Альфред Тарский: Жизнь и вклад в логику и математику

Введение

Польский–американский математик (1901–1983)

Альфред Тарски (род. Альфред Тейтельбаум; 14 января 1901 – 26 октября 1983) – польский американский логик и математик. Плодовитый автор, наиболее известный своими работами в области теории моделей, метаматематики и алгебраической логики, он также внес вклад в абстрактную алгебру, топологию, геометрию, теорию меры, математическую логику, теорию множеств и аналитическую философию. Получил образование в Польше в Варшавском университете и был членом Львовско-Варшавской школы логики и Варшавской школы математики. В 1939 году эмигрировал в Соединенные Штаты, где в 1945 году получил гражданство. Тарски преподавал и проводил математические исследования в Калифорнийском университете в Беркли с 1942 года до своей смерти в 1983 году. Его биографы Анита Бердман Феферман и Соломон Феферман утверждают, что «вместе со своим современником Куртом Гёделем он изменил облик логики в двадцатом веке, особенно благодаря своим работам над концепцией истины и теорией моделей».

Ранние годы и образование

Альфред Тарски родился Альфред Тейтельбаум (польское написание: "Tajtelbaum") в семье польских евреев, живших в достатке. Свои математические способности он впервые проявил в средней школе, в Варшавской школе Мазовецкой. Однако в 1918 году он поступил в Варшавский университет с намерением изучать биологию. После восстановления независимости Польши в 1918 году Варшавский университет возглавили Ян Лукасевич, Станислав Лесневский и Вацлав Серпинский, и он быстро стал одним из ведущих мировых исследовательских центров в области логики, основ математики и философии математики. Лесневский разглядел математический потенциал Тарского и убедил его оставить биологию.

