Альфред Тарский: өмірі мен ғылыми еңбектері

Кіріспе

Польшалық-американдық математик (1901–1983)

Альфред Тарски (/tɑr//s//k//i/, туған аты Альфред Тейтельбаум; 14 қаңтар 1901 – 26 қазан 1983) – поляк-американдық логик және математик. Модельдер теориясы, метаматематика және алгебралық логика салаларындағы еңбектерімен әйгілі болған ол, сондай-ақ абстрактты алгебра, топология, геометрия, өлшемдер теориясы, математикалық логика, жиын теориясы және аналитикалық философияға да үлес қосты. Польшада Варшава университетінде білім алған, Львов-Варшава логика мектебі мен Варшава математика мектебінің мүшесі болды. 1939 жылы АҚШ-қа көшіп, 1945 жылы азаматтыққа қабылданды. Тарски 1942 жылдан бастап 1983 жылы қайтыс болғанға дейін Берклидегі Калифорния университетінде математикадан сабақ берді және зерттеулер жүргізді. Оның өмірбаяушылары Анита Бердман Феферман мен Соломон Феферман былай деп мәлімдейді: «Замандасы Курт Гёдельмен бірге, ол XX ғасырда логиканың бетін, әсіресе шындық тұжырымы мен модельдер теориясы бойынша жұмыстары арқылы өзгертті».

Ерте өмір және білім

Альфред Тарски Альфред Тейтельбаум (полякша жазуы: "Тайтельбаум") болып дүниеге келді, ата-анасы жақсы жағдайдағы польшалық еврейлер болды. Ол математикалық қабілеттерін алғаш рет Варшаваның Мазовецкая мектебінде орта білім алғанда көрсетті. Дегенмен, 1918 жылы ол биологияны оқымақ ниетпен Варшава университетіне түсті. Польша 1918 жылы тәуелсіздік алғаннан кейін Варшава университеті Ян Лукасевич, Станислав Лесневский және Вацлав Серпинский басшылығымен логика, математика негіздері және математика философиясы саласындағы әлемдік деңгейдегі жетекші ғылыми-зерттеу орталығына айналды. Лесневский Тарскидің математик ретіндегі әлеуетін танып, оны биологияны тастауға ынталандырды.

