Математическая модель физического пространства: Евклидова геометрия

Введение

Математическая модель физического пространства. Евклидова геометрия — математическая система, приписываемая древнегреческому математику Евклиду, которую он описал в своем учебнике по геометрии «Начала». Подход Евклида заключается в принятии небольшого набора интуитивно понятных аксиом (постулатов) и логическом выводе из них множества других утверждений (теорем). Хотя многие результаты Евклида были сформулированы и ранее, Евклид первым организовал эти утверждения в логическую систему, где каждое из них доказывается на основе аксиом и ранее доказанных теорем. «Начала» начинаются с планиметрии, которая до сих пор преподается в средней школе как первая аксиоматическая система и первые примеры математических доказательств. Затем рассматривается стереометрия трехмерного пространства. Значительная часть «Начал» содержит результаты, которые сегодня относятся к алгебре и теории чисел, но изложены на геометрическом языке. Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии, поскольку она логически выводится из аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах. Это отличается от аналитической геометрии, введенной почти через 2000 лет Рене Декартом, которая использует координаты для выражения геометрических свойств посредством алгебраических формул.

Постулат параллели

Для древних параллельный постулат казался менее очевидным, чем другие. Они стремились создать систему абсолютно достоверных утверждений, и им представлялось, что постулат о параллельных линиях требует доказательства из более простых положений. Теперь известно, что такое доказательство невозможно, поскольку можно построить непротиворечивые системы геометрии (соблюдая остальные аксиомы), в которых параллельный постулат истинен, а в других – ложен. Сам Евклид, по-видимому, считал его качественно отличным от остальных, что подтверждается структурой «Начал»: его первые 28 предложений – это те, которые можно доказать без его использования. Можно сформулировать множество альтернативных аксиом, логически эквивалентных параллельному постулату (в контексте остальных аксиом). Например, аксиома Плейфера формулируется так:

В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую. Условие "не более одной" является достаточным, поскольку из остальных аксиом можно доказать существование хотя бы одной параллельной прямой.

Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна. Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и единственность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только сообщается о существовании определенных вещей, но и предоставляются методы их создания с использованием не более чем циркуля и неозначенной линейки. В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств, которые часто утверждают существование объектов, не указывая, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые невозможно построить в рамках данной теории. Строго говоря, линии, нарисованные на бумаге, являются моделями объектов, определенных в формальной системе, а не самими этими объектами. Например, евклидова прямая не имеет ширины, в то время как любая реальная нарисованная линия будет иметь ширину. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же обоснованными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто заменяли ошибочные неконструктивные доказательства, например, некоторые доказательства пифагорейцев, включавшие иррациональные числа, которые обычно требовали утверждения вроде: "Найдите наибольший общий делитель…".

Евклид часто использовал доказательство от противного. Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, доказательство конгруэнтности треугольников по стороне, углу и стороне, доказывается путем перемещения одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпала с равной стороной другого треугольника, а затем доказывается совпадение и остальных сторон. Некоторые современные подходы добавляют шестой постулат – жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу наложению.

Название точек и цифр

Обычно точки обозначают заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как прямые, треугольники или окружности, обозначаются перечислением достаточного количества точек для их однозначного выделения на данной фигуре; например, треугольник ABC обычно представляет собой треугольник с вершинами в точках A, B и C.

Дополнительные углы

Углы, сумма которых равна 90 градусам, называются комплементарными. Комплементарные углы образуются, когда луч имеет общую вершину с двумя лучами, образующими прямой угол, и направлен между ними. Количество лучей, которые можно провести между двумя исходными лучами, бесконечно. Углы, сумма которых равна развернутому углу, называются смежными (или дополнительными). Смежные углы образуются, когда луч имеет общую вершину с двумя лучами, образующими развернутый угол (угол в 180 градусов), и направлен между ними. Количество лучей, которые можно провести между двумя исходными лучами, бесконечно.

Современные версии Евклидовой нотации

В современной терминологии углы обычно измеряются в градусах или радианах. Современные школьные учебники часто определяют отдельные фигуры, называемые прямыми (бесконечными), лучами (полубесконечными) и отрезками (конечной длины). Евклид, вместо обсуждения луча как объекта, простирающегося до бесконечности в одном направлении, обычно использовал выражения вроде "если прямая будет продолжена до достаточной длины", хотя иногда он упоминал "бесконечные прямые". "Прямая" у Евклида могла быть как прямой, так и изогнутой, и он использовал более точный термин "прямая линия", когда это требовалось.

