Введение
Теорема в статистическом тестировании
В статистике лемма Неймана — Пирсона описывает существование и единственность отношения правдоподобия как равномерно наиболее мощного теста в определенных контекстах. Она была представлена Ежи Нейманом и Эгоном Пирсоном в статье 1933 года. Лемма Неймана — Пирсона является частью теории статистического тестирования Неймана — Пирсона, которая ввела такие понятия, как ошибки второго рода, функция мощности и индуктивное поведение. Предыдущая теория значимости Фишера постулировала только одну гипотезу. Вводя конкурирующую гипотезу, подход к статистическому тестированию, разработанный Нейманом и Пирсоном, позволяет исследовать два типа ошибок. Тривиальные случаи, когда нулевая гипотеза всегда отвергается или принимается, представляют мало интереса, но это доказывает, что нельзя отказываться от контроля над одним типом ошибки при калибровке другого. Нейман и Пирсон, соответственно, ограничили свое внимание классом всех тестов заданного уровня значимости, одновременно минимизируя ошибку второго рода, традиционно обозначаемую как β. Их основополагающая статья 1933 года, включающая лемму Неймана — Пирсона, является итогом этих усилий: она не только демонстрирует существование тестов с максимальной мощностью, сохраняющих заранее заданный уровень ошибки первого рода, но и предоставляет способ построения таких тестов. Теорема Карлина — Рубина расширяет лемму Неймана — Пирсона на случаи, включающие составные гипотезы с монотонными отношениями правдоподобия.
In statistics, the Neyman–Pearson lemma describes the existence and uniqueness of the likelihood ratio as a uniformly most powerful test in certain contexts. It was introduced by Jerzy Neyman and Egon Pearson in a paper in 1933. The Neyman–Pearson lemma is part of the Neyman–Pearson theory of statistical testing, which introduced concepts like errors of the second kind, power function, and inductive behavior. The previous Fisherian theory of significance testing postulated only one hypothesis. By introducing a competing hypothesis, the Neyman–Pearsonian flavor of statistical testing allows investigating the two types of errors. The trivial cases where one always rejects or accepts the null hypothesis are of little interest but it does prove that one must not relinquish control over one type of error while calibrating the other. Neyman and Pearson accordingly proceeded to restrict their attention to the class of all level tests while subsequently minimizing type II error, traditionally denoted by Their seminal paper of 1933, including the Neyman–Pearson lemma, comes at the end of this endeavor, not only showing the existence of tests with the most power that retain a prespecified level of type I error , but also providing a way to construct such tests. The Karlin Rubin theorem extends the Neyman–Pearson lemma to settings involving composite hypotheses with monotone likelihood ratios.
Применение в экономике
Вариант леммы Неймана-Пирсона нашёл применение в, казалось бы, несвязанной области экономики оценки земли. Одна из фундаментальных проблем в теории потребительского выбора — вычисление функции спроса потребителя при заданных ценах. В частности, для неоднородного земельного надела, меры цены на землю и субъективной меры полезности земли, задача потребителя состоит в определении наилучшего земельного участка, который он может приобрести, то есть участка с максимальной полезностью, цена которого не превышает его бюджет. Оказывается, что эта задача очень похожа на задачу поиска наиболее мощного статистического теста, и поэтому можно использовать лемму Неймана-Пирсона.
Использование в электротехнике
Лемма Неймана-Пирсона весьма полезна в электротехнике, особенно при проектировании и использовании радиолокационных систем, цифровых систем связи и систем обработки сигналов. В радиолокационных системах с помощью леммы Неймана-Пирсона сначала задают допустимый (низкий) уровень пропущенных обнаружений, а затем минимизируют вероятность ложных тревог, или наоборот. Невозможно добиться произвольно низких уровней как ложных тревог, так и пропущенных обнаружений, вплоть до нуля. Все вышесказанное применимо и ко многим системам обработки сигналов.
Применение в физике элементарных частиц
Лемма Неймана-Пирсона применяется при построении специфических для анализа коэффициентов правдоподобия, используемых, например, для проверки наличия сигналов новой физики по сравнению с номинальным предсказанием Стандартной модели в данных о столкновениях протонов-протонов, полученных на Большом адронном коллайдере.