Мансап

Варшава университетінде докторлық дәрежесін алған ең жас адам болғаннан кейін Тарски Польша педагогикалық институтында логика, университетінде математика және логика пәндерін оқытты және Лукасевичтің ассистенты болды. Бұл лауазымдардың жалақысы төмен болғандықтан, Тарски 1925 жылдан бастап Варшавадағы сауда-кәсіптік училищенің үшінші жігіттер гимназиясында (кейін Стефан Жеромский атындағы гимназия) математикадан сабақ берді. Екінші дүниежүзілік соғысқа дейін Еуропалық ғалымдардың зерттеу жұмыстарын жүргізіп, сонымен қатар орта мектепте сабақ беруі әдеттегі жағдай еді. Сондықтан 1939 жылы Америка Құрама Штаттарына кеткенге дейін Тарски бірнеше оқулық және көптеген мақалалар жазды, олардың кейбіреулері жаңалық болды, сонымен қатар өзін негізінен орта мектепте математика сабақтарын беріп қамтамасыз етті. 1929 жылы Тарски католик дінін ұстанатын поляк Мария Витковскаяға үйленді. Ол Польша-Совет соғысында армияда курьер болып жұмыс істеген. Олардың екі баласы болды: физик болған ұлы Ян Тарски және математик Анджей Эренфеухтке үйленген қызы Ина. Тарски Львов университетінде философия кафедрасына үміткер болды, бірақ Бертрад Расселдің ұсынысы бойынша ол Леон Хвистекке берілді. 1930 жылы Тарски Вена университетіне барып, Карл Менгердің семинарында дәріс оқыды және Курт Гёдельмен кездесті. Ғылыми грант арқасында ол 1935 жылдың бірінші жартысында Венаға қайтып, Менгердің зерттеу тобымен жұмыс істеді. Венадан Парижге барып, Вена шеңберінен туындаған «Ғылымның біртүтастығы» қозғалысының алғашқы жиналысында шындық туралы өз идеяларын ұсынды. Тарскидің Польшадағы академиялық мансабы оның тегіне байланысты бірнеше рет қиындықтарға тап болды. Мысалы, 1937 жылы Тарски Познань университетінде кафедраға үміткер болды, бірақ кафедраны Тарскиге (ол талассыз ең күшті үміткер болғандықтан) тағайындамау үшін жапты, өйткені ол еврей болды. Тарскидің «Ғылымның біртүтастығы» қозғалысымен байланысы оның өмірін сақтап қалды, өйткені олар оны 1939 жылдың қыркүйегінде Гарвард университетінде өткен «Ғылымның біртүтастығы» конгресінде сөз сөйлеуге шақырды. Сондықтан ол 1939 жылдың тамызында Польшадан Америка Құрама Штаттарына соңғы кемемен кетіп, Германия мен Совет Одағының Польшаға басып кіруіне және Екінші дүниежүзілік соғыстың басталуына дейін Польшадан шықты. Тарски өкінішпен кетті, өйткені Лесневский бірнеше ай бұрын қайтыс болды, бұл Тарски толтыруды үміттенген бос орынды қалдырды. Нацистердің қатерінен хабарсыз, ол әйелі мен балаларын Варшавада қалдырды. Оларды 1946 жылға дейін көрген жоқ. Соғыс кезінде оның еврей туыстарының көп бөлігі неміс оккупациялық билігінің қолынан қаза тапты. Америка Құрама Штаттарына келгеннен кейін Тарски бірнеше уақытша оқыту және зерттеу лауазымдарын атқарды: Гарвард университеті (1939), Нью-Йорк қалалық колледжі (1940) және Гуггенхайм стипендиясының арқасында Принстон қаласындағы Жоғары оқу институты (1942), онда ол тағы да Гёдельмен кездесті. 1942 жылы Тарски Берклидегі Калифорния университетінің математика факультетіне оқуға түсті және қалған өмірін сол жерде өткізді. Тарски 1945 жылы Америка азаматы болды. 1968 жылы зейнеткерлікке шыққанмен, 1973 жылға дейін сабақ берді және докторлық диссертацияларын қорғайтын студенттерге жетекшілік етті. Берклиде Тарски таңғажайып және талапкер мұғалім ретінде танымал болды, бұл туралы көптеген байқаушылар айтты: Оның Берклидегі семинарлары математикалық логика әлемінде жылдам танымал болды. Оның студенттері, олардың көптегені атақты математиктер болды, ол олардың ең жақсы жұмыстарын шығару үшін таңғажайып энергияны жұмсады, әрқашан ең жоғары дәлдік пен анықтық стандарттарын талап етті. Тарски сыртқа бағытталған, ойы шапшаң, еркін, күшті және тілі өткір болды. Ол зерттеулерін бірлесіп жүргізуді жөн көрді - кейде әріптесімен түн бойы жұмыс істеді - және басымдық мәселесіне өте мұқият қарады. Өзінің өте дәл, бірақ қызықты баяндама стилімен танымал харизматикалық көшбасшы және мұғалім Тарски студенттерге қатаң талаптар қойды, бірақ сонымен бірге оларды жігерлендірді, әсіресе әйелдерге, бұл жалпы тенденцияға қайшы келді. Кейбір студенттер қорқып кетті, бірақ шәкірттер тобы қалды, олардың көптегені осы салада әлемге әйгілі көшбасшылар болды. Тарски жиырма төрт докторлық диссертацияны жетекшілік етті, олардың ішінде (хронологиялық ретімен) Анджей Мостовский, Бьярни Йонссон, Джулия Робинсон, Роберт Вотт, Соломон Феферман, Ричард Монтегю, Джеймс Дональд Монк, Хаим Гайфман, Дональд Пигоцци және Роджер Маддукс, сондай-ақ Чен Чунг Чанг және Джером Кейслер, «Модель теориясы» (1973) еңбегінің авторлары, бұл саладағы классикалық мәтін. Ол Адольф Линденбаум, Дана Скотт және Стивен Гиванттың диссертацияларына да үлкен әсер етті. Тарскидің бес студенті әйел болды, бұл сол кездегі аспиранттардың басым көпшілігі ер адамдар болған еді. Тарски Лондон қаласындағы Университет колледжінде (1950, 1966), Париж қаласындағы Анри Пуанкаре институтында (1955), Берклидегі Ғылымның негізгі зерттеулері институтында (1958–60), Лос-Анджелестегі Калифорния университетінде (1967) және Чилидің Паптық католик университетінде (1974–75) дәріс оқыды. Өмірі барысында көптеген марапаттар алған Тарски 1958 жылы Америка Ұлттық Ғылым академиясына, Британ академиясына және Корольдік Голланд ғылым және өнер академиясына сайланды, 1975 жылы Чилидің Паптық католик университетінен, 1977 жылы Марсель қаласындағы Поль Сезанн университетінен және Калгари университетінен құрметті докторлық дәрежесін алды, сондай-ақ 1981 жылы Беркли цитатымен марапатталды. Тарски 1944–46 жылдары Символдық логика қауымдастығының, 1956–57 жылдары ғылым және философия тарихының халықаралық одағының президенті болды. Ол сондай-ақ Algebra Universalis журналының құрметті редакторы болды.