Pons asinorum (Понс асинорум)

Pons asinorum (мост ослов) утверждает, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны между собой, и, если равные стороны продлить, то углы у основания также будут равны между собой. Своё название эта теорема, возможно, получила из-за того, что часто служила первым серьезным испытанием ума читателя в «Началах» Евклида и являлась переходом к более сложным теоремам. Также её могли назвать так из-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который мог бы пересечь лишь уверенный в себе осел.

Соответствие треугольников

Треугольники конгруэнтны, если равны все три стороны (SSS), две стороны и угол между ними (SAS), или два угла и сторона (ASA) (Книга I, предложения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами (AAA) подобны, но не обязательно конгруэнтны. Также, треугольники с двумя равными сторонами и прилежащим углом не обязательно равны или конгруэнтны.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна развернутому углу (180 градусов). Это обуславливает, что у равностороннего треугольника три внутренних угла по 60 градусов. Также это означает, что в любом треугольнике есть как минимум два острых угла и не более одного тупого или прямого угла.

Теорема Пифагора

Известная теорема Пифагора (книга I, предложение 47) гласит, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, противоположной прямому углу), равна сумме площадей квадратов, построенных на двух катетах (двух сторонах, прилежащих к прямому углу).

Теорема Талеса

Теорема Фалеса, названная в честь Фалеса Милетского, утверждает, что если точки A, B и C лежат на окружности, при этом прямая AC является диаметром этой окружности, то угол ABC является прямым углом. Кантор предположил, что Фалес доказал свою теорему, используя Евклида, книга I, предложение 32, аналогично Евклиду, книга III, предложению 31.

Масштабирование площади и объема

В современной терминологии площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любой из её линейных размерностей, а объем тела – кубу этой размерности. Евклид доказал эти утверждения в различных частных случаях, например, для площади круга и объема параллелепипеда. Евклид определил лишь некоторые, но не все, соответствующие коэффициенты пропорциональности. Например, его последователь Архимед доказал, что объем сферы составляет 2/3 объема описанного вокруг неё цилиндра.

Система измерений и арифметики

В евклидовой геометрии существует два основных типа измерений: угол и расстояние. Шкала углов абсолютна, и Евклид использует прямой угол в качестве основной единицы, поэтому, например, угол в 45 градусов называется половиной прямого угла. Шкала расстояний относительна: произвольно выбирается отрезок прямой с определённой ненулевой длиной в качестве единицы, а остальные расстояния выражаются по отношению к ней. Сложение расстояний представляется построением, при котором один отрезок прямой копируется на конец другого отрезка прямой для увеличения его длины, и аналогично для вычитания. Измерения площади и объёма выводятся из расстояний. Например, прямоугольник с шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, равную произведению 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не существовало прямого способа интерпретации произведения четырёх или более чисел, и Евклид избегал таких произведений, хотя они подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложение 20. Евклид называет пару прямых или пару плоских или объёмных фигур "равными" (ἴσος), если их длины, площади или объёмы соответственно равны, и аналогично для углов. Более строгий термин "конгруэнтный" относится к идее, что целая фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры конгруэнтны, если одну из них можно переместить на другую так, чтобы она точно совпадала с ней. (Разрешено переворачивание.) Таким образом, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отражению. Фигуры, которые были бы конгруэнтны, если бы не их разные размеры, называются подобными. Соответствующие углы в паре подобных фигур равны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

Проектирование и анализ

Анализ напряжений: Анализ напряжений Евклидова геометрия играет ключевую роль в определении распределения напряжений в механических компонентах, что необходимо для обеспечения прочности и долговечности конструкции. Проектирование зубчатых передач: Зубчатая передача Проектирование зубчатых передач, важнейшего элемента многих механических систем, в значительной степени опирается на евклидову геометрию для обеспечения правильной формы зубьев и их согласованного зацепления для эффективной передачи мощности. Проектирование теплообменников: Теплообменник В теплотехнике евклидова геометрия используется при проектировании теплообменников, где геометрическая конфигурация существенно влияет на тепловую эффективность. Более подробную информацию можно найти в разделах, посвященных кожухотрубным и пластинчатым теплообменникам. Проектирование линз: Линза В оптическом проектировании евклидова геометрия имеет решающее значение при создании линз, где точные геометрические формы определяют фокусирующие свойства. Геометрическая оптика анализирует фокусировку света линзами и зеркалами.

