Кривые Серпинского: фракталы, заполняющие пространство
Sierpiński curve
Кривые Серпинского: фрактальные кривые, заполняющие плоскость, с бесконечной длиной и конечной площадью. Описание, свойства и связь с треугольником Серпинского.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Кривые Серпинского — это рекурсивно определенная последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским, которые в пределе полностью заполняют единичный квадрат: таким образом, их предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером кривой, заполняющей пространство. Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе) равна. Евклидова длина кривой -й итерации равна
Sierpiński curves are a recursively defined sequence of continuous closed plane fractal curves discovered by Wacław Sierpiński, which in the limit completely fill the unit square: thus their limit curve, also called the Sierpiński curve, is an example of a space filling curve. Because the Sierpiński curve is space filling, its Hausdorff dimension (in the limit ) is The Euclidean length of the th iteration curve is
, то есть она растет экспоненциально с ростом , не имея предела, в то время как предел площади, ограниченной кривой, равен площади квадрата (в евклидовой метрике).
i. e., it grows exponentially with beyond any limit, whereas the limit for of the area enclosed by is that of the square (in Euclidean metric).
Кривая стрелки
Кривая "стрелка Серпинского" — это фрактальная кривая, похожая по внешнему виду и совпадающая по пределу с треугольником Серпинского. Кривая "стрелка Серпинского" рисует равносторонний треугольник с треугольными вырезами на равных интервалах. Её можно описать двумя правилами подстановки: (A → B A B) и (B → A+B+A). Символы A и B рекурсивно повторяются, и на каждом уровне рекурсии выполняют одно и то же действие — рисуют линию. Знаки плюс и минус (+ и -) обозначают поворот на 60 градусов влево или вправо соответственно. Конечная точка кривой "стрелка Серпинского" всегда будет одинаковой, если число рекурсий чётно и длина линии уменьшается вдвое на каждой итерации. Если же глубина рекурсии нечётная (порядок нечётный), то конечная точка будет смещена на 60 градусов и окажется в другой точке треугольника. Альтернативный способ построения описан в статье о кривой де Рама: используется та же техника, что и для кривых де Рама, но вместо двоичного (основание 2) разложения используется троичное (основание 3) разложение.
The Sierpiński arrowhead curve is a fractal curve similar in appearance and identical in limit to the Sierpiński triangle. The Sierpiński arrowhead curve draws an equilateral triangle with triangular holes at equal intervals. It can be described with two substituting production rules: (A → B A B) and (B → A+B+A). A and B recur and at the bottom do the same thing — draw a line. Plus and minus (+ and ) mean turn 60 degrees either left or right. The terminating point of the Sierpiński arrowhead curve is always the same provided you recur an even number of times and you halve the length of the line at each recursion. If you recur to an odd depth (order is odd) then you end up turned 60 degrees, at a different point in the triangle. An alternate constriction is given in the article on the de Rham curve: one uses the same technique as the de Rham curves, but instead of using a binary (base 2) expansion, one uses a ternary (base 3) expansion.