Введение
Эндоморфизм в математике — это морфизм от математического объекта к самому себе. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, называется автоморфизмом. Например, эндоморфизмом векторного пространства V является линейное отображение f: V → V, а эндоморфизмом группы G — групповой гомоморфизм f: G → G. В общем случае, можно говорить об эндоморфизмах в любой категории. В категории множеств эндоморфизмы — это функции из множества S в само себя. В любой категории композиция любых двух эндоморфизмов объекта X снова является эндоморфизмом X. Следовательно, множество всех эндоморфизмов X образует моноид, полный моноид преобразований, и обозначается End(X) (или End<sub>C</sub>(X) для указания категории C).
In mathematics, an endomorphism is a morphism from a mathematical object to itself. An endomorphism that is also an isomorphism is an automorphism. For example, an endomorphism of a vector space V is a linear map f: V → V, and an endomorphism of a group G is a group homomorphism f: G → G. In general, we can talk about endomorphisms in any category. In the category of sets, endomorphisms are functions from a set S to itself. In any category, the composition of any two endomorphisms of X is again an endomorphism of X. It follows that the set of all endomorphisms of X forms a monoid, the full transformation monoid, and denoted End(X) (or to emphasize the category C).
Кольца эндоморфизма
Любые два эндоморфизма абелевой группы, A, могут быть сложены по следующему правилу. При таком сложении и определении умножения как композиции функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо (кольцо эндоморфизмов). Например, множество эндоморфизмов является кольцом всех n × n матриц с целыми элементами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в преаддитивной категории. Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почтикольцо. Любое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля и, следовательно, является подалгеброй кольца эндоморфизмов абелевой группы; однако существуют кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.
Теория операторов
В любой конкретной категории, особенно для векторных пространств, эндоморфизмы — это отображения множества в само себя, которые можно интерпретировать как унарные операторы, действующие на элементы этого множества и позволяющие определить понятие орбит элементов и т.п. В зависимости от дополнительной структуры, заданной для рассматриваемой категории (топологии, метрики и т.д.), такие операторы могут обладать свойствами, как непрерывность, ограниченность и другие. Более подробную информацию следует искать в статье, посвященной теории операторов.
Эндофункции
Эндофункция — это функция, область определения которой равна области значений. Гомоморфная эндофункция является эндоморфизмом. Пусть S — произвольное множество. Среди эндофункций на S можно найти перестановки S и постоянные функции, сопоставляющие каждому x из S один и тот же элемент c из S. Каждая перестановка S имеет область значений, равную области определения, и является биективной и обратимой. Если S содержит более одного элемента, то образ постоянной функции на S является собственным подмножеством области значений, и, следовательно, она не является биективной (и, как следствие, не обратимой). Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n целую часть от n/2, имеет образ, равный области значений, и не является обратимой. Конечные эндофункции эквивалентны ориентированным псевдолесам. Для множеств размера n существует эндофункций на этом множестве. Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции, то есть функции, совпадающие со своими обратными.