Площадь: Геометрическая величина и методы вычисления

Введение

Размер двумерной поверхности – геометрическая величина.

Площадь – это мера размера области на поверхности. Площадь плоской области или плоской фигуры относится к площади формы или плоской пластины, в то время как площадь поверхности относится к площади открытой поверхности или границе трехмерного объекта. Площадь можно понимать как количество материала заданной толщины, необходимое для изготовления модели формы, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности одним слоем. Это двумерный аналог длины кривой (одномерное понятие) или объема тела (трехмерное понятие). Две различные области могут иметь одинаковую площадь (как при квадратуре круга); по синекдохе, термин "площадь" иногда используется для обозначения самой области, например, "полигональная площадь". Площадь фигуры можно измерить, сравнивая ее с квадратами фиксированного размера. Фигура площадью в три квадратных метра будет иметь такую же площадь, как и три таких квадрата. В математике единичный квадрат определяется как имеющий площадь, равную единице, а площадь любой другой фигуры или поверхности является безразмерным действительным числом. Существует несколько известных формул для вычисления площадей простых фигур, таких как треугольники, прямоугольники и круги. Используя эти формулы, площадь любого многоугольника можно найти, разделив его на треугольники. Для фигур с криволинейной границей обычно требуется исчисление для вычисления площади. Действительно, задача определения площади плоских фигур была одной из основных мотиваций для исторического развития математического анализа. Для объемной фигуры, такой как сфера, конус или цилиндр, площадь ее внешней поверхности называется площадью поверхности. Формулы для площади поверхности простых фигур были вычислены древними греками, но вычисление площади поверхности более сложной фигуры обычно требует многомерного анализа. Площадь играет важную роль в современной математике. Помимо очевидной важности в геометрии и анализе, площадь связана с определением определителей в линейной алгебре и является фундаментальным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии. В анализе площадь подмножества плоскости определяется с помощью меры Лебега, хотя не каждое подмножество измеримо, если принять аксиому выбора. В общем случае, площадь в высшей математике рассматривается как частный случай объема для двухмерных областей. Для всех S из M, a(S) ≥ 0. Если S и T принадлежат M, то S ∪ T и S ∩ T также принадлежат M, и при этом a(S ∪ T) = a(S) + a(T) − a(S ∩ T). Если S и T принадлежат M и S ⊆ T, то T − S принадлежит M и a(T−S) = a(T) − a(S). Если множество S принадлежит M и S конгруэнтно T, то T также принадлежит M и a(S) = a(T). Каждый прямоугольник R принадлежит M. Если прямоугольник имеет длину h и ширину k, то a(R) = hk. Пусть Q – множество, заключенное между двумя ступенчатыми областями S и T. Ступенчатая область формируется из конечного объединения смежных прямоугольников, опирающихся на общее основание, то есть S ⊆ Q ⊆ T. Если существует единственное число c, такое что a(S) ≤ c ≤ a(T) для всех таких ступенчатых областей S и T, то a(Q) = c.

Area is the measure of a region's size on a surface. The area of a plane region or plane area refers to the area of a shape or planar lamina, while surface area refers to the area of an open surface or the boundary of a three dimensional object. Area can be understood as the amount of material with a given thickness that would be necessary to fashion a model of the shape, or the amount of paint necessary to cover the surface with a single coat. It is the two dimensional analogue of the length of a curve (a one dimensional concept) or the volume of a solid (a three dimensional concept). Two different regions may have the same area (as in squaring the circle); by synecdoche, "area" sometimes is used to refer to the region, as in a "polygonal area". The area of a shape can be measured by comparing the shape to squares of a fixed size. A shape with an area of three square metres would have the same area as three such squares. In mathematics, the unit square is defined to have area one, and the area of any other shape or surface is a dimensionless real number. There are several well known formulas for the areas of simple shapes such as triangles, rectangles, and circles. Using these formulas, the area of any polygon can be found by dividing the polygon into triangles. For shapes with curved boundary, calculus is usually required to compute the area. Indeed, the problem of determining the area of plane figures was a major motivation for the historical development of calculus. For a solid shape such as a sphere, cone, or cylinder, the area of its boundary surface is called the surface area. Formulas for the surface areas of simple shapes were computed by the ancient Greeks, but computing the surface area of a more complicated shape usually requires multivariable calculus. Area plays an important role in modern mathematics. In addition to its obvious importance in geometry and calculus, area is related to the definition of determinants in linear algebra, and is a basic property of surfaces in differential geometry. In analysis, the area of a subset of the plane is defined using Lebesgue measure, though not every subset is measurable if one supposes the axiom of choice. In general, area in higher mathematics is seen as a special case of volume for two dimensional regions. For all S in M, a(S) ≥ 0. If S and T are in M then so are S ∪ T and S ∩ T, and also 1=a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S ∩ T). If S and T are in M with S ⊆ T then T − S is in M and 1=a(T−S) = a(T) − a(S). If a set S is in M and S is congruent to T then T is also in M and 1=a(S) = a(T). Every rectangle R is in M. If the rectangle has length h and breadth k then 1=a(R) = hk. Let Q be a set enclosed between two step regions S and T. A step region is formed from a finite union of adjacent rectangles resting on a common base, i. e. S ⊆ Q ⊆ T. If there is a unique number c such that a(S) ≤ c ≤ a(T) for all such step regions S and T, then 1=a(Q) = c.