Карьера

Став самым молодым человеком, когда-либо получившим докторскую степень в Варшавском университете, Тарски преподавал логику в Польском педагогическом институте, математику и логику в университете и был ассистентом Лукашевича. Поскольку эти должности были низкооплачиваемыми, Тарски также преподавал математику в Третьей мужской гимназии профсоюза учителей польских средних школ (позже гимназия имени Стефана Жеромского), варшавской средней школе, начиная с 1925 года. До Второй мировой войны для европейских интеллектуалов исследовательского уровня было обычным делом преподавать в средней школе. Таким образом, до своего отъезда в Соединенные Штаты в 1939 году Тарски не только написал несколько учебников и множество статей, некоторые из которых были новаторскими, но и делал это, в основном обеспечивая себя, преподавая математику в средней школе. В 1929 году Тарски женился на своей коллеге Марии Витковской, полько-католичке. Она работала курьером в армии во время польско-советской войны. У них было двое детей: сын Ян Тарски, ставший физиком, и дочь Ина, вышедшая замуж за математика Анджея Эренфеухта. Тарски подал заявку на должность профессора философии во Львовском университете, но по рекомендации Бертрана Рассела она была присуждена Леону Хвистеку. В 1930 году Тарски посетил Венский университет, выступил с лекцией на коллоквиуме Карла Менгера и встретился с Куртом Гёделем. Благодаря стипендии он смог вернуться в Вену в первой половине 1935 года для работы с исследовательской группой Менгера. Из Вены он отправился в Париж, чтобы представить свои идеи об истине на первом собрании движения «Единство науки», возникшего из Венского круга. На академическую карьеру Тарского в Польше сильно и неоднократно влияло его происхождение. Например, в 1937 году Тарски подал заявку на должность в Познанском университете, но должность была упразднена, чтобы избежать назначения Тарски (который, несомненно, был самым сильным кандидатом), поскольку он был евреем. Связи Тарски с движением «Единство науки», вероятно, спасли ему жизнь, поскольку в результате его пригласили выступить на Конгрессе «Единство науки», состоявшемся в сентябре 1939 года в Гарвардском университете. Так он покинул Польшу в августе 1939 года на последнем корабле, отплывшем из Польши в Соединенные Штаты перед вторжением Германии и Советского Союза в Польшу и началом Второй мировой войны. Тарски уехал неохотно, поскольку Лесневский умер за несколько месяцев до этого, оставив вакансию, которую Тарски надеялся занять. Не подозревая об угрозе нацистов, он оставил жену и детей в Варшаве. Он не видел их снова до 1946 года. Во время войны почти вся его еврейская семья была убита немецкими оккупационными властями. По прибытии в Соединенные Штаты Тарски занимал ряд временных преподавательских и исследовательских должностей: в Гарвардском университете (1939), в Городском колледже Нью-Йорка (1940) и, благодаря стипендии Гуггенхайма, в Институте перспективных исследований в Принстоне (1942), где он снова встретился с Гёделем. В 1942 году Тарски присоединился к математическому факультету Калифорнийского университета в Беркли, где он провел остаток своей карьеры. Тарски стал гражданином США в 1945 году. Хотя он вышел на пенсию в 1968 году, он преподавал до 1973 года и руководил диссертациями на степень доктора философии до своей смерти. В Беркли Тарски приобрел репутацию выдающегося и требовательного преподавателя, о чем свидетельствовали многие наблюдатели: его семинары в Беркли быстро стали известными в мире математической логики. Его студенты, многие из которых стали выдающимися математиками, отмечали удивительную энергию, с которой он добивался от них наилучшей работы, всегда требуя высочайших стандартов ясности и точности. Тарски был экстравертом, остроумным, волевым, энергичным и прямолинейным. Он предпочитал, чтобы его исследования были совместными, — иногда работая всю ночь с коллегой, — и был очень требователен к вопросам приоритета. Харизматичный лидер и преподаватель, известный своим блестящим, точным, но в то же время захватывающим стилем изложения, Тарски предъявлял к студентам непомерно высокие требования, но в то же время мог быть очень ободряющим, особенно по отношению к женщинам, — в отличие от общей тенденции. Некоторые студенты были отпугнуты, но вокруг него сформировался круг учеников, многие из которых стали всемирно известными лидерами в этой области. Тарски руководил двадцатью четырьмя диссертациями на степень доктора философии, включая (в хронологическом порядке) работы Анджея Мостовского, Бьярни Йонссона, Джулии Робинсон, Роберта Вота, Соломона Фефермана, Ричарда Монтегю, Джеймса Дональда Монка, Хаима Гайфмана, Дональда Пигоцци и Роджера Маддукса, а также Чэна Чун Чанга и Джерома Кейслера, авторов «Теории моделей» (1973), классического учебника в этой области. Он также оказал значительное влияние на диссертации Адольфа Линденбаума, Даны Скотта и Стивена Живанта. Пять из учеников Тарски были женщинами, что было замечательным фактом, учитывая, что мужчины составляли подавляющее большинство аспирантов в то время. Тарски читал лекции в Университетском колледже Лондона (1950, 1966), в Институте Анри Пуанкаре в Париже (1955), в Миллеровском институте фундаментальных исследований в науке в Беркли (1958–60), в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе (1967) и в Папском католическом университете Чили (1974–75). Среди многочисленных наград, полученных им за свою карьеру, Тарски был избран членом Национальной академии наук США, Британской академии и Королевской академии искусств и наук Нидерландов в 1958 году, получил почетные степени Папского католического университета Чили в 1975 году, Марсельского университета имени Поля Сезанна в 1977 году и Университета Калгари, а также Berkeley Citation в 1981 году. Тарски был президентом Ассоциации символической логики (1944–46) и Международного союза истории и философии науки (1956–57). Он также был почетным редактором журнала Algebra Universalis.

