Введение

Общая теория математических структур

Теория категорий — общая теория математических структур и их отношений, которая была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак-Лейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии. Теория категорий используется практически во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из уже существующих, которые аналогично возникают в различных контекстах, удобно выражаются и объединяются в терминах категорий. Примеры включают в себя факторпространства, прямые произведения, дополнение и двойственность. Многие области информатики также опираются на теорию категорий, такие как функциональное программирование и семантика. Категория состоит из двух видов объектов: объектов категории и морфизмов, которые связывают два объекта, называемые источником и целью морфизма. Часто говорят, что морфизм — это стрелка, отображающая свой источник в свою цель. Морфизмы можно композировать, если цель первого морфизма совпадает с источником второго, и композиция морфизмов обладает свойствами, аналогичными композиции функций (ассоциативностью и существованием нейтрального морфизма для каждого объекта). Морфизмы часто являются своего рода функцией, но это не всегда так. Например, моноид можно рассматривать как категорию с единственным объектом, морфизмами которой являются элементы моноида. Вторая фундаментальная концепция теории категорий — это концепция функтора, который играет роль морфизма между двумя категориями C1 и C2: он отображает объекты C1 в объекты C2 и морфизмы C1 в морфизмы C2 таким образом, что источники отображаются в источники, а цели — в цели (или, в случае контравариантного функтора, источники отображаются в цели и наоборот). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование, которое можно рассматривать как морфизм функторов.

Универсальные конструкции, границы и колимиты

Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают множества, группы и топологии. Каждая категория характеризуется свойствами, общими для всех её объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий, однако в определении категории объекты рассматриваются как атомарные, то есть мы не знаем, является ли объект A множеством, топологией или каким-либо другим абстрактным понятием. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не ссылаясь на их внутреннюю структуру. Чтобы определить пустое множество, не упоминая элементы, или произведение топологий, не упоминая открытые множества, можно характеризовать эти объекты через их отношения с другими объектами, заданные морфизмами соответствующих категорий. Следовательно, необходимо найти универсальные свойства, которые однозначно определяют интересующие нас объекты. Множество важных конструкций можно описать исключительно категориальным способом, если понятие предела категории может быть развито и дуализировано для получения понятия копредела.

Эквивалентные категории

Естественный вопрос, который возникает: при каких условиях две категории можно считать по существу одинаковыми, в том смысле, что теоремы об одной категории можно без труда преобразовать в теоремы о другой категории? Основным инструментом для описания такой ситуации является эквивалентность категорий, задаваемая подходящими функторами между этими категориями. Эквивалентность категорий нашла широкое применение в математике.

Дальнейшие концепции и результаты

Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категорической алгебры; ниже перечислены дополнительные важные темы. Несмотря на тесную взаимосвязь между всеми этими темами, представленный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего изучения. Категория функторов DC имеет в качестве объектов функторы из C в D, а в качестве морфизмов – естественные преобразования этих функторов. Лемма Йонеды – один из самых известных фундаментальных результатов теории категорий; она описывает представляемые функторы в категориях функторов. Двойственность: каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное, которое по сути получается путем «изменения направления всех стрелок». Если какое-либо утверждение верно в категории C, то его двойственное верно в двойственной категории Cop. Эта двойственность, прозрачная на уровне теории категорий, часто скрыта в приложениях и может приводить к неожиданным соотношениям. Присоединенные функторы: Функтор может быть левым (или правым) присоединенным к другому функтору, отображающему в противоположном направлении. Такая пара присоединенных функторов обычно возникает из конструкции, определенной универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Категории с более высокими измерениями

Многие из вышеперечисленных понятий, особенно эквивалентность категорий, пары сопряжённых функторов и категории функторов, могут быть рассмотрены в контексте категорий высших размерностей. Если рассматривать морфизм между двумя объектами как «процесс, переводящий нас из одного объекта в другой», то категории высших размерностей позволяют продуктивно обобщить это, рассматривая «процессы высших размерностей». Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», то есть процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «композировать» эти «биморфизмы» как горизонтально, так и вертикально, и требуется, чтобы выполнялся 2-мерный «закон перестановок», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat, 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов — это просто естественные преобразования морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с единственным объектом; это, по сути, моноидальные категории. Бикатегории — это более слабое понятие 2-мерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма. Этот процесс можно расширить для всех натуральных чисел n, и они называются n-категориями. Существует даже понятие ω-категории, соответствующее ординальному числу ω. Категории высших размерностей являются частью более широкой математической области высшей размерной алгебры, концепции, предложенной Рональдом Брауном. Для вводного ознакомления с этими идеями обратитесь к статье Джона Баеза «История о n-категориях» (1996).

Исторические примечания

В то время как конкретные примеры функторов и естественных преобразований были даны Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак-Лейном в 1942 году в статье по теории групп, эти понятия были введены в более общем смысле, вместе с дополнительным понятием категорий, в 1945 году в статье тех же авторов. Их работа стала важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре, и Эйленберг с Мак-Лейном позже отметили, что их целью было понимание естественных преобразований, для чего сначала требовалось определить функторы, а затем – категории. Станислав Улам и некоторые авторы, писавшие от его имени, утверждали, что схожие идеи обсуждались в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. Теория категорий в некотором смысле является продолжением работы Эмми Ноэтер (одного из учителей Мак-Лейна) по формализации абстрактных процессов; Ноэтер пришла к выводу, что для понимания типа математической структуры необходимо понимать процессы, сохраняющие эту структуру (гомоморфизмы). Эйленберг и Мак-Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов (функторов), связывающих топологические структуры с алгебраическими структурами (топологическими инвариантами), характеризующими их. Изначально теория категорий была разработана для нужд гомологической алгебры, а затем широко распространилась в связи с потребностями современной алгебраической геометрии (теории схем). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры, поскольку последняя изучает алгебраические структуры, а первая применима к любому типу математической структуры и изучает также отношения между структурами различной природы. По этой причине она используется во всей математике. Применение к математической логике и семантике (категорическая абстрактная машина) появилось позднее. Определенные категории, называемые топосами (одиночными топосами), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств в качестве основания математики. Топос также можно рассматривать как специфический тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти фундаментальные применения теории категорий были детально разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики. Топос-теория является формой абстрактной теории пучков, имеющей геометрическое происхождение, и приводит к таким идеям, как топология без точек. Категорическая логика – это хорошо определенная область, основанная на теории типов для интуиционистской логики, с приложениями в функциональном программировании и теории доменов, где картезиански замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда-исчисления. По крайней мере, язык теории категорий проясняет, что именно общего между этими смежными областями (в некотором абстрактном смысле). Теория категорий находит применение и в других областях, см. прикладную теорию категорий. Например, Джон Баез показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. Другое применение теории категорий, в частности, топос-теории, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу Геррино Маццолы «Топосы музыки, геометрическая логика концептов, теории и исполнения». Более поздние попытки познакомить студентов бакалавриата с категориями как с основанием математики включают работы Уильяма Лоувера и Розберга (2003), Лоувера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).