Введение
В математике, особенно в теории категорий, представляемый функтор — это особый функтор из произвольной категории в категорию множеств. Такие функторы предоставляют представление абстрактной категории в терминах известных структур (то есть множеств и функций), позволяя максимально использовать знания о категории множеств в других контекстах. С другой точки зрения, представляемые функторы для категории C — это функторы, заданные категорией C. Их теория является широким обобщением верхних множеств в частично упорядоченных множествах и теоремы Кэли в теории групп.
Примеры
Рассмотрим контравариантный функтор P : Set → Set, который отображает каждое множество в его множество степеней и каждую функцию — в её обратное отображение. Для представления этого функтора нам нужна пара (A, u), где A — множество, а u — подмножество A, то есть элемент P(A), такая что для всех множеств X, hom-множество Hom(X, A) изоморфно P(X) посредством отображения ΦX(f) = (Pf)u = f−1(u). Пусть A = {0, 1} и u = {1}. Для заданного подмножества S ⊆ X соответствующая функция из X в A является характеристической функцией S. Забывающие функторы в Set очень часто представимы. В частности, забывающий функтор представляется парой (A, u) всякий раз, когда A является свободным объектом над одноэлементным множеством с генератором u. Забывающий функтор Grp → Set на категории групп представляется парой (Z, 1). Забывающий функтор Ring → Set на категории колец представляется парой (Z[x], x), полиномиальным кольцом от одной переменной с целыми коэффициентами. Забывающий функтор Vect → Set на категории вещественных векторных пространств представляется парой (R, 1). Забывающий функтор Top → Set на категории топологических пространств представляется любым одноэлементным топологическим пространством с его единственным элементом. Группу G можно рассматривать как категорию (даже группоид) с одним объектом, который мы обозначаем как •. Функтор из G в Set тогда соответствует G-множеству. Уникальный hom-функтор Hom(•, –) из G в Set соответствует каноническому G-множеству G с действием левого умножения. Стандартные аргументы из теории групп показывают, что функтор из G в Set представим тогда и только тогда, когда соответствующее G-множество просто транзитивно (то есть является G-торсором или кучей). Выбор представления эквивалентен выбору единицы для кучи. Пусть C — категория CW-комплексов с морфизмами, заданными классами гомотопий непрерывных функций. Для каждого натурального числа n существует контравариантный функтор Hn : C → Ab, который каждому CW-комплексу присваивает его n-ю когомологическую группу (с целыми коэффициентами). Композиция с забывающим функтором даёт контравариантный функтор из C в Set. Теорема о представимости Брауна в алгебраической топологии утверждает, что этот функтор представляется CW-комплексом K(Z, n), называемым пространством Эйленберга — Маклейна. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, и пусть R Mod — категория R-модулей. Если M и N — унитарные модули над R, существует ковариантный функтор B : R Mod → Set, который каждому R-модулю P присваивает множество R-билинейных отображений M × N → P, а каждому R-гомоморфизму модулей f : P → Q — функцию B(f) : B(P) → B(Q), которая отображает каждое билинейное отображение g : M × N → P в билинейное отображение f ∘ g : M × N → Q. Функтор B представляется R-модулем M ⊗R N.
Forgetful functors to Set are very often representable. In particular, a forgetful functor is represented by (A, u) whenever A is a free object over a singleton set with generator u. The forgetful functor Grp → Set on the category of groups is represented by (Z, 1). The forgetful functor Ring → Set on the category of rings is represented by (Z[x], x), the polynomial ring in one variable with integer coefficients. The forgetful functor Vect → Set on the category of real vector spaces is represented by (R, 1). The forgetful functor Top → Set on the category of topological spaces is represented by any singleton topological space with its unique element. A group G can be considered a category (even a groupoid) with one object which we denote by •. A functor from G to Set then corresponds to a G set. The unique hom functor Hom(•,–) from G to Set corresponds to the canonical G set G with the action of left multiplication. Standard arguments from group theory show that a functor from G to Set is representable if and only if the corresponding G set is simply transitive (i. e. a G torsor or heap). Choosing a representation amounts to choosing an identity for the heap. Let C be the category of CW complexes with morphisms given by homotopy classes of continuous functions. For each natural number n there is a contravariant functor Hn : C → Ab which assigns each CW complex its nth cohomology group (with integer coefficients). Composing this with the forgetful functor we have a contravariant functor from C to Set. Brown's representability theorem in algebraic topology says that this functor is represented by a CW complex K(Z,n) called an Eilenberg–MacLane space. Let R be a commutative ring with identity, and let R Mod be the category of R modules. If M and N are unitary modules over R, there is a covariant functor B: R Mod → Set which assigns to each R module P the set of R bilinear maps M × N → P and to each R module homomorphism f : P → Q the function B(f) : B(P) → B(Q) which sends each bilinear map g : M × N → P to the bilinear map f∘g : M × N→Q. The functor B is represented by the R module M ⊗R N.
Сохранение пределов
Представляемые функторы естественным образом изоморфны функторам Hom и, следовательно, обладают их свойствами. В частности, (ковариантные) представляемые функторы сохраняют все пределы. Отсюда следует, что любой функтор, не сохраняющий некоторый предел, не является представляемым. Контравариантные представляемые функторы переводят копределы в пределы.
Левый помощник
Любой функтор K : C → Set с левым сопряженным F : Set → C представляется парой (FX, ηX(•)), где X = {•} – одноэлементное множество, а η – единичный элемент сопряжения. Обратно, если K представляется парой (A, u) и все малые копроизведения A существуют в C, то K имеет левый сопряженный F, который отображает каждое множество I в i-е копроизведение A. Следовательно, если C – категория, в которой существуют все малые копроизведения, то функтор K : C → Set представляем тогда и только тогда, когда у него есть левый сопряженный.
Отношение к универсальным морфизмам и присоединениям
Категорические понятия универсальных морфизмов и сопряженных функторов могут быть выражены с использованием представляемых функторов. Пусть G : D → C – функтор и X – объект в C. Тогда (A, φ) является универсальным морфизмом из X в G тогда и только тогда, когда (A, φ) представляет собой функтор HomC(X, G–) из D в Set. Из этого следует, что G имеет левое сопряженное F тогда и только тогда, когда HomC(X, G–) представляем для всех X в C. Естественный изоморфизм ΦX : HomD(FX, –) → HomC(X, G–) определяет сопряженность; то есть,
является биекцией для всех X и Y. Двойственные утверждения также верны. Пусть F : C → D – функтор и Y – объект в D. Тогда (A, φ) является универсальным морфизмом из F в Y тогда и только тогда, когда (A, φ) представляет собой функтор HomD(F–, Y) из C в Set. Из этого следует, что F имеет правое сопряженное G тогда и только тогда, когда HomD(F–, Y) представляем для всех Y в D.