Динамика

Анализ вибрации: вибрация Евклидова геометрия необходима для анализа и понимания вибраций в механических системах, помогая в проектировании систем, способных выдерживать или эффективно использовать эти вибрации. Конструкция крыльев: Конструкция крыла самолета Применение евклидовой геометрии в аэродинамике очевидно проявляется в конструкции крыльев самолетов, аэродинамических профилей и гидрокрыльев, где геометрическая форма напрямую влияет на подъемную силу и сопротивление. Спутниковые орбиты: спутниковые орбиты Евклидова геометрия помогает в вычислении и прогнозировании орбит спутников, что необходимо для успешных космических миссий и эксплуатации спутников. Также см. астродинамику, небесную механику и эллиптическую орбиту.

Системы CAD

3D-моделирование: в системах CAD (автоматизированного проектирования) Евклидова геометрия является основополагающей для создания точных 3D-моделей механических деталей. Эти модели критически важны для визуализации и тестирования конструкций перед производством. Проектирование и производство: Значительная часть CAM (автоматизированного производства) опирается на Евклидову геометрию. Геометрия проектируемых объектов в CAD/CAM обычно состоит из фигур, ограниченных плоскостями, цилиндрами, конусами, торами и другими подобными Евклидовыми формами. Сегодня CAD/CAM необходим при проектировании широкого спектра продукции – от автомобилей и самолетов до кораблей и смартфонов. Эволюция методов черчения: Исторически, углубленное знание Евклидовой геометрии, включая теоремы, такие как теорема Паскаля и теорема Брианшона, было неотъемлемой частью практики черчения. Однако с появлением современных CAD-систем, столь глубокое знание этих теорем стало менее востребованным в современных процессах проектирования и производства.

Конструкция схемы

Разводка печатных плат: Проектирование печатных плат (ПХД) использует евклидову геометрию для эффективного размещения и трассировки компонентов, обеспечивая функциональность при оптимальном использовании пространства. Эффективная компоновка электронных компонентов на ПХД критически важна для минимизации перекрестных помех и оптимизации работы схемы.

Электромагнитные поля и поля потока жидкости

Конструкция антенны: Конструкция антенны Евклидова геометрия антенн помогает в проектировании антенн, где пространственное расположение и размеры напрямую влияют на характеристики антенны и антенной решетки при передаче и приеме электромагнитных волн. Теория поля: Комплексный потенциальный поток В изучении областей невязкого течения и электромагнитных полей, Евклидова геометрия помогает визуализировать и решать задачи потенциального течения. Это необходимо для понимания поля скорости жидкости и взаимодействия электромагнитных полей в трехмерном пространстве. Связь между которыми характеризуется ирротационным соленоидальным полем или консервативным векторным полем.

Контроль

Анализ систем управления: Системы управления. Применение евклидовой геометрии в теории управления помогает в анализе и проектировании систем управления, особенно в понимании и оптимизации стабильности и отклика системы. Инструменты вычислений: Якобиан. Евклидова геометрия играет важную роль в использовании Якобианских матриц для преобразований и в системах управления как в механической, так и в электротехнической областях, предоставляя понимание поведения и свойств системы. Якобиан служит линеаризованной матрицей в статистической регрессии и аппроксимации кривых; см. метод наименьших квадратов для нелинейных функций. Якобиан также используется в теории случайных матриц, теории моментов, статистике и диагностике.

Другие общие применения

Из-за фундаментального статуса Евклидовой геометрии в математике непрактично приводить здесь более чем репрезентативную выборку применений. Как следует из этимологии слова, одной из самых ранних причин интереса к геометрии, а также одним из наиболее распространенных современных способов ее использования является геодезия. Помимо этого, она применяется в когнитивных и вычислительных подходах к визуальному восприятию объектов. Определенные практические результаты Евклидовой геометрии (например, свойство прямого угла в треугольнике со сторонами 3, 4 и 5) использовались задолго до их формального доказательства. Основными видами измерений в Евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически расстояния часто измерялись цепями, такими как цепь Гюнтера, а углы – с помощью градуированных кругов и, позднее, теодолита. Областью применения Евклидовой стереометрии является определение способов упаковки, например, задача нахождения наиболее эффективной упаковки сфер в n-мерном пространстве. Эта задача имеет применение в обнаружении и исправлении ошибок. Геометрия широко используется в архитектуре. Геометрию можно использовать для создания оригами. Некоторые классические геометрические задачи построения неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но могут быть решены с помощью оригами.