After becoming the youngest person ever to complete a doctorate at Warsaw University, Tarski taught logic at the Polish Pedagogical Institute, mathematics and logic at the university, and served as Łukasiewicz's assistant. Because these positions were poorly paid, Tarski also taught mathematics at the Third Boys’ Gimnazjum of the Trade Union of Polish Secondary School Teachers (later the Stefan Żeromski Gimnazjum), a Warsaw secondary school, beginning in 1925. Before World War II, it was not uncommon for European intellectuals of research caliber to teach high school. Hence until his departure for the United States in 1939, Tarski not only wrote several textbooks and many papers, a number of them ground breaking, but also did so while supporting himself primarily by teaching high school mathematics. In 1929 Tarski married fellow teacher Maria Witkowska, a Pole of Catholic background. She had worked as a courier for the army in the Polish–Soviet War. They had two children; a son Jan Tarski, who became a physicist, and a daughter Ina, who married the mathematician Andrzej Ehrenfeucht. Tarski applied for a chair of philosophy at Lwów University, but on Bertrand Russell's recommendation it was awarded to Leon Chwistek. In 1930, Tarski visited the University of Vienna, lectured to Karl Menger's colloquium, and met Kurt Gödel. Thanks to a fellowship, he was able to return to Vienna during the first half of 1935 to work with Menger's research group. From Vienna he traveled to Paris to present his ideas on truth at the first meeting of the Unity of Science movement, an outgrowth of the Vienna Circle. Tarski's academic career in Poland was strongly and repeatedly impacted by his heritage. For example, in 1937, Tarski applied for a chair at Poznań University but the chair was abolished to avoid assigning it to Tarski (who was undisputedly the strongest applicant) because he was a Jew. Tarski's ties to the Unity of Science movement likely saved his life, because they resulted in his being invited to address the Unity of Science Congress held in September 1939 at Harvard University. Thus he left Poland in August 1939, on the last ship to sail from Poland for the United States before the German and Soviet invasion of Poland and the outbreak of World War II. Tarski left reluctantly, because Leśniewski had died a few months before, creating a vacancy which Tarski hoped to fill. Oblivious to the Nazi threat, he left his wife and children in Warsaw. He did not see them again until 1946. During the war, nearly all his Jewish extended family were murdered at the hands of the German occupying authorities. Once in the United States, Tarski held a number of temporary teaching and research positions: Harvard University (1939), City College of New York (1940), and thanks to a Guggenheim Fellowship, the Institute for Advanced Study in Princeton (1942), where he again met Gödel. In 1942, Tarski joined the Mathematics Department at the University of California, Berkeley, where he spent the rest of his career. Tarski became an American citizen in 1945. Although emeritus from 1968, he taught until 1973 and supervised Ph. D. candidates until his death. At Berkeley, Tarski acquired a reputation as an astounding and demanding teacher, a fact noted by many observers:

His seminars at Berkeley quickly became famous in the world of mathematical logic. His students, many of whom became distinguished mathematicians, noted the awesome energy with which he would coax and cajole their best work out of them, always demanding the highest standards of clarity and precision. Tarski was extroverted, quick witted, strong willed, energetic, and sharp tongued. He preferred his research to be collaborative — sometimes working all night with a colleague — and was very fastidious about priority. A charismatic leader and teacher, known for his brilliantly precise yet suspenseful expository style, Tarski had intimidatingly high standards for students, but at the same time he could be very encouraging, and particularly so to women — in contrast to the general trend. Some students were frightened away, but a circle of disciples remained, many of whom became world renowned leaders in the field. Tarski supervised twenty four Ph. D. dissertations including (in chronological order) those of Andrzej Mostowski, Bjarni Jónsson, Julia Robinson, Robert Vaught, Solomon Feferman, Richard Montague, James Donald Monk, Haim Gaifman, Donald Pigozzi, and Roger Maddux, as well as Chen Chung Chang and Jerome Keisler, authors of Model Theory (1973), a classic text in the field. He also strongly influenced the dissertations of Adolf Lindenbaum, Dana Scott, and Steven Givant. Five of Tarski's students were women, a remarkable fact given that men represented an overwhelming majority of graduate students at the time. Tarski lectured at University College, London (1950, 1966), the Institut Henri Poincaré in Paris (1955), the Miller Institute for Basic Research in Science in Berkeley (1958–60), the University of California at Los Angeles (1967), and the Pontifical Catholic University of Chile (1974–75). Among many distinctions garnered over the course of his career, Tarski was elected to the United States National Academy of Sciences, the British Academy and the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences in 1958, received honorary degrees from the Pontifical Catholic University of Chile in 1975, from Marseilles' Paul Cézanne University in 1977 and from the University of Calgary, as well as the Berkeley Citation in 1981. Tarski presided over the Association for Symbolic Logic, 1944–46, and the International Union for the History and Philosophy of Science, 1956–57. He was also an honorary editor of Algebra Universalis.

