Интервал допуска в статистике: определение и применение.

Введение

Тип статистической вероятности

Толерантный интервал (ТИ) – это статистический интервал, внутри которого, с заданной вероятностью, находится указанная доля элементов генеральной совокупности, отобранных в выборке. "Более точно, толерантный интервал с вероятностью p/100 и уровнем доверия (1-α)/100 определяет пределы, в пределах которых с вероятностью (1-α) находится не менее чем доля p элементов генеральной совокупности." "Толерантный интервал (ТИ) (p, 1−α), построенный на основе выборки, создается таким образом, чтобы он содержал не менее доли p элементов генеральной совокупности с уровнем доверия 1−α; такой ТИ обычно называют ТИ с содержанием p и покрытием (1−α)." "Верхняя граница толерантности (TL) (p, 1−α) – это, по сути, верхняя граница доверия с уровнем (1−α) для p-го процентиля генеральной совокупности."

Отношение к другим интервалам

В случае известных параметров, 95%-ный интервал толерантности и 95%-ный интервал прогноза совпадают. Если бы мы знали точные параметры популяции, мы могли бы вычислить диапазон, в пределах которого находится определенная доля популяции. Например, если мы знаем, что популяция имеет нормальное распределение со средним значением μ и стандартным отклонением σ, то интервал μ ± 1.96σ включает 95% популяции (1.96 – это z-значение, соответствующее 95% охвату для нормально распределенной популяции). Однако, если у нас есть только выборка из популяции, мы знаем только выборочное среднее x̄ и выборочное стандартное отклонение s, которые являются лишь оценками истинных параметров. В этом случае μ ± 1.96s не обязательно будет включать 95% популяции из-за изменчивости этих оценок. Интервал толерантности учитывает эту изменчивость, вводя уровень достоверности γ, который определяет уверенность в том, что интервал действительно включает указанную долю популяции. Для нормально распределенной популяции z-значение можно преобразовать в "k-фактор" или фактор толерантности для заданного γ с помощью таблиц или приближенных формул. "По мере увеличения числа степеней свободы интервалы прогноза и толерантности становятся равными". Интервал толерантности менее известен, чем доверительный интервал и интервал прогноза, что, по мнению некоторых преподавателей, приводит к неправильному использованию других интервалов, когда интервал толерантности был бы более уместен. Интервал толерантности отличается от доверительного интервала тем, что доверительный интервал определяет границы для единственного параметра популяции (например, среднего или дисперсии) с определенной достоверностью, в то время как интервал толерантности определяет границы диапазона значений данных, включающего определенную долю популяции. В то время как размер доверительного интервала обусловлен исключительно ошибкой выборки и стремится к интервалу нулевой ширины при увеличении размера выборки, размер интервала толерантности обусловлен как ошибкой выборки, так и фактической изменчивостью в популяции и стремится к интервалу вероятности популяции при увеличении размера выборки.

"In the parameters known case, a 95% tolerance interval and a 95% prediction interval are the same." If we knew a population's exact parameters, we would be able to compute a range within which a certain proportion of the population falls. For example, if we know a population is normally distributed with mean and standard deviation , then the interval includes 95% of the population (1.96 is the z score for 95% coverage of a normally distributed population). However, if we have only a sample from the population, we know only the sample mean and sample standard deviation , which are only estimates of the true parameters. In that case, will not necessarily include 95% of the population, due to variance in these estimates. A tolerance interval bounds this variance by introducing a confidence level , which is the confidence with which this interval actually includes the specified proportion of the population. For a normally distributed population, a z score can be transformed into a "k factor" or tolerance factor for a given via lookup tables or several approximation formulas. "As the degrees of freedom approach infinity, the prediction and tolerance intervals become equal." The tolerance interval is less widely known than the confidence interval and prediction interval, a situation some educators have lamented, as it can lead to misuse of the other intervals where a tolerance interval is more appropriate. The tolerance interval differs from a confidence interval in that the confidence interval bounds a single valued population parameter (the mean or the variance, for example) with some confidence, while the tolerance interval bounds the range of data values that includes a specific proportion of the population. Whereas a confidence interval's size is entirely due to sampling error, and will approach a zero width interval at the true population parameter as sample size increases, a tolerance interval's size is due partly to sampling error and partly to actual variance in the population, and will approach the population's probability interval as sample size increases.