After becoming the youngest person ever to complete a doctorate at Warsaw University, Tarski taught logic at the Polish Pedagogical Institute, mathematics and logic at the university, and served as Łukasiewicz's assistant. Because these positions were poorly paid, Tarski also taught mathematics at the Third Boys’ Gimnazjum of the Trade Union of Polish Secondary School Teachers (later the Stefan Żeromski Gimnazjum), a Warsaw secondary school, beginning in 1925. Before World War II, it was not uncommon for European intellectuals of research caliber to teach high school. Hence until his departure for the United States in 1939, Tarski not only wrote several textbooks and many papers, a number of them ground breaking, but also did so while supporting himself primarily by teaching high school mathematics. In 1929 Tarski married fellow teacher Maria Witkowska, a Pole of Catholic background. She had worked as a courier for the army in the Polish–Soviet War. They had two children; a son Jan Tarski, who became a physicist, and a daughter Ina, who married the mathematician Andrzej Ehrenfeucht. Tarski applied for a chair of philosophy at Lwów University, but on Bertrand Russell's recommendation it was awarded to Leon Chwistek. In 1930, Tarski visited the University of Vienna, lectured to Karl Menger's colloquium, and met Kurt Gödel. Thanks to a fellowship, he was able to return to Vienna during the first half of 1935 to work with Menger's research group. From Vienna he traveled to Paris to present his ideas on truth at the first meeting of the Unity of Science movement, an outgrowth of the Vienna Circle. Tarski's academic career in Poland was strongly and repeatedly impacted by his heritage. For example, in 1937, Tarski applied for a chair at Poznań University but the chair was abolished to avoid assigning it to Tarski (who was undisputedly the strongest applicant) because he was a Jew. Tarski's ties to the Unity of Science movement likely saved his life, because they resulted in his being invited to address the Unity of Science Congress held in September 1939 at Harvard University. Thus he left Poland in August 1939, on the last ship to sail from Poland for the United States before the German and Soviet invasion of Poland and the outbreak of World War II. Tarski left reluctantly, because Leśniewski had died a few months before, creating a vacancy which Tarski hoped to fill. Oblivious to the Nazi threat, he left his wife and children in Warsaw. He did not see them again until 1946. During the war, nearly all his Jewish extended family were murdered at the hands of the German occupying authorities. Once in the United States, Tarski held a number of temporary teaching and research positions: Harvard University (1939), City College of New York (1940), and thanks to a Guggenheim Fellowship, the Institute for Advanced Study in Princeton (1942), where he again met Gödel. In 1942, Tarski joined the Mathematics Department at the University of California, Berkeley, where he spent the rest of his career. Tarski became an American citizen in 1945. Although emeritus from 1968, he taught until 1973 and supervised Ph. D. candidates until his death. At Berkeley, Tarski acquired a reputation as an astounding and demanding teacher, a fact noted by many observers:

His seminars at Berkeley quickly became famous in the world of mathematical logic. His students, many of whom became distinguished mathematicians, noted the awesome energy with which he would coax and cajole their best work out of them, always demanding the highest standards of clarity and precision. Tarski was extroverted, quick witted, strong willed, energetic, and sharp tongued. He preferred his research to be collaborative — sometimes working all night with a colleague — and was very fastidious about priority. A charismatic leader and teacher, known for his brilliantly precise yet suspenseful expository style, Tarski had intimidatingly high standards for students, but at the same time he could be very encouraging, and particularly so to women — in contrast to the general trend. Some students were frightened away, but a circle of disciples remained, many of whom became world renowned leaders in the field. Tarski supervised twenty four Ph. D. dissertations including (in chronological order) those of Andrzej Mostowski, Bjarni Jónsson, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, James Donald Monk, Haim Gaifman, Donald Pigozzi, and Roger Maddux, as well as Chen Chung Chang and Jerome Keisler, authors of Model Theory (1973), a classic text in the field. He also strongly influenced the dissertations of Adolf Lindenbaum, Dana Scott, and Steven Givant. Five of Tarski's students were women, a remarkable fact given that men represented an overwhelming majority of graduate students at the time. Tarski lectured at University College, London (1950, 1966), the Institut Henri Poincaré in Paris (1955), the Miller Institute for Basic Research in Science in Berkeley (1958–60), the University of California at Los Angeles (1967), and the Pontifical Catholic University of Chile (1974–75). Among many distinctions garnered over the course of his career, Tarski was elected to the United States National Academy of Sciences, the British Academy and the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences in 1958, received honorary degrees from the Pontifical Catholic University of Chile in 1975, from Marseilles' Paul Cézanne University in 1977 and from the University of Calgary, as well as the Berkeley Citation in 1981. Tarski presided over the Association for Symbolic Logic, 1944–46, and the International Union for the History and Philosophy of Science, 1956–57. He was also an honorary editor of Algebra Universalis.

