Статистикалық интервал: Халықтың белгілі бір үлесін қамтитын ауқым

Кіріспе

Статистикалық ықтималдық түрі. Толеранттық аралық (ТИ) – белгілі бір сенімділік деңгейінде халықтың белгіленген үлесінің ішіне түсетін статистикалық аралық. "Нақтырақ айтқанда, 100×p%/100×(1−α) толеранттық аралығы халықтың кем дегенде p үлесінің берілген сенімділік деңгейімен (1−α) ішіне түсетін шектерін қамтамасыз етеді." "Сынаққа негізделген (p, 1−α) толеранттық аралығы (ТИ) оның 1−α сенімділікпен халықтың кем дегенде p үлесін қамтуын қамтамасыз ететіндей етіп құрастырылады; мұндай ТИ әдетте p-үлестік – (1−α) жабу ТИ деп аталады." "(p, 1−α) жоғарғы толеранттық шегі (ЖТШ) – бұл халықтың 100p-ші перцентилі үшін 1−α жоғарғы сенімділік шегі."

Басқа интервалдармен қатынасы

"Белгілі жағдайларда 95% толеранттылық аралығы мен 95% болжау аралығы бірдей болады". Егер біз популяцияның нақты параметрлерін білсек, онда популяцияның белгілі бір үлесін қамтитын диапазонды есептеуге болады. Мысалы, егер популяцияның орташа және стандартты қатеуімен қалыпты таралымды екенін білсек, онда [орташа ± 1.96 * стандартты қатеу] интервалы популяцияның 95% -ын қамтиды (1.96 – қалыпты таралымды популяцияның 95% жабуы үшін z-мәні). Алайда, егер біз популяциядан тек үлгі алсақ, онда біз тек үлгі орташасы мен үлгі стандартты қатеуін білеміз, олар нақты параметрлердің бағалаулары ғана. Сондықтан, бұл жағдайда, бағалаулардағы вариацияға байланысты, бұл интервал міндетті түрде популяцияның 95% -ын қамти бермейді. Толеранттылық аралығы осы вариацияны сенімділік деңгейін енгізу арқылы шектейді, яғни осы аралықтың популяцияның белгілі бір үлесін қамтитынына қаншалықты сенімді екендігін көрсетеді. Қалыпты таралымды популяция үшін z-мәні іздеу кестелері немесе шамалау формулалары арқылы белгілі бір сенімділік деңгейі үшін «k-коэффициенті» немесе толеранттылық коэффициентіне түрлендіріледі. "Еркіндік дәрежесі шексіздікке жақындағанда, болжау және толеранттылық аралықтары теңеседі". Толеранттылық аралығы сенімділік аралығы мен болжау аралығынан кем танымал, және кейбір педагогтар бұл жағдайға өкініш білдіреді, себебі толеранттылық аралығы тиімдірек болған жағдайларда басқа аралықтардың дұрыс емес қолданылуына әкелуі мүмкін. Толеранттылық аралығы сенімділік аралығынан өзгеше, себебі сенімділік аралығы бір ғана популяциялық параметрді (мысалы, орташа немесе дисперсия) белгілі бір сенімділікпен шектейді, ал толеранттылық аралығы популяцияның белгілі бір үлесін қамтитын деректердің диапазонын шектейді. Сенімділік аралығының мөлшері толыққанды түрде үлгі алу қатесіне байланысты және үлгі көлемі артқан сайын нақты популяциялық параметрде нөлдік ені бар интервалға жақындасады, ал толеранттылық аралығының мөлшері үлгі алу қатесіне және популяциядағы нақты вариацияға байланысты, және үлгі көлемі артқан сайын популяцияның ықтималдық аралығына жақындасады.

