Введение
Категория, где каждый морфизм обратим; обобщение группы.
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
В математике, особенно в теории категорий и теории гомотопии, группоид (реже группоид Брандта или виртуальная группа) обобщает понятие группы несколькими эквивалентными способами. Группоид можно рассматривать как:
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
* Группу с частичной функцией, заменяющей бинарную операцию;
* Категорию, в которой каждый морфизм обратим. Категория такого типа может рассматриваться как дополненная унарной операцией над морфизмами, называемой обратной по аналогии с теорией групп. Группоид, содержащий только один объект, является обычной группой. В случае зависимой типизации, категория в целом может рассматриваться как типизированный моноид, и аналогично, группоид может рассматриваться как просто типизированная группа. Морфизмы переходят от одного объекта к другому и образуют зависимое семейство типов, таким образом, морфизмы могут быть типизированы, например, как . Композиция тогда является тотальной функцией: , так что
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
Специальные случаи включают:
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
* Сетоиды: множества, снабженные отношением эквивалентности;
* G-множества: множества, оснащенные действием группы.
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
Группоиды часто используются для рассуждений о геометрических объектах, таких как многообразия. Группоиды были введены неявно через полугруппы Брандта.
groupoids in category theory
In mathematics, especially in category theory and homotopy theory, a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a:
Group with a partial function replacing the binary operation;
Category in which every morphism is invertible. A category of this sort can be viewed as augmented with a unary operation on the morphisms, called inverse by analogy with group theory. A groupoid where there is only one object is a usual group. In the presence of dependent typing, a category in general can be viewed as a typed monoid, and similarly, a groupoid can be viewed as simply a typed group. The morphisms take one from one object to another, and form a dependent family of types, thus morphisms might be typed , , say. Composition is then a total function: , so that
Special cases include:
Setoids: sets that come with an equivalence relation,
G sets: sets equipped with an action of a group
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds. introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups.
Теоретическая категория
Группоид — это малая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом, то есть обратимым. Также верно, что категория покрывающих морфизмов заданного группоида эквивалентна категории действий этого группоида на множествах.
Топология
Для топологического пространства , пусть будет множество. Морфизмы из точки в точку являются классами эквивалентности непрерывных путей от до , причем два пути эквивалентны, если они гомотопны. Два таких морфизма композируются путем последовательного прохождения по первому, а затем по второму пути; гомотопическая эквивалентность гарантирует, что эта композиция ассоциативна. Этот группоид называется фундаментальным группоидом , обозначаемым (или иногда, ). Обычная фундаментальная группа является группой вершины для точки . Орбиты фундаментального группоида являются связными компонентами пути пространства . Следовательно, фундаментальный группоид связного по пути пространства является транзитивным, и мы получаем известный факт, что фундаментальные группы в любой базовой точке изоморфны. Более того, в этом случае фундаментальный группоид и фундаментальные группы эквивалентны как категории (см. раздел ниже для общей теории). Важным обобщением этой идеи является рассмотрение фундаментального группоида , где является выбранным множеством "базовых точек". Здесь является (широким) подгруппоидом , где рассматриваются только пути, конечные точки которых принадлежат множеству , которое может быть выбрано в соответствии с геометрией рассматриваемой ситуации.
The orbits of the fundamental groupoid are the path connected components of Accordingly, the fundamental groupoid of a path connected space is transitive, and we recover the known fact that the fundamental groups at any base point are isomorphic. Moreover, in this case, the fundamental groupoid and the fundamental groups are equivalent as categories (see the section below for the general theory). An important extension of this idea is to consider the fundamental groupoid where is a chosen set of "base points". Here is a (wide) subgroupoid of , where one considers only paths whose endpoints belong to The set may be chosen according to the geometry of the situation at hand.
Конечная множественность
Рассмотрим групповое действие группы ℤ на конечном множестве ℤ, которое отображает каждое число в его противоположное, то есть x ↦ -x. Квозиент группоид ℤ/ℤ — это множество классов эквивалентности, полученных из этого группового действия, и группа ℤ действует на нём.
Сорт с коэффициентом
Любая конечная группа, отображающаяся в , задает групповое действие на аффинном пространстве (поскольку это группа автоморфизмов). Тогда фактор-группоид может иметь вид , содержащий одну точку со стабилизатором в начале координат. Примеры подобного рода лежат в основе теории орбифолдов. Другим широко изучаемым семейством орбифолдов являются взвешенные проективные пространства и их подпространства, такие как орбифолды Калаби-Яу.
Загадки
В то время как головоломки, такие как кубик Рубика, могут быть смоделированы с использованием теории групп (см. группа кубика Рубика), некоторые головоломки лучше моделируются как группоиды. Преобразования игры «Пятнашки» образуют группоид (не группу, поскольку не все ходы можно последовательно выполнять). Этот группоид действует на конфигурации.
Матье группоид
Группоид Матье — группоид, введенный Джоном Хортоном Конвеем, действующий на 13 точках, причем элементы, фиксирующие точку, образуют копию группы Матье M12.
Категория группоидных
Категория, объекты которой — группоиды, а морфизмы — морфизмы группоидов, называется группоидной категорией или категорией группоидов и обозначается Grpd. Категория Grpd, как и категория малых категорий, является декартово замкнутой: для любых группоидов можно построить группоид, объектами которого являются морфизмы, а стрелками — естественные эквивалентности морфизмов. Таким образом, если это просто группы, то такие стрелки являются сопряжениями морфизмов. Основной результат заключается в том, что для любых группоидов существует естественная биекция. Этот результат представляет интерес даже в том случае, если все группоиды являются просто группами. Важным свойством Grpd также является то, что она является как полной, так и кополной.
This result is of interest even if all the groupoids are just groups. Another important property of Grpd is that it is both complete and cocomplete.
Группоиды в Grpd
Существует дополнительная структура, которую можно получить из группоидов, внутренних в категории группоидов – двойные группоиды. Поскольку Grpd является 2-категорией, эти объекты образуют 2-категорию, а не 1-категорию, так как присутствует дополнительная структура. По сути, это группоиды с функторами и вложением, заданным тождественным функтором. Один из способов представить эти двойные группоиды – как содержащие объекты, морфизмы и квадраты, которые можно композировать вертикально и горизонтально. Например, для квадратов с одинаковым морфизмом их можно соединить вертикально, получив диаграмму, которую можно преобразовать в другой квадрат, прокомпозировав вертикальные стрелки. Существует аналогичный закон композиции для горизонтального соединения квадратов.
Группоиды с геометрической структурой
При изучении геометрических объектов возникающие группоиды часто несут топологию, превращая их в топологические группоиды, или даже дифференцируемую структуру, превращая их в группоиды Ли. Эти последние объекты также можно изучать в терминах связанных с ними алгеброидов Ли, по аналогии с соотношением между группами Ли и алгебрами Ли. Группоиды, возникающие в геометрии, часто обладают дополнительными структурами, которые взаимодействуют с группоидным умножением. Например, в геометрии Пуассона существует понятие симплектического группоида, который представляет собой группоид Ли, снабженный совместимой симплектической формой. Аналогично, можно рассматривать группоиды с совместимой римановой метрикой или комплексной структурой и так далее.