Работа в области математики

Математические интересы Тарского были исключительно широкими. Его собранные труды насчитывают около 2500 страниц, большая часть которых посвящена математике, а не логике. Для краткого обзора математических и логических достижений Тарского, выполненного его бывшим учеником Соломоном Феферманом, см. "Interludes I–VI" в Feferman and Feferman. Первая работа Тарского, опубликованная в возрасте 19 лет, была посвящена теории множеств, к которой он возвращался на протяжении всей своей жизни. В 1924 году он и Стефан Банах доказали, что, если принять аксиому выбора, шар можно разрезать на конечное число частей, а затем собрать в шар большего размера, или, альтернативно, его можно собрать в два шара, размер каждого из которых равен размеру исходного. Этот результат теперь называется парадоксом Банаха–Тарского. В работе «Метод решения для элементарной алгебры и геометрии» Тарски показал, с помощью метода устранения кванторов, что теория первого порядка действительных чисел при сложении и умножении разрешима. (Хотя этот результат был опубликован только в 1948 году, он восходит к 1930 году и был упомянут в Тарски (1931).) Это весьма любопытный результат, поскольку Алонзо Черч доказал в 1936 году, что арифметика Пеано (теория натуральных чисел) неразрешима. Арифметика Пеано также неполна в соответствии с теоремой о неполноте Гёделя. В своей работе «Неразрешимые теории» 1953 года Тарски и др. показали, что многие математические системы, включая теорию решёток, абстрактную проективную геометрию и алгебры замкнутости, являются неразрешимыми. Теория абелевых групп разрешима, а теория неабелевых групп – нет. Преподавая в гимназии имени Стефана Жеромского в 1920-х и 30-х годах, Тарски часто преподавал геометрию. Используя некоторые идеи Марио Пьери, в 1926 году Тарски разработал оригинальную аксиоматизацию планарной евклидовой геометрии, значительно более лаконичную, чем аксиоматика Гильберта. Аксиомы Тарского образуют теорию первого порядка, не использующую теорию множеств, индивидами которой являются точки и имеющую только два примитивных отношения. В 1930 году он доказал разрешимость этой теории, поскольку её можно отобразить в другую теорию, разрешимость которой он уже доказал, а именно свою теорию действительных чисел первого порядка. В 1929 году он показал, что большая часть евклидовой стереометрии может быть представлена как теория второго порядка, индивидами которой являются сферы (примитивное понятие), одно примитивное бинарное отношение «содержится в» и два аксиомы, которые, среди прочего, подразумевают, что отношение «содержится в» частично упорядочивает сферы. Ослабление требования, что все индивиды должны быть сферами, приводит к формализации мереологии, гораздо более простой для изложения, чем вариант Лесневского. Ближе к концу жизни Тарски написал очень длинное письмо, опубликованное как Tarski and Givant (1999), в котором он обобщил свою работу по геометрии. Кардинальные алгебры изучают алгебры, модели которых включают арифметику кардинальных чисел. Ординальные алгебры представляют собой алгебру для аддитивной теории типов порядка. Кардинальное, но не порядковое, сложение коммутативно. В 1941 году Тарски опубликовал важную работу о бинарных отношениях, которая положила начало исследованиям алгебры отношений и её метаматематики, занимавшим Тарского и его учеников на протяжении большей части его жизни. Хотя это исследование (и тесно связанная работа Роджера Линдона) выявило некоторые важные ограничения алгебры отношений, Тарски также показал (Tarski and Givant 1987), что алгебра отношений может выражать большую часть аксиоматической теории множеств и арифметику Пеано. Для введения в алгебру отношений см. Maddux (2006). В конце 1940-х годов Тарски и его ученики разработали цилиндрические алгебры, которые по отношению к логике первого порядка находятся в том же отношении, что двухэлементная булева алгебра к классической пропозициональной логике. Эта работа завершилась двумя монографиями Тарски, Хенкина и Монка (1971, 1985).