Математикадағы жұмыс

Тарскидің математикалық қызығушылығы ерекше кең болды. Оның жинақталған еңбектері шамамен 2500 бетті құрайды, олардың көпшілігі математикаға, логикаға емес, қатысты. Тарскидің математикалық және логикалық жетістіктерін оның бұрынғы шәкірті Соломон Феферманның қысқаша шолуы үшін "Интерлюд I–VI" қараңыз. Тарскидің 19 жасында жарияланған алғашқы еңбегі жинақтар теориясы болды, ол өмір бойы осы тақырыпқа оралды. 1924 жылы ол Стефан Банахпен бірге таңдау аксиомасын қабылдаса, шарды шекті санда бөлшектерге кесіп, содан кейін үлкен мөлшердегі шарға қайта құрастыруға болады немесе екі шарға қайта құрастыруға болады, олардың әрқайсысының мөлшері бастапқы шардың мөлшеріне тең. Бұл нәтиже қазір Банах–Тарски парадоксы деп аталады. "Элементар алгебра мен геометрияға шешім табу әдісі" атты еңбегінде Тарски квантты жою әдісі арқылы нақты сандардың қосу және көбейтудің бірінші реттік теориясы шешімді екенін көрсетті. (Бұл нәтиже 1948 жылы ғана пайда болған болса да, ол 1930 жылға дейін барып, Тарски (1931) еңбегінде айтылған.) Бұл өте қызықты нәтиже, өйткені Алонзо Черч 1936 жылы Пеано арифметикасының (натурал сандар теориясы) шешілмейтінін дәлелдеді. Пеано арифметикасы да Гёдельдің толық емес теоремасы бойынша толық емес. 1953 жылы өзінің "Шешілмейтін теориялар" атты еңбегінде Тарски және басқалар көптеген математикалық жүйелердің, соның ішінде тор теориясы, абстрактілі проективті геометрия және жабылу алгебрасының, барлығы шешілмейтінін көрсетті. Абельдік топтардың теориясы шешіледі, бірақ абельдік емес топтардың теориясы шешілмейді. 1920 және 30-жылдары Стефан Жеромский гимназиясында сабақ берген кезінде Тарски геометрияны жиі оқытты. Марио Пьеридің кейбір идеяларын пайдаланып, 1926 жылы Тарски жазықтық Евклид геометриясы үшін түпнұсқа аксиомалық әдісті ойлап тапты, ол Гилберттің идеясына қарағанда айтарлықтай қысқа. Тарски аксиомалары жинақтар теориясынан бос бірінші реттік теорияны құрайды, оның индивидтері нүктелер болып табылады және тек екі бастапқы қатынасы бар. 1930 жылы ол бұл теорияны шешілетінін дәлелдеді, өйткені оны өзі шешілетінін дәлелдеген басқа теорияға, атап айтқанда нақты сандардың бірінші реттік теориясына жатқызуға болады. 1929 жылы ол Евклидтік қатты геометрияның көп бөлігін жеке тұлғалары сфералар (алғашқы түсінік) болып табылатын екінші реттік теория ретінде қайта құруға болатынын, бір ғана бастапқы қос қатынас "ішінде бар" және басқа да нәрселердің арасында екі аксиоманың қамтылуын білдіретінін көрсетті. Барлық жеке тұлғалардың сфералар болуы талаптарының жеңілдетілуі Лесньевскийдің нұсқасына қарағанда, мереологияны ресмилендіруге әлдеқайда оңай. Өмірінің соңына таман Тарски өзінің геометрия бойынша еңбектерін жинақтап, "Тарски және Гивант" (1999) деген атпен өте ұзақ хат жазды. Кардиналдық алгебралар – модельдері кардиналдық сандардың арифметикалық әдістерін қамтитын алгебраларды зерттеген. Ординалдық алгебралар реттік типтердің аддитивті теориясы үшін алгебраны белгілейді. Кардинал, бірақ ординал емес, қосу алмасады. 1941 жылы Тарски бинарлық қатынастар туралы маңызды мақала жариялады, ол Тарски мен оның студенттерін өмірінің көп бөлігін қамтыған алгебралық қатынастар мен оның метаматематикасы туралы жұмысты бастады. Бұл зерттеу (және Роджер Линдонның тығыз байланысты жұмысы) қатынас алгебрасының кейбір маңызды шектеулерін ашқанда, Тарски сонымен қатар (Тарски мен Гивант 1987) қатынас алгебрасы аксиоматикалық жиынтық теориясы мен Пеано арифметикасының көпшілігін білдіре алатынын көрсетті. Байланыс алгебрасына кіріспе үшін Maddux (2006) қараңыз. 1940-жылдардың аяғында Тарски мен оның студенттері цилиндрлік алгебраларды ойлап тапты, олар бірінші реттік логикаға екі элементті Буль алгебрасы классикалық сөйлемдік логикаға ұқсайды. Бұл жұмыс Тарски, Хенкин және Монк (1971, 1985) екі монографиясында аяқталды.

