Парадокс Платонии и Лотерея Соблазна: Суперрациональность в теории игр

Введение

Теория игр, представленная в книге Дугласа Хофштадтера «Метамагические темы». В дилемме Платонии, описанной в книге Дугласа Хофштадтера «Метамагические темы», эксцентричный триллионер собирает 20 человек и сообщает им, что если ровно один из них отправит ему телеграмму (за счёт получателя) до полудня следующего дня, этот человек получит миллиард долларов. Если будет получено более одной телеграммы или ни одной, никто не получит денег, а сговор между участниками запрещён. В этой ситуации сверхрациональным решением будет отправить телеграмму с вероятностью 1/20.

Лотерея - приманка

Похожая игра, известная как "Завлекательная лотерея", была фактически проведена редакторами журнала "Scientific American" в 1980-х годах. Для участия в конкурсе читателям нужно было отправить открытку с цифрой "1". Им также явно разрешалось подавать столько заявок, сколько они пожелают, указав желаемое количество заявок на одной открытке. Приз составлял один миллион долларов, деленный на общее количество полученных заявок, и присуждался случайным образом выбранному участнику. Таким образом, читатель, отправивший большое количество заявок, увеличивал свои шансы на выигрыш, но уменьшал максимальную возможную сумму приза. Математически можно доказать, что для максимизации среднего выигрыша в этой игре необходимо отправить количество заявок, равное общему количеству заявок, отправленных другими участниками. Однако, если другие участники учтут это, то эта стратегия приведет к цепной реакции и неограниченному количеству отправленных заявок. По мнению журнала, сверхрациональным было бы для каждого участника бросить виртуальный кубик с количеством граней, равным ожидаемому числу участников (около 5% от числа читателей), и отправить "1", если выпадет "1". Если бы все участники придерживались этой стратегии, журнал мог бы получить всего одну открытку с цифрой "1" и быть вынужденным выплатить миллион долларов отправителю этой открытки. По слухам, издатель и владельцы сильно опасались поставить компанию на кон в этой игре. Хотя журнал ранее обсуждал концепцию сверхрациональности, из которой можно вывести вышеупомянутый алгоритм, многие участники отправили заявки, содержащие астрономически большие числа (включая несколько заявок с числом гугольплекс). Некоторые пошли еще дальше, заполнив открытки математическими выражениями, предназначенными для вычисления наибольшего возможного числа в ограниченном пространстве. В результате конкурс сделал приз незначительным (он составил бы крошечную долю цента), и журнал не смог определить победителя.

A similar game, referred to as a "Luring Lottery", was actually played by the editors of Scientific American in the 1980s. To enter the contest once, readers had to send in a postcard with the number "1" written on it. They were also explicitly permitted to submit as many entries as they wished by sending in a single postcard bearing the number of entries they wished to submit. The prize was one million dollars divided by the total number of entries received, to be awarded to the submitter of a randomly chosen entry. Thus a reader who submitted a large number of entries increased their chances of winning but reduced the maximum possible value of the prize. It can be shown mathematically that one maximizes one's average winnings in this game by submitting a number of entries equal to the total number of entries of others. Of course, if others take this into account, then this strategy translates into a runaway reaction to unbounded number of entries being submitted. According to the magazine, the superrational thing was for each contestant to roll a simulated die with the number of sides equal to the number of expected responders (about 5% of the readership), and then send "1" if you roll "1". If all contestants had followed this strategy, it is possible that the magazine would have received a single postcard, with a "1", and would have had to pay a million dollars to the sender of that postcard. Reputedly the publisher and owners were very concerned about betting the company on a game. Although the magazine had previously discussed the concept of superrationality from which the above mentioned algorithm can be deduced, many of the contestants submitted entries consisting of an astronomically large number (including several who entered a googolplex). Some took this game further by filling their postcards with mathematical expressions designed to evaluate to the largest possible number in the limited space allowed. As a result, the contestants caused the prize to become moot (as it would have been a minuscule fraction of a cent) and the magazine was unable to tell who won the prize.