля, на которые наложены дополнительные ограничения традиционных правил. Этот результат утверждает, что всё, что можно построить с помощью линейки и циркуля вместе, можно построить только с помощью линейки, при условии, что дана одна окружность и её центр. Эта теорема связана с эквивалентностью «ржавого циркуля». Любое евклидово построение, в той мере, в какой заданные и требуемые элементы являются точками (или линиями), если оно может быть завершено как циркулем, так и линейкой, может быть завершено только линейкой, при условии, что в плоскости существует как минимум одна окружность с её центром. Хотя циркуль может значительно облегчить построения, подразумевается, что циркуль не имеет функционального назначения после того, как первая окружность будет начерчена. Все построения остаются возможными, хотя естественно понимать, что окружности и их дуги нельзя начертить без циркуля. Все точки, однозначно определяющие построение, которые можно определить с помощью циркуля, также однозначно определимы и без него, хотя и с большей сложностью. Это означает лишь то, что циркуль можно использовать в эстетических целях, а не в целях построения. Другими словами, циркуль можно использовать после определения всех ключевых точек, чтобы «заполнить» дуги исключительно для визуальных или художественных целей, если это желательно, а не как необходимый шаг к построению. Ничего не теряется, пренебрегая построением окружных дуг. Построения, выполненные в соответствии с этой теоремой и полагающиеся исключительно на использование линейки без помощи циркуля, известны как построения Штейнера. Построения Штейнера могут включать любое количество окружностей, в том числе ни одной, уже начерченных в плоскости, с их центрами или без них. Они могут включать в себя всевозможные уникальные формы и кривые, предварительно существующие в плоскости, также при условии, что линейка является единственным физическим инструментом в распоряжении геометра. В то время как теорема Понселе-Штейнера постулирует существование окружности и её центра и утверждает, что одна окружность эквивалентна циркулю.

In the branch of mathematics known as Euclidean geometry, the Poncelet–Steiner theorem is one of several results concerning compass and straightedge constructions having additional restrictions imposed on the traditional rules. This result states that whatever can be constructed by straightedge and compass together can be constructed by straightedge alone, provided that a single circle and its centre are given. This theorem is related to the rusty compass equivalence. Any Euclidean construction, insofar as the given and required elements are points (or lines), if it can be completed with both the compass and the straightedge together, may be completed with the straightedge alone provided that no fewer than one circle with its center exist in the plane. Though a compass can make constructions significantly easier, it is implied that there is no functional purpose of the compass once the first circle has been drawn. All constructions remain possible, though it is naturally understood that circles and their arcs cannot be drawn without the compass. All points that uniquely define a construction, which can be determined with the use of the compass, are equally determinable without, albeit with greater difficulty. This means only that the compass may be used for aesthetic purposes, rather than for the purposes of construction. In other words, the compass may be used after all of the key points are determined, in order to "fill in" the arcs purely for visual or artistic purposes, if it is desirable, and not as a necessary step toward construction. Nothing is lost by neglecting the construction of circular arcs. Constructions carried out in adherence with this theorem relying solely on the use of a straightedge tool without the aid of a compass are known as Steiner constructions. Steiner constructions may involve any number of circles, including none, already drawn in the plane, with or without their centers. They may involve all manner of unique shapes and curves preexisting in the plane, also, provided that the straightedge tool is the only physical tool at the geometers disposal. Whereas the Poncelet Steiner theorem stipulates the existence of a circle and its center, and affirms that a single circle is equivalent to a compass.

История

В десятом веке персидский математик Абу аль-Вафа Буджхани (940–998) рассматривал геометрические построения с использованием линейки и циркуля с фиксированным раскрытием, так называемого «ржавого» циркуля. Построения такого типа, по-видимому, имели некоторое практическое значение, поскольку они использовались художниками Леонардо да Винчи и Альбрехтом Дюрером в Европе в конце пятнадцатого века. Новая точка зрения сформировалась в середине шестнадцатого века, когда размер раскрытия считался фиксированным, но произвольным, и основной вопрос заключался в том, сколько построений Евклида можно было бы получить. Математик эпохи Возрождения Лодовико Феррари, ученик Джероламо Кардано, в «математическом состязании» против Никколо Фонтаны Тартальи, смог показать, что «все построения Евклида» (то есть построения линейки и циркуля в первых шести книгах «Начал» Евклида) можно выполнить с помощью линейки и «ржавого» циркуля. В течение десяти лет дополнительные решения были получены Кардано, Тартальей и учеником Тартальи Бенедетти. В течение следующего столетия эти решения были забыты, пока в 1673 году Георг Мор не опубликовал (анонимно и на голландском языке) «Euclidis Curiosi», содержащую его собственные решения. Мор лишь слышал о существовании более ранних результатов, что побудило его заняться этой проблемой. Показать, что «все построения Евклида» можно выполнить с помощью линейки и «ржавого» циркуля, не то же самое, что доказать, что все построения линейки и циркуля можно выполнить с помощью линейки и только «ржавого» циркуля. Такое доказательство потребовало бы формализации того, что можно построить с помощью линейки и циркуля. Эта основа была заложена Жаном-Виктором Понселе в 1822 году, вдохновленным работой Мора над теоремой Мора-Машерони. Он также предположил и предложил возможное доказательство того, что линейка и «ржавый» циркуль эквивалентны линейке и циркулю, и более того, «ржавый» циркуль нужно использовать лишь однажды. Результат о том, что «линейка и одна окружность с заданным центром эквивалентны линейке и циркулю», был доказан Якобом Штайнером в 1833 году. Как только один центр построен, ситуация снова сводится к исходной гипотезе теоремы Понселе-Штайнера. В каждом из этих сценариев существует больше информации, чем просто наличие второй окружности. Тот факт, что две окружности концентричны, или что две окружности имеют известные точки пересечения, или наличие третьей окружности, или точки на средней линии или радикальной оси, представляет собой дополнительную информацию, помимо простого наличия второй окружности.