Tarski's mathematical interests were exceptionally broad. His collected papers run to about 2,500 pages, most of them on mathematics, not logic. For a concise survey of Tarski's mathematical and logical accomplishments by his former student Solomon Feferman, see "Interludes I–VI" in Feferman and Feferman. Tarski's first paper, published when he was 19 years old, was on set theory, a subject to which he returned throughout his life. In 1924, he and Stefan Banach proved that, if one accepts the Axiom of Choice, a ball can be cut into a finite number of pieces, and then reassembled into a ball of larger size, or alternatively it can be reassembled into two balls whose sizes each equal that of the original one. This result is now called the Banach–Tarski paradox. In A decision method for elementary algebra and geometry, Tarski showed, by the method of quantifier elimination, that the first order theory of the real numbers under addition and multiplication is decidable. (While this result appeared only in 1948, it dates back to 1930 and was mentioned in Tarski (1931).) This is a very curious result, because Alonzo Church proved in 1936 that Peano arithmetic (the theory of natural numbers) is not decidable. Peano arithmetic is also incomplete by Gödel's incompleteness theorem. In his 1953 Undecidable theories, Tarski et al. showed that many mathematical systems, including lattice theory, abstract projective geometry, and closure algebras, are all undecidable. The theory of Abelian groups is decidable, but that of non Abelian groups is not. While teaching at the Stefan Żeromski Gimnazjum in the 1920s and 30s, Tarski often taught geometry. Using some ideas of Mario Pieri, in 1926 Tarski devised an original axiomatization for plane Euclidean geometry, one considerably more concise than Hilbert's. Tarski's axioms form a first order theory devoid of set theory, whose individuals are points, and having only two primitive relations. In 1930, he proved this theory decidable because it can be mapped into another theory he had already proved decidable, namely his first order theory of the real numbers. In 1929 he showed that much of Euclidean solid geometry could be recast as a second order theory whose individuals are spheres (a primitive notion), a single primitive binary relation "is contained in", and two axioms that, among other things, imply that containment partially orders the spheres. Relaxing the requirement that all individuals be spheres yields a formalization of mereology far easier to exposit than Lesniewski's variant. Near the end of his life, Tarski wrote a very long letter, published as Tarski and Givant (1999), summarizing his work on geometry. Cardinal Algebras studied algebras whose models include the arithmetic of cardinal numbers. Ordinal Algebras sets out an algebra for the additive theory of order types. Cardinal, but not ordinal, addition commutes. In 1941, Tarski published an important paper on binary relations, which began the work on relation algebra and its metamathematics that occupied Tarski and his students for much of the balance of his life. While that exploration (and the closely related work of Roger Lyndon) uncovered some important limitations of relation algebra, Tarski also showed (Tarski and Givant 1987) that relation algebra can express most axiomatic set theory and Peano arithmetic. For an introduction to relation algebra, see Maddux (2006). In the late 1940s, Tarski and his students devised cylindric algebras, which are to first order logic what the two element Boolean algebra is to classical sentential logic. This work culminated in the two monographs by Tarski, Henkin, and Monk (1971, 1985).