Архимед и Аполлоний

Архимед (ок. 287 г. до н.э. – ок. 212 г. до н.э.) – яркая личность, о которой сохранилось множество исторических анекдотов, и который, наряду с Евклидом, считается одним из величайших математиков древности. Хотя основы его работ были заложены Евклидом, считается, что его собственные работы, в отличие от работ Евклида, были полностью оригинальными. Он вывел формулы для вычисления объемов и площадей различных фигур в двух и трех измерениях и сформулировал свойство Архимеда для конечных чисел. Аполлоний Пергский (ок. 240 г. до н.э. – ок. 190 г. до н.э.) наиболее известен своими исследованиями конических сечений.

18 век

Геометры XVIII века боролись за определение границ евклидовой системы. Многие безуспешно пытались доказать пятый постулат, исходя из первых четырех. К 1763 году было опубликовано по крайней мере 28 различных доказательств, но все они оказались неверными. До этого периода геометры также пытались определить, какие построения возможны в евклидовой геометрии. Например, задача трисекции угла циркулем и линейкой естественно возникает в рамках теории, поскольку аксиомы относятся к конструктивным операциям, которые можно выполнять с помощью этих инструментов. Однако, несмотря на многовековые усилия, решение этой задачи не было найдено, пока в 1837 году Пьер Ванцель не опубликовал доказательство невозможности такого построения. К другим невозможным построениям относятся удвоение куба и квадратура круга. В случае удвоения куба, невозможность построения обусловлена тем, что метод циркуля и линейки оперирует уравнениями, порядок которых является целой степенью двойки, в то время как удвоение куба требует решения уравнения третьего порядка. Эйлер рассматривал обобщение евклидовой геометрии, называемое аффинной геометрией, которое сохраняет пятый постулат без изменений, ослабляя при этом постулаты третий и четвертый таким образом, что понятия угла (и, следовательно, прямоугольных треугольников) и равенства длин отрезков в общем случае (и, следовательно, окружностей) теряют смысл, но сохраняются понятия параллельности как отношения эквивалентности между прямыми и равенства длин параллельных отрезков (так что отрезки продолжают иметь середину).

19 век

В начале XIX века Карно и Мёбиус систематически развивали использование ориентированных углов и отрезков прямых как средство упрощения и обобщения результатов.

Более высокие размеры

В 1840-х годах Уильям Роуэн Гамильтон разработал кватернионы, а Джон Т. Грейвз и Артур Кейли — октонионы. Это нормированные алгебры, расширяющие комплексные числа. Позже было осознано, что кватернионы также представляют собой евклидову геометрическую систему с четырьмя действительными декартовыми координатами. Кейли использовал кватернионы для изучения вращений в 4-мерном евклидовом пространстве. В середине века Людвиг Шлефли разработал общее понятие евклидова пространства, распространив евклидову геометрию на более высокие размерности. Он определил полисхемы, впоследствии названные политопами, которые являются аналогами многоугольников и многогранников в более высоких измерениях. Он разработал их теорию и открыл все правильные политопы, то есть размерные аналоги правильных многоугольников и платоновых тел. Он обнаружил, что в четвёртом измерении существует шесть правильных выпуклых политопов, а во всех более высоких измерениях — три. Шлефли выполнил эту работу в относительной неизвестности, и она была опубликована целиком лишь посмертно в 1901 году. Она не оказала значительного влияния, пока не была заново открыта и полностью задокументирована в 1948 году Х. С. М. Коксетером. В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд представил то, что сейчас называется геометрической алгеброй, объединив кватернионы Гамильтона с алгеброй Германа Грассмана и раскрывая геометрическую природу этих систем, особенно в четырёх измерениях. Операции геометрической алгебры позволяют отражать, вращать, перемещать и отображать моделируемые геометрические объекты в новые положения. Торус Клиффорда на поверхности 3-сферы является простейшим и наиболее симметричным плоским вложением декартова произведения двух окружностей (в том же смысле, в котором поверхность цилиндра является "плоской").