In the tenth century, the Persian mathematician Abu al Wafa' Buzjani (940−998) considered geometric constructions using a straightedge and a compass with a fixed opening, a so called rusty compass. Constructions of this type appeared to have some practical significance as they were used by artists Leonardo da Vinci and Albrecht Dürer in Europe in the late fifteenth century. A new viewpoint developed in the mid sixteenth century when the size of the opening was considered fixed but arbitrary and the question of how many of Euclid's constructions could be obtained was paramount. Renaissance mathematician Lodovico Ferrari, a student of Gerolamo Cardano in a "mathematical challenge" against Niccolò Fontana Tartaglia was able to show that "all of Euclid" (that is, the straightedge and compass constructions in the first six books of Euclid's Elements) could be accomplished with a straightedge and rusty compass. Within ten years additional sets of solutions were obtained by Cardano, Tartaglia and Tartaglia's student Benedetti. During the next century these solutions were generally forgotten until, in 1673, Georg Mohr published (anonymously and in Dutch) Euclidis Curiosi containing his own solutions. Mohr had only heard about the existence of the earlier results and this led him to work on the problem. Showing that "all of Euclid" could be performed with straightedge and rusty compass is not the same as proving that all straightedge and compass constructions could be done with a straightedge and just a rusty compass. Such a proof would require the formalization of what a straightedge and compass could construct. This groundwork was provided by Jean Victor Poncelet in 1822, having been motivated by Mohr's work on the Mohr Mascheroni theorem. He also conjectured and suggested a possible proof that a straightedge and rusty compass would be equivalent to a straightedge and compass, and moreover, the rusty compass need only be used once. The result that "a straightedge and single circle with given centre is equivalent to a straightedge and compass" was proved by Jakob Steiner in 1833. Once a single center is constructed, the scenario again reduces to the original hypothesis of the Poncelet Steiner theorem. In each of these scenarios, more information exists than just a second circle. The fact that two circles are concentric, or that two circles have known intersection points, or the presence of a third circle, or of a point on either a centerline or a radical axis, constitutes an additional piece of information beyond merely the presence of a second circle.

Понцелет-Штайнер без полной круговой дуги

В другой альтернативной версии, весь круг не требуется вообще. В 1904 году Франческо Севери доказал, что любая небольшая дуга (круга) вместе с центром будет достаточной. Эта конструкция позволяет прервать построение с помощью циркуля в любой момент до завершения первого круга, но после его начала, таким образом, проводя некоторую непрерывную часть дуги окружности в плоскости, при этом все построения остаются возможными. Следовательно, условия, лежащие в основе теоремы Понселе-Штейнера, действительно могут быть ослаблены, но только в отношении полноты круговой дуги, а не, как следует из теоремы Штейнера, в отношении центра. Теорема демонстрирует штейнеровское построение точек пересечения прямой и окружности, заданной дугой, независимо от размера или положения дуги, используя только линейку и саму дугу. При этом, в построении не используется центр окружности, которой принадлежит дуга. Хотя центр необходим для полноты евклидовой геометрии, как доказывают теорема Штейнера и теорема Понселе-Штейнера, он не требуется для нахождения точек пересечения прямой с окружностью, заданной дугой. Используя эту конструкцию, дугу и центр окружности, которой принадлежит дуга, все вышеупомянутые построения Понселе-Штейнера достижимы в равной степени, хотя и с большей сложностью. Кроме того, в каждом из ранее описанных сценариев, где центр окружности опущен, полнота круговой дуги не является необходимой, согласно теореме Севери, при условии, что точки пересечения окружностей заданы явно, когда дуги окружностей не существуют в местах, где должны быть точки пересечения. Иными словами, если точки пересечения двух окружностей, заданных дугами, не могут быть найдены непосредственно по этим дугам, они должны быть предоставлены. В противном случае полнота круговой дуги избыточна.