"In the parameters known case, a 95% tolerance interval and a 95% prediction interval are the same." If we knew a population's exact parameters, we would be able to compute a range within which a certain proportion of the population falls. For example, if we know a population is normally distributed with mean and standard deviation , then the interval includes 95% of the population (1.96 is the z score for 95% coverage of a normally distributed population). However, if we have only a sample from the population, we know only the sample mean and sample standard deviation , which are only estimates of the true parameters. In that case, will not necessarily include 95% of the population, due to variance in these estimates. A tolerance interval bounds this variance by introducing a confidence level , which is the confidence with which this interval actually includes the specified proportion of the population. For a normally distributed population, a z score can be transformed into a "k factor" or tolerance factor for a given via lookup tables or several approximation formulas. "As the degrees of freedom approach infinity, the prediction and tolerance intervals become equal." The tolerance interval is less widely known than the confidence interval and prediction interval, a situation some educators have lamented, as it can lead to misuse of the other intervals where a tolerance interval is more appropriate. The tolerance interval differs from a confidence interval in that the confidence interval bounds a single valued population parameter (the mean or the variance, for example) with some confidence, while the tolerance interval bounds the range of data values that includes a specific proportion of the population. Whereas a confidence interval's size is entirely due to sampling error, and will approach a zero width interval at the true population parameter as sample size increases, a tolerance interval's size is due partly to sampling error and partly to actual variance in the population, and will approach the population's probability interval as sample size increases.

Мысалдар

келесі мысалды келтіреді: EPA жүргізетін жанармай шығыны сынағын тағы да қарастырайық, онда белгілі бір модельдің бірнеше бірдей автокөліктері жанармай шығыны көрсеткіштерін анықтау үшін сынақтан өтеді. Егер осындай деректер модельдің орташа жанармай шығыны үшін 95% сенімділік аралығын есептеу үшін қолданылса, мысалы, оны осындай автокөліктердің өндірілген барлық саны үшін алғашқы 5000 шақырымдағы орташа немесе жалпы жанармай тұтынуын болжау үшін пайдалануға болады. Дегенмен, мұндай аралық осы көліктердің біреуін жалға алған және 10 галлондық (толық) жанармай бакі 350 шақырымдық сапарға жететін-жетпесін білгісі келген адамға көп көмектеспейді. Ондай жағдайда, болжау аралығы әлдеқайда тиімді болар еді. («95% сенімділік» пен «95% сенімділік» ұғымдарының мағыналық айырмасын қарастырайық.) Бірақ сенімділік аралығы да, бір ғана жанармай шығынына жасалған болжау аралығы да модельге қанша көлемде жанармай бакі қажет екенін анықтаумен айналысатын инженерге қажетті емес. Инженерге өндірілген автокөліктердің 99%-ы 400 шақырымдық қашықтықты жүзе алатынына кепілдік беру үшін қажетті жанармай бакінің көлемін анықтау қажет. Ол үшін, осындай автокөліктердің белгілі бір үлесіне арналған толеранттылық аралығы қажет. Тағы бір мысал: әртүрлі аймақтардан алынған ауадағы қорғасын деңгейінің мәліметтері жиналды. Байқауынша, логарифмдік түрлендірілген қорғасын деңгейі қалыпты таралымға жақсы сәйкес келеді (яғни, деректер логарифмдік таралымнан алынған). Логарифмдік түрлендірілген деректер үшін популяцияның орташа мәні мен дисперсиясын сәйкесінше және арқылы белгілейік. Егер сәйкес келетін кездейсоқ айнымалыны білдірсе, онда бізде теңдігі бар. t-үлестіріміне негізделген сенімділік аралығын әдеттегідей құрастыруға болады, бұл ауадағы қорғасын деңгейінің орташа мәніне сенімділік аралығын береді. Егер және n өлшемді үлгі үшін логарифмдік түрлендірілген деректердің үлгідегі орташа мәні мен стандартты ауытқуын білдірсе, онда 95% сенімділік аралығы формуласымен беріледі, мұндағы t-үлестірілімінің еркіндік дәрежесіне сәйкес келетін квантилі. Сондай-ақ, ауадағы қорғасын деңгейінің орташа мәніне 95% жоғарғы сенімділік шегін анықтау қызығушылық тудыруы мүмкін. Мұндай шекті мән формуласымен беріледі. Соның салдарынан, ауадағы қорғасын деңгейінің орташа мәніне 95% жоғарғы сенімділік шегі формуласымен беріледі. Енді, егер зертхананың белгілі бір аймағындағы ауадағы қорғасын деңгейін болжағымыз келсе, логарифмдік түрлендірілген қорғасын деңгейінің 95% жоғарғы болжау шегі формуласымен беріледі. Екі жақты болжау аралығын да осыған ұқсас тәсілмен есептеуге болады. Бұл аралықтардың мағынасы мен түсіндірілуі жақсы белгілі. Мысалы, егер сенімділік аралығы тәуелсіз үлгілерден бірнеше рет есептелсе, онда есептелген аралықтардың 95%-ы ұзақ мерзімді перспективада тура мәнін қамтиды. Басқаша айтқанда, аралықтың мақсаты тек параметрі туралы ақпарат беру болып табылады. Болжау аралығының да ұқсас түсіндірмесі бар және ол тек бір ғана қорғасын деңгейі туралы ақпарат беруге арналған. Енді, мысалы, үлгі арқылы халықтың кемінде 95%-ы қорғасын деңгейінің белгілі бір шектен төмен екенін анықтағымыз келсе. Сенімділік аралығы мен болжау аралығы бұл сұраққа жауап бере алмайды, өйткені сенімділік аралығы тек орташа қорғасын деңгейіне, ал болжау аралығы тек бір ғана қорғасын деңгейіне арналған. Ол үшін толеранттылық аралығы қажет, нақтырақ айтқанда, толеранттылықтың жоғарғы шегі. Жоғарғы толеранттылық шегін есептеу үшін, халықтың кемінде 95%-ы қорғасын деңгейі белгілі бір сенімділік деңгейімен, мысалы 99%-дан төмен болуы керек.