Неевклидова геометрия

Наиболее значительным достижением в геометрии этого столетия стало то, что около 1830 года Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский независимо друг от друга опубликовали работы по неевклидовой геометрии, в которой постулат о параллельных не выполняется. Поскольку неевклидова геометрия доказуемо относительно согласована с евклидовой геометрией, постулат о параллельных нельзя вывести из остальных постулатов. В XIX веке также стало ясно, что десяти аксиом и общих понятий Евклида недостаточно для доказательства всех теорем, представленных в "Началах". Например, Евклид неявно предполагал, что любая прямая содержит как минимум две точки, но это предположение нельзя доказать, исходя из других аксиом, и, следовательно, само должно быть аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в "Началах", представленное на рисунке выше, заключается в том, что любой отрезок прямой является частью треугольника; Евклид строит его обычным способом, описывая окружности вокруг обеих конечных точек и принимая их пересечение за третью вершину. Однако его аксиомы не гарантируют, что окружности действительно пересекутся, поскольку они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых координатах эквивалентно свойству полноты действительных чисел. Начиная с Морица Паша в 1882 году, было предложено множество усовершенствованных аксиоматических систем геометрии, наиболее известными из которых являются системы Гильберта, Джорджа Биркгофа и Тарского.

XX век и теория относительности

Теория специальной относительности Эйнштейна оперирует четырехмерным пространством-временем, пространством Минковского, которое не является евклидовым. Это демонстрирует, что неевклидова геометрия, разработанная несколькими годами ранее для доказательства невозможности доказательства постулата о параллельных прямых, также применима для описания физической реальности. Однако трехмерная "пространственная составляющая" пространства Минковского остаётся пространством евклидовой геометрии. Это не относится к общей теории относительности, где геометрия пространственной составляющей пространства-времени не является евклидовой. Например, если построить треугольник из трех лучей света, то, как правило, сумма его внутренних углов не будет равна 180 градусам из-за гравитации. Сравнительно слабое гравитационное поле, такое как поле Земли или Солнца, описывается метрикой, которая является приблизительно, но не точно, евклидовой. До XX века не существовало технологий, способных зафиксировать эти отклонения лучей света от евклидовой геометрии, однако Эйнштейн предсказал их существование. Впоследствии они были подтверждены наблюдениями, такими как небольшое отклонение звездного света в гравитационном поле Солнца во время солнечного затмения 1919 года, и подобные расчеты теперь являются неотъемлемой частью программного обеспечения, управляющего системой GPS.

Как описание структуры пространства

Евклид считал, что его аксиомы являются самоочевидными утверждениями о физической реальности. Доказательства Евклида опираются на предположения, которые, возможно, не очевидны в его фундаментальных аксиомах, в частности, на то, что определенные перемещения фигур не изменяют их геометрические свойства, такие как длины сторон и величины внутренних углов, так называемые евклидовы движения, включающие в себя сдвиги, отражения и вращения фигур. Если рассматривать эти постулаты как физическое описание пространства, то постулат 2 (продолжение прямой) утверждает, что пространство не имеет дыр или границ; постулат 4 (равенство прямых углов) указывает на изотропность пространства и возможность перемещения фигур в любую точку с сохранением их конгруэнтности; а постулат 5 (параллельный постулат) – на то, что пространство плоское (не имеет внутренней кривизны). Как обсуждалось выше, теория относительности Альберта Эйнштейна существенно изменила это представление. Неоднозначность аксиом в первоначальной формулировке Евклида допускает различные толкования их других следствий для структуры пространства, например, относительно его конечности или бесконечности (см. ниже) и его топологии. Современные, более строгие переформулировки системы обычно стремятся к более четкому разделению этих вопросов. Интерпретируя аксиомы Евклида в духе этого современного подхода, аксиомы 1–4 согласуются как с бесконечным, так и с конечным пространством (как, например, в эллиптической геометрии), а все пять аксиом согласуются с различными топологиями (например, с плоскостью, цилиндром или тором для двумерной евклидовой геометрии).

Бесконечные объекты

Евклид иногда явно различал «конечные отрезки» (например, постулат 2) и «бесконечные линии» (книга I, предложение 12). Однако он обычно не делал таких различий, если в этом не было необходимости. Постулаты явно не упоминают бесконечные линии, хотя некоторые комментаторы, например, интерпретируют постулат 3, о существовании окружности с любым радиусом, как подразумевающий бесконечность пространства. Позднее древние комментаторы, такие как Прокл (410–485 гг. н.э.), рассматривали многие вопросы, связанные с бесконечностью, как требующие доказательства, и, например, Прокл утверждал, что доказал бесконечную делимость линии, основываясь на доказательстве от противного, в котором он рассматривал случаи четного и нечетного числа точек, составляющих её. На рубеже XX века Отто Стольц, Поль дю Буа Реймон, Джузеппе Веронезе и другие провели спорные исследования неархимедовых моделей евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым в смысле Ньютона — Лейбница. Через пятьдесят лет Авраам Робинсон предоставил строгое логическое обоснование работам Веронезе.