Tarski's mathematical interests were exceptionally broad. His collected papers run to about 2,500 pages, most of them on mathematics, not logic. For a concise survey of Tarski's mathematical and logical accomplishments by his former student Solomon Feferman, see "Interludes I–VI" in Feferman and Feferman. Tarski's first paper, published when he was 19 years old, was on set theory, a subject to which he returned throughout his life. In 1924, he and Stefan Banach proved that, if one accepts the Axiom of Choice, a ball can be cut into a finite number of pieces, and then reassembled into a ball of larger size, or alternatively it can be reassembled into two balls whose sizes each equal that of the original one. This result is now called the Banach–Tarski paradox. In A decision method for elementary algebra and geometry, Tarski showed, by the method of quantifier elimination, that the first order theory of the real numbers under addition and multiplication is decidable. (While this result appeared only in 1948, it dates back to 1930 and was mentioned in Tarski (1931).) This is a very curious result, because Alonzo Church proved in 1936 that Peano arithmetic (the theory of natural numbers) is not decidable. Peano arithmetic is also incomplete by Gödel's incompleteness theorem. In his 1953 Undecidable theories, Tarski et al. showed that many mathematical systems, including lattice theory, abstract projective geometry, and closure algebras, are all undecidable. The theory of Abelian groups is decidable, but that of non Abelian groups is not. While teaching at the Stefan Żeromski Gimnazjum in the 1920s and 30s, Tarski often taught geometry. Using some ideas of Mario Pieri, in 1926 Tarski devised an original axiomatization for plane Euclidean geometry, one considerably more concise than Hilbert's. Tarski's axioms form a first order theory devoid of set theory, whose individuals are points, and having only two primitive relations. In 1930, he proved this theory decidable because it can be mapped into another theory he had already proved decidable, namely his first order theory of the real numbers. In 1929 he showed that much of Euclidean solid geometry could be recast as a second order theory whose individuals are spheres (a primitive notion), a single primitive binary relation "is contained in", and two axioms that, among other things, imply that containment partially orders the spheres. Relaxing the requirement that all individuals be spheres yields a formalization of mereology far easier to exposit than Lesniewski's variant. Near the end of his life, Tarski wrote a very long letter, published as Tarski and Givant (1999), summarizing his work on geometry. Cardinal Algebras studied algebras whose models include the arithmetic of cardinal numbers. Ordinal Algebras sets out an algebra for the additive theory of order types. Cardinal, but not ordinal, addition commutes. In 1941, Tarski published an important paper on binary relations, which began the work on relation algebra and its metamathematics that occupied Tarski and his students for much of the balance of his life. While that exploration (and the closely related work of Roger Lyndon) uncovered some important limitations of relation algebra, Tarski also showed (Tarski and Givant 1987) that relation algebra can express most axiomatic set theory and Peano arithmetic. For an introduction to relation algebra, see Maddux (2006). In the late 1940s, Tarski and his students devised cylindric algebras, which are to first order logic what the two element Boolean algebra is to classical sentential logic. This work culminated in the two monographs by Tarski, Henkin, and Monk (1971, 1985).