Примеры

Приведем следующий пример: Итак, рассмотрим еще раз классический сценарий испытания расхода топлива EPA, в котором несколько номинально идентичных автомобилей определенной модели тестируются для получения данных о расходе. Если эти данные обрабатываются для построения 95% доверительного интервала для среднего расхода топлива модели, то, например, его можно использовать для прогнозирования среднего или общего потребления бензина для всего выпущенного парка таких автомобилей в первые 5000 миль эксплуатации. Однако такой интервал не будет особенно полезен человеку, арендующему одну из этих машин и сомневающемуся, хватит ли (полного) 10-галлонного бака бензина, чтобы проехать 350 миль до места назначения. Для этой задачи гораздо полезнее был бы интервал прогнозирования. (Рассмотрите различные последствия уверенности "на 95%" в том, что , по сравнению с уверенностью "на 95%" в том, что .) Но ни доверительный интервал для среднего расхода топлива, ни интервал прогнозирования для одного дополнительного измерения расхода не дают того, что нужно инженеру-конструктору, которому поручено определить, какого размера бак необходим модели, чтобы гарантировать, что 99% произведенных автомобилей смогут проехать 400 миль без дозаправки. Инженеру нужен интервал допуска для доли автомобилей с определенным расходом топлива. Другой пример: уровни содержания свинца в воздухе были измерены в разных точках на территории предприятия. Было установлено, что логарифмически преобразованные уровни свинца хорошо соответствуют нормальному распределению (то есть данные имеют логнормальное распределение). Пусть и обозначают соответственно среднее значение и дисперсию логарифмически преобразованных данных. Если обозначает соответствующую случайную величину, то мы имеем. Отметим, что является медианой уровня свинца в воздухе. Доверительный интервал для можно построить обычным способом, на основе t-распределения; это, в свою очередь, даст доверительный интервал для медианы уровня свинца в воздухе. Если и обозначают выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение логарифмически преобразованных данных для выборки размера n, то 95% доверительный интервал для дается формулой , где обозначает -квантиль t-распределения с степенями свободы. Также может быть интересно получить 95% верхнюю доверительную границу для медианы уровня свинца в воздухе. Такая граница для дается следующим образом: Следовательно, 95% верхняя доверительная граница для медианного уровня свинца в воздухе дается формулой. Теперь предположим, что мы хотим спрогнозировать уровень свинца в воздухе в определенной точке лаборатории. 95% верхняя граница прогноза для логарифмически преобразованного уровня свинца дается формулой. Аналогичным образом можно вычислить двухсторонний интервал прогноза. Значение и интерпретация этих интервалов хорошо известны. Например, если доверительный интервал вычисляется многократно из независимых выборок, то 95% этих интервалов будут содержать истинное значение в долгосрочной перспективе. Другими словами, интервал предназначен для предоставления информации только о параметре . Интервал прогнозирования имеет аналогичную интерпретацию и предназначен для предоставления информации об одном конкретном уровне свинца. Теперь предположим, что мы хотим использовать выборку, чтобы сделать вывод о том, что по крайней мере 95% уровней свинца в популяции ниже определенного порогового значения. Доверительный интервал и интервал прогнозирования не могут ответить на этот вопрос, поскольку доверительный интервал относится только к медиане уровня свинца, а интервал прогнозирования – только к одному уровню свинца. В этом случае требуется интервал допуска; точнее, верхняя граница допуска. Верхняя граница допуска должна быть вычислена при условии, что по крайней мере 95% уровней свинца в популяции ниже этой границы, с определенным уровнем доверия, например, 99%.

gives the following example: So consider once again a proverbial EPA mileage test scenario, in which several nominally identical autos of a particular model are tested to produce mileage figures If such data are processed to produce a 95% confidence interval for the mean mileage of the model, it is, for example, possible to use it to project the mean or total gasoline consumption for the manufactured fleet of such autos over their first 5,000 miles of use. Such an interval, would however, not be of much help to a person renting one of these cars and wondering whether the (full) 10 gallon tank of gas will suffice to carry him the 350 miles to his destination. For that job, a prediction interval would be much more useful. (Consider the differing implications of being "95% sure" that as opposed to being "95% sure" that .) But neither a confidence interval for nor a prediction interval for a single additional mileage is exactly what is needed by a design engineer charged with determining how large a gas tank the model really needs to guarantee that 99% of the autos produced will have a 400 mile cruising range. What the engineer really needs is a tolerance interval for a fraction of mileages of such autos. Another example is given by: The air lead levels were collected from different areas within the facility. It was noted that the log transformed lead levels fitted a normal distribution well (that is, the data are from a lognormal distribution. Let and , respectively, denote the population mean and variance for the log transformed data. If denotes the corresponding random variable, we thus have We note that is the median air lead level. A confidence interval for can be constructed the usual way, based on the t distribution; this in turn will provide a confidence interval for the median air lead level. If and denote the sample mean and standard deviation of the log transformed data for a sample of size n, a 95% confidence interval for is given by , where denotes the quantile of a t distribution with degrees of freedom. It may also be of interest to derive a 95% upper confidence bound for the median air lead level. Such a bound for is given by Consequently, a 95% upper confidence bound for the median air lead is given by Now suppose we want to predict the air lead level at a particular area within the laboratory. A 95% upper prediction limit for the log transformed lead level is given by A two sided prediction interval can be similarly computed. The meaning and interpretation of these intervals are well known. For example, if the confidence interval is computed repeatedly from independent samples, 95% of the intervals so computed will include the true value of , in the long run. In other words, the interval is meant to provide information concerning the parameter only. A prediction interval has a similar interpretation, and is meant to provide information concerning a single lead level only. Now suppose we want to use the sample to conclude whether or not at least 95% of the population lead levels are below a threshold. The confidence interval and prediction interval cannot answer this question, since the confidence interval is only for the median lead level, and the prediction interval is only for a single lead level. What is required is a tolerance interval; more specifically, an upper tolerance limit. The upper tolerance limit is to be computed subject to the condition that at least 95% of the population lead levels is below the limit, with a certain confidence level, say 99%.