Введение

Угловое смещение (символ θ, или φ) – также называемое углом поворота, угловым перемещением или вращательным перемещением – физического тела, представляет собой угол (в единицах радиан, градусов, оборотов и т.д.), на который тело поворачивается (вращается) вокруг центра или оси вращения. Угловое смещение может иметь знак, указывающий направление вращения (например, по часовой стрелке); оно также может превышать (по абсолютной величине) полный оборот.

Контекст

Когда тело вращается вокруг своей оси, его движение нельзя просто анализировать как движение частицы, поскольку при вращательном движении скорость и ускорение постоянно изменяются в любой момент времени. При рассмотрении вращения тела, проще рассматривать само тело как абсолютно твердое. Тело считается абсолютно твердым, когда расстояния между всеми его составляющими частицами остаются неизменными на протяжении всего движения, то есть, например, части его массы не разлетаются. В реальности все тела в той или иной степени деформируемы, однако это влияние минимально и им можно пренебречь.

Пример

В примере, иллюстрированном справа (или выше в некоторых мобильных версиях), частица или тело P находится на фиксированном расстоянии r от начала координат, O, вращаясь против часовой стрелки. В этом случае важно представить положение частицы P через ее полярные координаты (r, θ). В данном примере значение θ изменяется, а значение радиуса остается постоянным. (В прямоугольных координатах (x, y) как x, так и y меняются со временем.) По мере движения частицы по окружности она проходит длину дуги s, которая связана с угловым положением следующим соотношением:

Определение и единицы

Угловое смещение может быть выражено в радианах или градусах. Использование радианов обеспечивает простую связь между длиной дуги окружности и расстоянием r от центра (радиусом):

Например, если тело вращается на 360° вокруг окружности радиуса r, угловое смещение равно расстоянию, пройденному по окружности (2πr), деленному на радиус, что легко упрощается до: следовательно, 1 оборот равен радианам. Данное определение является частью Международной системы величин (ISQ), формализованной в международном стандарте ISO 80000-3 (Пространство и время) и принятой в Международной системе единиц (СИ). Угловое смещение может иметь знак, указывающий направление вращения (например, по часовой стрелке). Однако при работе с бесконечно малыми вращениями, бесконечно малые второго порядка можно отбросить, и в этом случае возникает коммутативность.

Матрицы вращения

Существует несколько способов описать вращения, таких как матрицы вращения или углы Эйлера. См. диаграммы для SO(3) для других способов. Поскольку любой кадр в пространстве может быть описан матрицей вращения, смещение между кадрами также может быть описано матрицей вращения. Пусть и – две матрицы, тогда матрица углового смещения между ними может быть получена как . При выполнении этого произведения, если разница между кадрами очень мала, мы получим матрицу, близкую к единичной. В пределе мы получим бесконечно малую матрицу вращения.