Конструкции с вытянутым, освобожденным или неузесным покрытием

Вместо дальнейшего ограничения правил построения, в равной степени интересен вопрос изучения ослабления ограничений. Иногда их называют расширенными построениями, поскольку они расширяют возможности построения, расширяя допустимый набор инструментов. Эти построения также называются построениями неусис (от греческого), поскольку они используют инструменты, отличные от циркуля и линейки, или освобожденными построениями, поскольку они смягчают ограничения традиционной парадигмы. Так же, как геометры изучали, что остаётся возможным построить (и как), когда дополнительные ограничения накладываются на традиционные правила построения, такие как использование только циркуля, только линейки, «ржавого» циркуля и т. д., они также изучали, какие построения становятся возможными, которые ранее были невозможны, когда естественные ограничения, присущие традиционным правилам построения, ослабляются. Задаются вопросы, такие как: «что становится построимым», «как это можно построить», «какие традиционные правила необходимо нарушить», «какие самые простые инструменты требуются», «какие, казалось бы, различные инструменты эквивалентны», «как новая парадигма упрощает традиционные построения» и т. д. Например, произвольный угол нельзя разделить на три равные части, используя традиционные правила циркуля и линейки, но трисекция становится возможной при разрешении использования дополнительного инструмента – эллипса на плоскости, который сам по себе не является построимым. Некоторые из традиционных нерешенных задач, таких как трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга, нахождение кубических корней и т. д., которые были доказаны невозможными только с помощью циркуля и линейки, были решены с использованием расширенного набора инструментов. В целом, объекты, изучаемые для расширения области построимого, включают: не-построимые «вспомогательные» кривые на плоскости, включая любые из конических сечений, циклоиды, лемнискаты, лимаконы, спираль Архимеда, спираль Эйлера, любые трисектрисы или квадратрисы и другие. Физические инструменты, отличные от циркуля и линейки, обычно называемые неусисами, которые включают в себя такие инструменты, как томагавк, линейки с отметками и двойным краем, градуированные линейки, угольники, механизмы, эллипсографы, кривые Гаусса и другие. Методы складывания бумаги, полученные из математического и геометрического изучения оригами. Древние геометры считали построения циркулем и линейкой (известные как планарные построения) идеальными и предпочтительными. Вторым по предпочтению были стереометрические построения, которые включали использование конических сечений на плоскости, отличных от окружности. В-третьих, они предпочитали использование произвольных гладких кривых на плоскости и, в наименьшей степени, использование неусисов (альтернативных физических ручных инструментов). Сомнительно, что древние геометры, по крайней мере в западном мире, даже рассматривали складывание бумаги. Термин «неусис» или «построение неусис» также может относиться к конкретному инструменту или методу, использованному древними геометрами. Градуированная линейка уникальна тем, что она определяет метрику и приводит к алгебраическому рассмотрению геометрии, декартовым графикам и вводит стандартную единицу пропорциональности отрезков.

Instead of restricting the rules of construction further, it is of equal interest to study relaxing the restrictions. These are sometimes called extended constructions, because they extend what is constructible by extending the allowable toolset. These constructions are also called neusis constructions (from Greek) because they employ tools other than the compass and straightedge, or liberated constructions because they alleviate the restrictions of the traditional paradigm. Just as geometers have studied what remains possible to construct (and how) when additional restrictions are placed on traditional construction rules such as compass only, straightedge only, rusty compass, etc. they have also studied what constructions becomes possible that weren't already when the natural restrictions inherent to traditional construction rules are alleviated. Questions such as "what becomes constructible", "how might it be constructed", "what are the fewest traditional rules to be broken", "what are the simplest tools needed", "which seemingly different tools are equivalent", "how does the new paradigm simplify traditional constructions", etc. are asked. The arbitrary angle is not trisectable using traditional compass and straightedge rules, for example, but the trisection becomes constructible when allowed the additional tool of an ellipse in the plane, which is itself not constructible. Some of the traditional unsolved problems such as angle trisection, doubling the cube, squaring the circle, finding cubic roots, etc., since proven to be impossible by straightedge and compass alone, have been resolved using an expanded set of tools. In general, the objects studied to extend the scope of what is constructible have included:
Non constructible "auxiliary" curves in the plane including any of the conic sections, cycloids, lemniscates, limaçons, the Archimedean spiral, Euler spiral, any of the trisectrices or quadratrices, and others. Physical tools other than the compass and straightedge generally called neuseis which include specific tools such as the Tomahawk, markable and double edged straightedges, graduated rulers, right triangular rulers, linkages, ellipsographs, French curves, and others. Paper folding techniques, derived from the mathematical and geometric study of Origami. The ancient geometers considered the compass and straightedge constructions (known as planar constructions) as ideal and preferred. Second to that they preferred solid constructions, which included the use of conic sections in the plane other than the circle. They favored thirdly the use of arbitrary smooth curves in the plane, and least of all the use of neuseis (alternative physical handheld tools). It is doubtful that the ancient geometers at least of the western world even considered paper folding. The term neusis or neusis construction may also refer to a specific tool or method employed by the ancient geometers. The graduated ruler is unique in that it defines a metric, and gives rise to the algebraic treatment of geometry, Cartesian graphing, and imports a standard unit for proportionality of segments.