Введение

Фрактал, состоящий из треугольников

Треугольник Серпинского (иногда пишется как Серпински), также называемый прокладкой Серпинского или ситом Серпинского, — это фрактальное привлекательное фиксированное множество в форме равностороннего треугольника, рекурсивно подразделяемого на меньшие равносторонние треугольники. Изначально построенный как кривая, он является одним из основных примеров самоподобных множеств, то есть это математически сгенерированный узор, воспроизводимый при любом увеличении или уменьшении масштаба. Он назван в честь польского математика Вацлава Серпинского, однако как декоративный элемент он существовал за много веков до работ Серпинского.

Строительство

Существует много различных способов построения треугольника Серпинского.

Сотовые автоматы

Треугольник Серпинского также встречается в некоторых клеточных автоматах (таких как Правило 90), включая автоматы, связанные с «Игрой жизни» Конвея. Например, клеточный автомат Life B1/S12 при применении к одной клетке генерирует четыре приближения треугольника Серпинского. Очень длинная линия толщиной в одну клетку в стандартной «Игре жизни» создаст два зеркально отраженных треугольника Серпинского. Диаграмма пространства-времени реплицирующего паттерна в клеточном автомате также часто напоминает треугольник Серпинского, как, например, распространенный репликатор в HighLife. Треугольник Серпинского также можно обнаружить в автомате Улама-Варбертона и гексагональном автомате Улама-Варбертона.

Треугольник Паскаля

Если взять треугольник Паскаля с n строками и раскрасить четные числа в белый цвет, а нечетные – в черный, то получится приближение к треугольнику Серпинского. Более точно, предел при n стремящемся к бесконечности этого раскрашенного по четности треугольника Паскаля является треугольником Серпинского. Поскольку доля черных чисел стремится к нулю при увеличении n, следствием этого является то, что доля нечетных биномиальных коэффициентов стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Башни Ханоя

В головоломке "Башни Ханоя" требуется переместить диски разных размеров между тремя стержнями, соблюдая условие, что ни один диск не должен быть помещен на диск меньшего размера. Состояния головоломки с n дисками и допустимые ходы между ними образуют неориентированный граф, называемый графом Ханоя, который можно геометрически представить как граф пересечений множества треугольников, остающихся после n-го шага построения треугольника Серпинского. Следовательно, в пределе при стремлении n к бесконечности, эта последовательность графов может быть интерпретирована как дискретный аналог треугольника Серпинского.

Свойства

Для целого числа измерений, при удвоении стороны объекта создается 2^n копий, то есть 2 копии для одномерного объекта, 4 копии для двумерного объекта и 8 копий для трехмерного объекта. Для треугольника Серпинского удвоение его стороны создает 3 копии самого себя. Таким образом, треугольник Серпинского имеет размерность Хаусдорфа d, которая следует из решения уравнения 3^d = 2. Площадь треугольника Серпинского равна нулю (в мере Лебега). Площадь, оставшаяся после каждой итерации, составляет 3/4 площади от предыдущей итерации, и бесконечное число итераций приводит к площади, стремящейся к нулю. Точки треугольника Серпинского имеют простую характеристику в барицентрических координатах. Если точка имеет барицентрические координаты (x, y, z), выраженные в двоичной системе счисления, то точка находится в треугольнике Серпинского тогда и только тогда, когда x, y и z равны 0 или 1, и x + y + z ≠ 1 для всех.

Обобщение на другие модули

Обобщение треугольника Серпинского также может быть получено с помощью треугольника Паскаля, если использовать другой модуль. Итерация может быть получена, взяв треугольник Паскаля с *n* строками и раскрашивая числа по их значению по модулю *m*. По мере того, как *n* стремится к бесконечности, генерируется фрактал. Тот же фрактал можно получить, разделив треугольник на мозаику из подобных треугольников и удаляя треугольники, перевернутые относительно исходного, а затем повторяя этот шаг с каждым меньшим треугольником. Обратно, фрактал также можно сгенерировать, начиная с треугольника и дублируя его, а затем располагая *k* новых фигур в той же ориентации в более крупный подобный треугольник, так чтобы вершины предыдущих фигур соприкасались, и повторяя этот шаг.

Аналоги в более высоких размерах

Тетраэдр или тетрикс Серпинского — трёхмерный аналог треугольника Серпинского, образованный путём многократного уменьшения правильного тетраэдра до половины его первоначальной высоты, соединения четырёх копий этого тетраэдра с соприкасающимися вершинами, а затем повторения процесса. Тетрикс, построенный из начального тетраэдра с длиной ребра *a*, обладает свойством, что общая площадь поверхности остаётся постоянной с каждой итерацией. Начальная площадь поверхности тетраэдра (итерация 0) с длиной ребра *a* равна . Следующая итерация состоит из четырёх копий с длиной ребра *a*/2, так что общая площадь снова равна . Последующие итерации снова увеличивают количество копий в четыре раза и уменьшают длину ребра вдвое, сохраняя общую площадь. Между тем, объём конструкции уменьшается вдвое на каждом шагу и поэтому стремится к нулю. Предел этого процесса не имеет ни объёма, ни поверхности, но, как и фрактал Серпинского, представляет собой сложно соединённую кривую. Его размерность Хаусдорфа равна ; здесь "log" обозначает натуральный логарифм, числитель — логарифм количества копий фигуры, сформированных из каждой копии предыдущей итерации, а знаменатель — логарифм коэффициента, в котором эти копии уменьшаются по сравнению с предыдущей итерацией. Если все точки спроецировать на плоскость, параллельную двум внешним рёбрам, они точно заполнят квадрат со стороной *a* без перекрытия.

История

Вацлав Серпинский описал треугольник Серпинского в 1915 году. Однако подобные узоры встречаются уже в XIII веке в качестве распространенного мотива в каменной мозаике стиля косматески. Аполлониева прокладка была впервые описана Аполлонием Пергским (III век до н.э.) и впоследствии проанализирована Готфридом Лейбницем (XVII век), являясь криволинейным предшественником треугольника Серпинского XX века.

Этимология

Использование слова "прокладка" для обозначения треугольника Серпинского отсылает к прокладкам, используемым в двигателях, которые иногда имеют серию отверстий уменьшающегося размера, напоминающих фрактал; это название было предложено Бенуа Мандельбротом, который считал, что фрактал похож на "деталь, предотвращающую утечки в двигателях".