Введение

Плоскостный фрактал, построенный из квадратов.

Ковёр Сиерпинского — это плоскостной фрактал, впервые описанный Вацлавом Сиерпинским в 1916 году. Ковёр является обобщением множества Кантора на два измерения; другим таким обобщением является пыль Кантора. Метод подразделения фигуры на меньшие копии самой себя, удаления одной или нескольких копий и продолжения этого процесса рекурсивно может быть применён к другим фигурам. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление центрального треугольника и повторение процесса приводит к треугольнику Серпинского. В трёх измерениях аналогичная конструкция, основанная на кубах, известна как губка Менгера.

Строительство

Строительство ковра Серпинского начинается с квадрата. Квадрат разрезают на 9 конгруэнтных подквадратов в сетке 3x3, и центральный подквадрат удаляют. Затем та же процедура рекурсивно применяется к оставшимся 8 подквадратам, до бесконечности. Его можно представить как множество точек в единичном квадрате, координаты которых, записанные в троичной системе счисления, не содержат цифру "1" в одной и той же позиции. Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером конечного правила подразделения.

Движение Брауна на ковре Серпинского

Тема броуновского движения на ковре Серпинского в последние годы вызвала интерес. Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание на ковре Серпинского диффундирует медленнее, чем неограниченное случайное блуждание на плоскости. Последнее достигает среднего расстояния, пропорционального √n после n шагов, но случайное блуждание на дискретном ковре Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального n^(-β) для некоторого β > 2. Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более строгим неравенствам больших отклонений (так называемым "субгауссовым неравенствам") и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Харнака, но не удовлетворяет параболическому. Существование такого примера оставалось открытой проблемой на протяжении многих лет.

Сито валлийского типа

Вариант ковра Сиерпинского, называемый ситом Уоллиса, начинается аналогичным образом: единичный квадрат разбивается на девять меньших квадратов, из которых удаляется центральный. На следующем уровне подразделения каждый из квадратов разбивается на 25 меньших квадратов, и удаляется центральный из них. Этот процесс продолжается на i-м шаге, когда каждый квадрат разбивается на (2i + 1)² (нечетных квадратов) меньших квадратов, и снова удаляется центральный. Благодаря произведению Уоллиса, площадь полученного множества равна , в отличие от стандартного ковра Сиерпинского, который имеет нулевой предельный размер. Хотя сито Уоллиса имеет положительную меру Лебега, никакое подмножество, являющееся декартовым произведением двух множеств действительных чисел, не обладает этим свойством, поэтому его мера Жордана равна нулю.

Приложения

Фрактальные антенны для мобильных телефонов и Wi-Fi были изготовлены в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности, они легко поддерживают несколько частот. Они также просты в изготовлении и меньше по размеру, чем традиционные антенны с аналогичными характеристиками, что делает их оптимальными для компактных мобильных телефонов.