gives the following example: So consider once again a proverbial EPA mileage test scenario, in which several nominally identical autos of a particular model are tested to produce mileage figures If such data are processed to produce a 95% confidence interval for the mean mileage of the model, it is, for example, possible to use it to project the mean or total gasoline consumption for the manufactured fleet of such autos over their first 5,000 miles of use. Such an interval, would however, not be of much help to a person renting one of these cars and wondering whether the (full) 10 gallon tank of gas will suffice to carry him the 350 miles to his destination. For that job, a prediction interval would be much more useful. (Consider the differing implications of being "95% sure" that as opposed to being "95% sure" that .) But neither a confidence interval for nor a prediction interval for a single additional mileage is exactly what is needed by a design engineer charged with determining how large a gas tank the model really needs to guarantee that 99% of the autos produced will have a 400 mile cruising range. What the engineer really needs is a tolerance interval for a fraction of mileages of such autos. Another example is given by: The air lead levels were collected from different areas within the facility. It was noted that the log transformed lead levels fitted a normal distribution well (that is, the data are from a lognormal distribution. Let and , respectively, denote the population mean and variance for the log transformed data. If denotes the corresponding random variable, we thus have We note that is the median air lead level. A confidence interval for can be constructed the usual way, based on the t distribution; this in turn will provide a confidence interval for the median air lead level. If and denote the sample mean and standard deviation of the log transformed data for a sample of size n, a 95% confidence interval for is given by , where denotes the quantile of a t distribution with degrees of freedom. It may also be of interest to derive a 95% upper confidence bound for the median air lead level. Such a bound for is given by Consequently, a 95% upper confidence bound for the median air lead is given by Now suppose we want to predict the air lead level at a particular area within the laboratory. A 95% upper prediction limit for the log transformed lead level is given by A two sided prediction interval can be similarly computed. The meaning and interpretation of these intervals are well known. For example, if the confidence interval is computed repeatedly from independent samples, 95% of the intervals so computed will include the true value of , in the long run. In other words, the interval is meant to provide information concerning the parameter only. A prediction interval has a similar interpretation, and is meant to provide information concerning a single lead level only. Now suppose we want to use the sample to conclude whether or not at least 95% of the population lead levels are below a threshold. The confidence interval and prediction interval cannot answer this question, since the confidence interval is only for the median lead level, and the prediction interval is only for a single lead level. What is required is a tolerance interval; more specifically, an upper tolerance limit. The upper tolerance limit is to be computed subject to the condition that at least 95% of the population lead levels is below the limit, with a certain confidence level, say 99%.