Введение
В математике пирамида Паскаля — это трёхмерная организация триномиальных коэффициентов, являющихся коэффициентами при разложении тринома и триномиального распределения. Пирамида Паскаля является трёхмерным аналогом двухмерного треугольника Паскаля, содержащего биномиальные коэффициенты и связанного с разложением бинома и биномиальным распределением. Биномиальные и триномиальные коэффициенты, разложения и распределения являются подмножествами многочленных конструкций с теми же названиями.
Параллели треугольника Паскаля и многочленные коэффициенты
В этой таблице обобщены свойства триномиального разложения и триномиального распределения. Она сравнивает их с биномиальными и мультиномиальными разложениями и распределениями:
Тип многочлена биномиальный триномиальный мультиномиальный
Порядок многочлена 2 3 m
Пример многочлена A+B A+B+C A+B+C+\cdots+M
Геометрическая структура треугольник тетраэдр m-мерный симплекс
Элементная структура линия слой группа
Симметрия элемента 2-сторонная 3-сторонная m-сторонняя
Количество членов в элементе n+1 =
Сумма коэффициентов в элементе 2n 3n mn
Пример члена AxBy AxByCz AxByCz...Mm
Сумма степеней, во всех членах n n n
Уравнение коэффициентов Сумма коэффициентов "выше" 2 3 m
Отношение соседних коэффициентов 2 6 m(m−1)
Type of polynomial bi nomial tri nomial multi nomial Order of polynomial 2 3 m Example of polynomial A+B A+B+C A+B+C+\cdots+M Geometric structure triangle tetrahedron m simplex Element structure line layer group Symmetry of element 2 way 3 way m way Number of terms per element n+1 = Sum of coefficients per element 2n 3n mn Example of term AxBy AxByCz AxByCz Mm Sum of exponents, all terms n n n Coefficient equation Sum of coefficients "above" 2 3 m Ratio of adjacent coefficients 2 6 m(m−1)
A simplex is the simplest linear geometric form that exists in any dimension. Tetrahedra and triangles are examples in 3 and 2 dimensions, respectively. The formula for the binomial coefficient is usually expressed as , where n−x = y.
Симплекс – это простейшая линейная геометрическая форма, существующая в любом измерении. Тетраэдры и треугольники являются примерами в 3 и 2 измерениях соответственно. Формула биномиального коэффициента обычно выражается как , где n−x = y.
Type of polynomial bi nomial tri nomial multi nomial Order of polynomial 2 3 m Example of polynomial A+B A+B+C A+B+C+\cdots+M Geometric structure triangle tetrahedron m simplex Element structure line layer group Symmetry of element 2 way 3 way m way Number of terms per element n+1 = Sum of coefficients per element 2n 3n mn Example of term AxBy AxByCz AxByCz Mm Sum of exponents, all terms n n n Coefficient equation Sum of coefficients "above" 2 3 m Ratio of adjacent coefficients 2 6 m(m−1)
A simplex is the simplest linear geometric form that exists in any dimension. Tetrahedra and triangles are examples in 3 and 2 dimensions, respectively. The formula for the binomial coefficient is usually expressed as , where n−x = y.
Использование
В генетике часто используют пирамиду Паскаля для определения соотношения между различными генотипами в одном скрещивании. Это достигается путем определения строки, соответствующей числу фенотипов (количество генотипов + 1). Эта строка и будет указывать на искомое соотношение.