Можно доказать, что такая функция площади действительно существует.

Площадь круга

В V веке до н.э. Гиппократ из Хиоса первым показал, что площадь диска (область, заключенная кругом) пропорциональна квадрату его диаметра, в рамках своей квадратуры луны Гиппократа, но не определил коэффициент пропорциональности. Евдокс из Книда, также в V веке до н.э., также установил, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса. Впоследствии, в Книге I «Начал» Евклида рассматривалось равенство площадей между плоскими фигурами. Математик Архимед, используя инструменты евклидовой геометрии, доказал, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности круга, а высота – радиусу круга, в своей книге «Измерение круга». (Длина окружности равна 2r, а площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту, что дает площадь r² для диска.) Архимед аппроксимировал значение π (и, следовательно, площадь круга единичного радиуса) своим методом исчерпывания, заключавшимся в том, что он вписывал в круг правильный треугольник и вычислял его площадь, затем удваивал число сторон, получая правильный шестиугольник, и многократно удваивал число сторон, по мере того как площадь многоугольника приближалась к площади круга (и делал то же самое с описанными многоугольниками).

Площадь четырехсторонней

В VII веке н.э. Брахмагупта разработал формулу, ныне известную как формула Брахмагупты, для вычисления площади циклического четырехугольника (четырехугольника, вписанного в окружность) по его сторонам. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Брецшнайдер и Карл Георг Кристиан фон Стаудт независимо друг от друга открыли формулу, известную как формула Брецшнайдера, для вычисления площади произвольного четырехугольника.

Общая площадь многоугольника

Разработка декартовых координат Рене Декартом в XVII веке позволила Карлу Фридриху Гауссу в XIX веке вывести формулу геодезиста для вычисления площади произвольного многоугольника с известными координатами вершин.

Площади, определенные с помощью расчета

Развитие интегрального исчисления в конце XVII века предоставило инструменты, которые впоследствии можно было использовать для вычисления более сложных площадей, таких как площадь эллипса и поверхности различных искривлённых трёхмерных объектов.

Формулы многоугольников

Для несамопересекающегося (простого) многоугольника, заданы декартовы координаты (i=0, 1, …, n-1) его n вершин, площадь вычисляется по формуле геодезиста:

где, если i=n-1, то i+1 понимается как модуль n и, следовательно, соответствует 0.

Прямоугольники

Самая простая формула площади — это формула площади прямоугольника. Для прямоугольника с длиной l и шириной w формула площади выглядит так:

(прямоугольник). То есть площадь прямоугольника равна длине, умноженной на ширину. В качестве частного случая, как, например, в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s вычисляется по формуле: а также для более сложных многоугольников.

Круги

Формула площади круга (более правильно называемая площадью, заключенной кругом, или площадью диска) основана на аналогичном методе. Для круга радиуса r можно разделить круг на секторы, как показано на рисунке справа. Каждый сектор приблизительно имеет форму треугольника, и секторы можно переставить, чтобы сформировать приблизительный параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна r, а ширина равна половине длины окружности, то есть πr. Следовательно, общая площадь круга равна πr².

Площадь поверхности трехмерных фигур

Конус: , где r — радиус основания круга, а h — высота. Это также можно переписать как

Фракталы

Удвоение длин сторон многоугольника умножает его площадь на четыре, что соответствует двум (отношению новой длины стороны к старой) в степени, равной двум (размерности пространства, в котором расположен многоугольник). Однако, если удвоить одномерные длины фрактала, изображенного в двух измерениях, то пространственная заполненность фрактала масштабируется в степень, которая не обязательно является целым числом. Эта степень называется фрактальной размерностью фрактала.

Бисекторы площади

Существует бесконечное количество прямых, делящих площадь треугольника пополам. Три из них – медианы треугольника (соединяющие середины сторон с противоположными вершинами), и они пересекаются в центроиде треугольника; более того, они являются единственными биссекторами площади, проходящими через центроид. Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая пополам как его площадь, так и периметр, проходит через центр вписанной окружности (центр окружности, вписанной в треугольник). Для любого треугольника таких прямых может быть одна, две или три. Любая прямая, проходящая через середину параллелограмма, делит его площадь пополам. Все биссекторы площади круга или другого эллипса проходят через центр, и любые хорды, проходящие через центр, делят площадь пополам. В случае круга это диаметры круга.

Оптимизация

При заданном проволочном контуру, поверхностью наименьшей площади, натянутой ("заполняющей") его, является минимальная поверхность. Примерами могут служить мыльные пузыри. Вопрос о площади заполнения риманова круга остаётся открытым. Круг обладает наибольшей площадью среди всех двумерных объектов с одинаковым периметром. Циклический многоугольник (вписанный в окружность) имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников с заданным числом сторон равной длины. Одна из формулировок изопериметрического неравенства для треугольников утверждает, что треугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является равносторонним. Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника, , больше, чем у любого неравностороннего треугольника. Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника.