Математические начала и основы логики: "Principia Mathematica" Уайтхеда и Рассела

Введение

Книга об основах математики (1910–13, 1925–27). Книга Исаака Ньютона, содержащая основные законы физики.

Principia Mathematica (часто сокращаемая PM) – это трехтомный труд, посвященный основам математики, написанный математиками-философами Альфредом Нортом Уайтхедом и Бертрандом Расселом и опубликованный в 1910, 1912 и 1913 годах. В 1925–1927 годах он был переиздан во втором издании с важным «Введением ко второму изданию», Приложением А, заменившим ✱9, а также новыми Приложениями B и C. PM задумывался как продолжение «Принципов математики» Рассела 1903 года, но, как отмечается в PM, эта идея оказалась нереализуемой по практическим и философским причинам: «Изначально мы планировали включить эту работу во второй том «Принципов математики». Однако по мере продвижения становилось все более очевидным, что предмет гораздо обширнее, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые оставались неясными и спорными в предыдущей работе, мы пришли к тому, что считаем удовлетворительными решениями». Согласно введению, PM преследовал три цели: (1) максимально полно проанализировать идеи и методы математической логики и минимизировать количество примитивных понятий, аксиом и правил вывода; (2) точно выражать математические утверждения в символической логике, используя наиболее удобную нотацию, позволяющую обеспечить такую точность; (3) разрешить парадоксы, терзавшие логику и теорию множеств на рубеже XX века, например, парадокс Рассела. Эта третья цель послужила мотивом для принятия в PM теории типов. Теория типов вводит грамматические ограничения на формулы, исключающие неограниченное понимание классов, свойств и функций. В результате формулы, которые позволили бы определить объекты, подобные множеству Рассела, оказываются некорректными: они нарушают грамматические ограничения системы PM. PM вызвал интерес к символической логике, способствовал развитию этой области, популяризировал ее и продемонстрировал ее возможности. Издательство Modern Library поместило PM на 23-е место в своем списке 100 лучших научно-популярных книг на английском языке XX века.

The Principia Mathematica (often abbreviated PM) is a three volume work on the foundations of mathematics written by mathematician–philosophers Alfred North Whitehead and Bertrand Russell and published in 1910, 1912, and 1913. In 1925–1927, it appeared in a second edition with an important Introduction to the Second Edition, an Appendix A that replaced ✱9 and all new Appendix B and Appendix C. PM was conceived as a sequel to Russell's 1903 The Principles of Mathematics, but as PM states, this became an unworkable suggestion for practical and philosophical reasons: "The present work was originally intended by us to be comprised in a second volume of Principles of Mathematics But as we advanced, it became increasingly evident that the subject is a very much larger one than we had supposed; moreover on many fundamental questions which had been left obscure and doubtful in the former work, we have now arrived at what we believe to be satisfactory solutions." PM, according to its introduction, had three aims: (1) to analyze to the greatest possible extent the ideas and methods of mathematical logic and to minimize the number of primitive notions, axioms, and inference rules; (2) to precisely express mathematical propositions in symbolic logic using the most convenient notation that precise expression allows; (3) to solve the paradoxes that plagued logic and set theory at the turn of the 20th century, like Russell's paradox. This third aim motivated the adoption of the theory of types in PM. The theory of types adopts grammatical restrictions on formulas that rules out the unrestricted comprehension of classes, properties, and functions. The effect of this is that formulas such as would allow the comprehension of objects like the Russell set turn out to be ill formed: they violate the grammatical restrictions of the system of PM. PM sparked interest in symbolic logic and advanced the subject, popularizing it and demonstrating its power. The Modern Library placed PM 23rd in their list of the top 100 English language nonfiction books of the twentieth century.

Объем заложенных фундаментов

Принципы охватывали лишь теорию множеств, кардинальные числа, порядковые числа и действительные числа. Более глубокие теоремы из математического анализа не были включены, но к концу третьего тома специалистам стало очевидно, что значительная часть известной математики в принципе может быть выведена в рамках принятого формализма. Также стало понятно, насколько длительным был бы такой процесс разработки. Четвертый том, посвященный основам геометрии, был запланирован, но авторы признались в интеллектуальном истощении после завершения работы над третьим томом.

Теоретическая основа

Как отмечается в критике теории Куртом Гёделем (ниже), в отличие от формалистической теории, "логистическая" теория ПМ не содержит "чёткого определения синтаксиса формализма". Более того, в этой теории почти сразу становится очевидным, что интерпретации (в смысле теории моделей) представлены через значения истинности поведения символов "⊢" (утверждение об истинности), "~" (логическое отрицание) и "V" (логическое ИЛИ). Значения истинности: ПМ включает понятия "истина" и "ложь" в понятие "первичное высказывание". Чисто формалистическая теория не наделяет значениями символы, составляющие "первичное высказывание" – сами символы могут быть совершенно произвольными и незнакомыми. Теория определяет лишь то, как символы ведут себя в соответствии с грамматикой теории. Затем, посредством присвоения "значений", модель определяет интерпретацию смысла формул. Таким образом, в формальном наборе символов Клине, представленном ниже, "интерпретация" общепринятого значения символов и, как следствие, способа их использования, приводится в скобках, например, "¬ (отрицание)". Но это не является чисто формалистической теорией.

Современная конструкция формальной теории

Следующая формалистская теория предлагается в качестве контраста логистической теории ПМ. Современная формальная система будет построена следующим образом: Используемые символы: Этот набор является исходным, и другие символы могут появляться, но только по определению на основе этих исходных символов. Начальным набором может быть следующий набор, полученный из Клине 1952: логические символы: "→" (подразумевает, ЕСЛИ-ТО, и "⊃"), "&" (и), "V" (или), "¬" (не), "∀" (для всех), "∃" (существует); символ предиката "=" (равно); символы функций "+" (арифметическое сложение), "∙" (арифметическое умножение), "'" (последователь); индивидуальный символ "0" (ноль); переменные "a", "b", "c" и т. д.; и скобки "(" и ")". Символьные строки: Теория будет строить "строки" из этих символов путем конкатенации (сопоставления). Правила формирования: Теория определяет правила синтаксиса (правила грамматики), обычно в виде рекурсивного определения, которое начинается с "0" и определяет, как создавать допустимые строки или "хорошо сформированные формулы" (wffs). Это включает в себя правило "подстановки" строк вместо символов, называемых "переменными". Правила преобразования: Аксиомы, определяющие поведение символов и последовательностей символов. Правило вывода, отсечения, modus ponens: Правило, которое позволяет теории "отсечь" "вывод" от "посылок", которые к нему привели, и затем отбросить "посылки" (символы слева от линии │, или символы выше линии, если она горизонтальная). Если бы это не было так, то подстановка приводила бы к всё более длинным строкам, которые пришлось бы переносить дальше. Действительно, после применения modus ponens, остаётся только вывод, всё остальное исчезает навсегда. Современные теории часто указывают в качестве первой аксиомы классический modus ponens или "правило отсечения": Символ "│" обычно записывается как горизонтальная линия, здесь "⊃" означает "подразумевает". Символы A и B являются "заполнителями" для строк; эта форма обозначения называется "схемой аксиом" (т.е. существует счётное число конкретных форм, которые может принимать обозначение). Это можно прочитать аналогично ЕСЛИ-ТО, но с разницей: дано символьная строка ЕСЛИ A и A подразумевает B, ТО B (и сохраняется только B для дальнейшего использования). Но символы не имеют "интерпретации" (например, нет "таблицы истинности" или "значений истинности" или "истинных функций"), и modus ponens происходит механически, исключительно по грамматике.

The following formalist theory is offered as contrast to the logicistic theory of PM. A contemporary formal system would be constructed as follows:
Symbols used: This set is the starting set, and other symbols can appear but only by definition from these beginning symbols. A starting set might be the following set derived from Kleene 1952: logical symbols: "→" (implies, IF THEN, and "⊃"), "&" (and), "V" (or), "¬" (not), "∀" (for all), "∃" (there exists); predicate symbol "=" (equals); function symbols "+" (arithmetic addition), "∙" (arithmetic multiplication), "'" (successor); individual symbol "0" (zero); variables "a", "b", "c", etc. ; and parentheses "(" and ")". Symbol strings: The theory will build "strings" of these symbols by concatenation (juxtaposition). Formation rules: The theory specifies the rules of syntax (rules of grammar) usually as a recursive definition that starts with "0" and specifies how to build acceptable strings or "well formed formulas" (wffs). This includes a rule for "substitution" of strings for the symbols called "variables". Transformation rule(s): The axioms that specify the behaviours of the symbols and symbol sequences. Rule of inference, detachment, modus ponens : The rule that allows the theory to "detach" a "conclusion" from the "premises" that led up to it, and thereafter to discard the "premises" (symbols to the left of the line │, or symbols above the line if horizontal). If this were not the case, then substitution would result in longer and longer strings that have to be carried forward. Indeed, after the application of modus ponens, nothing is left but the conclusion, the rest disappears forever. Contemporary theories often specify as their first axiom the classical or modus ponens or "the rule of detachment": The symbol "│" is usually written as a horizontal line, here "⊃" means "implies". The symbols A and B are "stand ins" for strings; this form of notation is called an "axiom schema" (i. e., there is a countable number of specific forms the notation could take). This can be read in a manner similar to IF THEN but with a difference: given symbol string IF A and A implies B THEN B (and retain only B for further use). But the symbols have no "interpretation" (e. g., no "truth table" or "truth values" or "truth functions") and modus ponens proceeds mechanistically, by grammar alone.

Первобытные идеи

См. PM 1962:90–94, для первого издания: (1) Элементарные высказывания. (2) Элементарные высказывания о функциях. (3) Утверждение: вводит понятия "истина" и "ложность". (4) Утверждение функционального высказывания. (5) Отрицание: "Если p – любое высказывание, то высказывание "не p" или "p ложно" будет обозначаться как "~p" ". (6) Дисъюнкция: "Если p и q – любые высказывания, то высказывание "p или q", то есть "либо p истинно, либо q истинно", где альтернативы не должны быть взаимоисключающими, будет обозначаться как "p ∨ q" ". (см. раздел В)