Работа в логике

Ученик Тарского, Роберт Лоусон Вотт, отнёс Тарского к числу четырёх величайших логиков всех времён — наряду с Аристотелем, Готлобом Фреге и Куртом Гёделем. Однако сам Тарский часто выражал большое восхищение Чарльзом Сандерсом Пирсом, особенно его пионерскими работами в логике отношений. Тарский разработал аксиомы для логического следования и занимался дедуктивными системами, алгеброй логики и теорией определимости. Его семантические методы, кульминацией которых стала теория моделей, разработанная им и рядом его студентов из Беркли в 1950-х и 60-х годах, радикально преобразовали гильбертовскую доказательно-теоретическую метаматематику. Около 1930 года Тарский разработал абстрактную теорию логических дедукций, моделирующую некоторые свойства логических исчислений. Математически, то, что он описал, представляет собой просто конечное оператор замыкания на множестве (множестве высказываний). В абстрактной алгебраической логике конечные операторы замыкания до сих пор изучаются под названием оператора следствия, которое было введено Тарским. Множество S представляет собой множество высказываний, подмножество T множества S — теорию, а cl(T) — множество всех высказываний, вытекающих из этой теории. Этот абстрактный подход был применён к нечёткой логике (см. Gerla 2000). По мнению Тарского, метаматематика стала сопоставима с любой математической дисциплиной. Его понятия и результаты не только поддаются математической формализации, но и могут быть интегрированы в математику. Тарский разрушил границу между метаматематикой и математикой. Он возражал против ограничения роли метаматематики лишь основами математики. В статье Тарского 1936 года «О понятии логического следования» утверждалось, что заключение аргумента логически следует из его посылок тогда и только тогда, когда каждая модель посылок является моделью заключения. В 1937 году он опубликовал статью, в которой чётко изложил свои взгляды на природу и цель дедуктивного метода, а также на роль логики в научных исследованиях. В своей работе 1969 года «Истина и доказательство» Тарский рассмотрел теоремы о неполноте Гёделя и теорему о неопределимости Тарского, а также размышлял об их последствиях для аксиоматического метода в математике.

Tarski's student, Robert Lawson Vaught, has ranked Tarski as one of the four greatest logicians of all time — along with Aristotle, Gottlob Frege, and Kurt Gödel. However, Tarski often expressed great admiration for Charles Sanders Peirce, particularly for his pioneering work in the logic of relations. Tarski produced axioms for logical consequence and worked on deductive systems, the algebra of logic, and the theory of definability. His semantic methods, which culminated in the model theory he and a number of his Berkeley students developed in the 1950s and 60s, radically transformed Hilbert's proof theoretic metamathematics. Around 1930, Tarski developed an abstract theory of logical deductions that models some properties of logical calculi. Mathematically, what he described is just a finitary closure operator on a set (the set of sentences). In abstract algebraic logic, finitary closure operators are still studied under the name consequence operator, which was coined by Tarski. The set S represents a set of sentences, a subset T of S a theory, and cl(T) is the set of all sentences that follow from the theory. This abstract approach was applied to fuzzy logic (see Gerla 2000). In [Tarski's] view, metamathematics became similar to any mathematical discipline. Not only can its concepts and results be mathematized, but they actually can be integrated into mathematics. Tarski destroyed the borderline between metamathematics and mathematics. He objected to restricting the role of metamathematics to the foundations of mathematics. Tarski's 1936 article "On the concept of logical consequence" argued that the conclusion of an argument will follow logically from its premises if and only if every model of the premises is a model of the conclusion. In 1937, he published a paper presenting clearly his views on the nature and purpose of the deductive method, and the role of logic in scientific studies. Tarski's 1969 "Truth and proof" considered both Gödel's incompleteness theorems and Tarski's undefinability theorem, and mulled over their consequences for the axiomatic method in mathematics.