Бесконечные процессы

Древние геометры, возможно, считали постулат о параллельных прямых – утверждающий, что две параллельные линии никогда не пересекаются – менее достоверным, чем остальные, поскольку он делает утверждение об бесконечно удалённых областях пространства и, следовательно, не может быть физически подтверждён. Современная формулировка доказательства методом математической индукции была разработана лишь в XVII веке, однако некоторые позднейшие комментаторы полагают, что она неявно присутствует в некоторых доказательствах Евклида, например, в доказательстве бесконечности простых чисел. Предполагаемые парадоксы, связанные с бесконечными рядами, такие как парадоксы Зенона, возникли ещё до Евклида. Евклид избегал подобных обсуждений, приводя, например, формулу для частичных сумм геометрической прогрессии в IX.35, не комментируя при этом возможность увеличения числа членов до бесконечности.

Классическая логика

Евклид часто использовал метод доказательства от противного, и поэтому традиционное изложение евклидовой геометрии опирается на классическую логику, в которой каждое высказывание либо истинно, либо ложно, то есть для любого высказывания P высказывание "P или не-P" автоматически истинно.

Современные стандарты строгости

Помещение евклидовой геометрии на прочную аксиоматическую основу было заботой математиков на протяжении веков. Роль примитивных понятий, или неопределённых концепций, была чётко сформулирована Алессандро Падоа из делегации Пеано на Парижской конференции 1900 года: когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределённые символы полностью лишены смысла, а недоказанные утверждения являются лишь условиями, наложенными на эти символы. Тогда система идей, которую мы изначально выбираем, представляет собой лишь одну из возможных интерпретаций неопределённых символов; однако эта интерпретация может быть проигнорирована читателем, который волен заменить её в своём сознании другой интерпретацией, удовлетворяющей тем же условиям. Таким образом, логические вопросы становятся полностью независимыми от эмпирических или психологических вопросов. Система неопределённых символов может рассматриваться как абстракция, полученная из специализированных теорий, возникающих при последовательной замене системы неопределённых символов каждой из интерпретаций. Как сказал Бертран Рассел: если наша гипотеза относится к чему-либо, а не к какой-либо одной или нескольким конкретным вещам, то наши выводы составляют математику. Следовательно, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чём говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы утверждаем. Такие фундаментальные подходы варьируются от фундаментализма до формализма.

Аксиоматические формулировки

Геометрия – это наука о правильных рассуждениях на неточных фигурах. Это был конфликт между достоверным знанием, независимым от опыта, и эмпиризмом, требующим экспериментальной проверки. Этот вопрос прояснился, когда обнаружилось, что постулат о параллельных прямых не является обязательно верным, а его применимость определялась эмпирически, в зависимости от того, применима ли в данном случае евклидова или неевклидова геометрия. Аксиомы Гильберта: целью аксиом Гильберта было определение простого и полного набора независимых аксиом, из которых можно было бы вывести наиболее важные геометрические теоремы. Основными задачами были придание евклидовой геометрии строгости (путем устранения скрытых предположений) и прояснение последствий постулата о параллельных прямых. Аксиомы Биркоффа: Биркофф предложил четыре постулата для евклидовой геометрии, которые могут быть экспериментально подтверждены с помощью линейки и транспортира. Эта система в значительной степени опирается на свойства действительных чисел. Понятия угла и расстояния становятся первоочередными. Аксиомы Тарского: Альфред Тарски (1902–1983) и его ученики определили элементарную евклидову геометрию как геометрию, которая может быть выражена на языке логики первого порядка и не зависит от теории множеств в качестве своей логической основы, в отличие от аксиом Гильберта, которые оперируют множествами точек. Тарски доказал, что его аксиоматическая формулировка элементарной евклидовой геометрии является непротиворечивой и полной в определенном смысле: существует алгоритм, который для любого утверждения может установить его истинность или ложность. Это эквивалентно разрешимости для вещественно замкнутых полей, моделью которых является элементарная евклидова геометрия.