Логикалық жұмыс

Тарскидің шәкірті Роберт Лоусон Вотт Тарскиді Аристотель, Готлоб Фреге және Курт Гёдельмен қатар барлық уақыттың ең ұлы логиктерінің бірі деп санайды. Дегенмен, Тарски Чарльз Сандерс Пирске, әсіресе қатынастар логикасындағы оның новаторлық еңбектеріне зор құрмет көрсетті. Тарски логикалық салдарлар үшін аксиомалар жасады және дедуктивті жүйелер, логика алгебрасы және анықтама теориясы салаларында жұмыс істеді. Оның семантикалық әдістері, 1950 және 60-шы жылдарда оның Берклидегі студенттерімен бірге дамытқан модель теориясында толыққанды түріне келді, бұл Гилберттің дәлелдемелік метаматематикасын түбірінен өзгертті. 1930 жылдар шамасында Тарски логикалық есептеулердің кейбір қасиеттерін модельдейтін логикалық дедукциялардың абстракт теориясын жасады. Математикалық тұрғыдан алғанда, ол сипаттаған нәрсе – жиынтық (сөйлемдер жиынтығы) бойынша шекті жабу операторы. Абстракт алгебралық логикада шекті жабу операторлары әлі күнге дейін Тарски ұсынған «салдар операторы» деген атаумен зерттеледі. S жиынтығы сөйлемдер жиынтығын, ал S жиынтығының T ішкі жиынтығы теорияны, ал cl(T) – теориядан туындайтын барлық сөйлемдер жиынтығын білдіреді. Бұл абстракт тәсіл тұйық логикаға қолданылды (Gerla 2000-ге қараңыз). Тарскидің пікірінше, метаматематика кез келген математикалық ғылым сияқты болды. Оның ұғымдары мен нәтижелері математикаландырылу ғана емес, математикаға интеграциялануы да мүмкін. Тарски метаматематика мен математика арасындағы шекараны жойды. Ол метаматематиканың рөлін математиканың негіздерімен шектеуге қарсы болды. Тарскидің 1936 жылғы «Логикалық салдар туралы ұғым» атты мақаласында аргументтің қорытындысы оның алғышарттарынан логикалық түрде шығады, егер және тек егер алғышарттардың әрбір моделі қорытындының моделі болса деп дәлелдеді. 1937 жылы ол дедуктивті әдістің мәні мен мақсаты, сондай-ақ ғылыми зерттеулердегі логиканың рөлі туралы өз көзқарасын нақты көрсететін мақала жариялады. Тарскидің 1969 жылғы «Шындық және дәлелдеме» еңбегі Гёдельдің толымсыздық теоремаларын және Тарскидің анықталмау теоремасын қарастырып, математикадағы аксиоматикалық әдіс үшін олардың салдарына ой келтірді.

Tarski's student, Robert Lawson Vaught, has ranked Tarski as one of the four greatest logicians of all time — along with Aristotle, Gottlob Frege, and Kurt Gödel. However, Tarski often expressed great admiration for Charles Sanders Peirce, particularly for his pioneering work in the logic of relations. Tarski produced axioms for logical consequence and worked on deductive systems, the algebra of logic, and the theory of definability. His semantic methods, which culminated in the model theory he and a number of his Berkeley students developed in the 1950s and 60s, radically transformed Hilbert's proof theoretic metamathematics. Around 1930, Tarski developed an abstract theory of logical deductions that models some properties of logical calculi. Mathematically, what he described is just a finitary closure operator on a set (the set of sentences). In abstract algebraic logic, finitary closure operators are still studied under the name consequence operator, which was coined by Tarski. The set S represents a set of sentences, a subset T of S a theory, and cl(T) is the set of all sentences that follow from the theory. This abstract approach was applied to fuzzy logic (see Gerla 2000). In [Tarski's] view, metamathematics became similar to any mathematical discipline. Not only can its concepts and results be mathematized, but they actually can be integrated into mathematics. Tarski destroyed the borderline between metamathematics and mathematics. He objected to restricting the role of metamathematics to the foundations of mathematics. Tarski's 1936 article "On the concept of logical consequence" argued that the conclusion of an argument will follow logically from its premises if and only if every model of the premises is a model of the conclusion. In 1937, he published a paper presenting clearly his views on the nature and purpose of the deductive method, and the role of logic in scientific studies. Tarski's 1969 "Truth and proof" considered both Gödel's incompleteness theorems and Tarski's undefinability theorem, and mulled over their consequences for the axiomatic method in mathematics.