Введение

Число, построенное циркулем и линейкой. Числа "построимостью" в смысле теории множеств.

В геометрии и алгебре, действительное число является построимым тогда и только тогда, когда, задав отрезок прямой единичной длины, отрезок прямой длины можно построить циркулем и линейкой за конечное число шагов. Эквивалентно, является построимым, если и только если существует явное выражение для с использованием только целых чисел и операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Геометрическое определение построимых чисел мотивирует соответствующее определение построимых точек, которые можно описать как геометрически, так и алгебраически. Точка является построимой, если её можно получить как одну из точек построения циркулем и линейкой (конец отрезка прямой или точка пересечения двух прямых или окружностей), начиная с заданного отрезка единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, приняв две конечные точки заданного отрезка за точки (0, 0) и (1, 0) в декартовой системе координат, точка является построимой, если и только если её декартовы координаты – оба построимые числа. Построимые числа и точки также называют числами и точками, построенными циркулем и линейкой, чтобы отличать их от чисел и точек, которые могут быть построены с использованием других методов. Множество построимых чисел образует поле: применение любой из четырех основных арифметических операций к элементам этого множества даёт другое построимое число. Это поле является расширением поля рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел. Это евклидово замыкание рациональных чисел, наименьшее расширение поля рациональных чисел, включающее квадратные корни всех его положительных чисел. Доказательство эквивалентности между алгебраическим и геометрическим определениями построимых чисел преобразует геометрические вопросы о построениях циркулем и линейкой в алгебру, включая несколько известных задач древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих задач привела к доказательствам того, что их решения не являются построимыми, после того как геометрическая формулировка тех же задач ранее сопротивлялась многовековым попыткам решения.

Геометрически конструктивные числа

Начальная информация для геометрической формулировки может быть использована для определения декартовой системы координат, в которой точка ассоциируется с началом координат, имеющим координаты , а точка – с координатами . Точки теперь могут быть использованы для связи геометрии и алгебры, определяя конструктивное число как координату конструктивной точки. Эквивалентные определения заключаются в том, что конструктивное число является -координатой конструктивной точки или длиной конструктивного отрезка. В одном направлении этой эквивалентности, если конструктивная точка имеет координаты , то точка может быть построена как её перпендикулярная проекция на ось, а отрезок от начала координат до этой точки имеет длину . В обратном направлении, если является длиной конструктивного отрезка, то пересечение оси с окружностью, центром которой является начало координат, а радиусом – , даёт точку . Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструктивными числами, сама является геометрически конструктивной точкой. Ибо, когда и являются геометрически конструктивными числами, точка может быть построена как пересечение прямых, проходящих через и , перпендикулярных координатным осям.

Алгебраически вычислимые числа

Алгебраически конструктивные действительные числа – это подмножество действительных чисел, которые могут быть описаны формулами, комбинирующими целые числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня из положительных чисел. Еще проще, при увеличении длины этих формул, целые числа в них можно ограничить только 0 и 1. Например, квадратный корень из 2 является конструктивным, поскольку его можно описать формулами или . Аналогично, алгебраически конструктивные комплексные числа – это подмножество комплексных чисел, которые имеют формулы того же типа, используя более общую версию квадратного корня, не ограниченную положительными числами, но способную принимать в качестве аргумента произвольные комплексные числа и возвращать главный квадратный корень из этого аргумента. Альтернативно, та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. Например, комплексное число имеет формулы или , а его действительная и мнимая части – конструктивные числа 0 и 1 соответственно. Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. В одном направлении, если комплексное число имеет действительную часть и мнимую часть , обе являющиеся конструктивными действительными числами, то замена и их формулами в более общей формуле дает формулу для как для комплексного числа. В другом направлении, любая формула для алгебраически конструктивного комплексного числа может быть преобразована в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно разлагая каждую операцию в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов, используя разложения , где и .

Алгебраически конструктивные точки

Алгебраически конструктивные точки могут быть определены как точки, две декартовы координаты которых являются алгебраически конструктивными действительными числами. Альтернативно, их можно определить как точки на комплексной плоскости, заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. В силу эквивалентности двух определений алгебраически конструктивных комплексных чисел, эти два определения алгебраически конструктивных точек также эквивалентны. И наоборот, набор геометрических объектов может быть задан алгебраически конструктивными действительными числами: координатами точек, угловым коэффициентом и точкой пересечения с осью для прямых, и центром и радиусом для окружностей. Возможно (но трудоемко) разработать формулы, выражающие эти значения, используя только арифметические операции и извлечение квадратного корня, для каждого дополнительного объекта, который может быть получен за один шаг построения с помощью циркуля и линейки. Из этих формул следует, что любое геометрически построимое число является алгебраически конструктивным.

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструктивных чисел включает в себя сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре. Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле, упорядоченное поле, содержащее квадратный корень каждого из его положительных элементов. Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям для того, чтобы число было конструктивным, которые можно использовать для доказательства того, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не являются конструктивными. Для удобства вместо целого поля конструктивных чисел рассматривают подполе, порожденное любым заданным конструктивным числом , и используют алгебраическую конструкцию для разложения этого поля. Если – конструктивное действительное число, то значения, встречающиеся в формуле, его строящей, можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел таких, что для каждого является расширением степени 2. Используя несколько иную терминологию, действительное число конструктивно тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни действительных квадратичных расширений, начинающейся с рационального поля , где принадлежит , и для всех . Из этого разложения следует, что степень расширения поля равна , где подсчитывает количество шагов квадратичного расширения. Аналогично случаю с действительными числами, комплексное число конструктивно тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. Более точно, конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей

где принадлежит , и для всех . Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных конструктивных чисел заключается лишь в том, что поля в этой башне не ограничены требованием быть действительными. Следовательно, если комплексное число конструктивно, то оно является степенью двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения поля, степень которых является степенью двойки, которые нельзя разложить на последовательность квадратичных расширений. Поля, которые можно получить таким образом из башен квадратичных расширений , называются итерированными квадратичными расширениями . Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных итерированных квадратичных расширений .