Введение
Функторы, которые являются инъективными и сюръективными на множествах гомоморфизмов.
В теории категорий функтор, инъективный на множествах гомоморфизмов, называется верным, а функтор, сюръективный на множествах гомоморфизмов, называется полным. Функтор, обладающий обоими свойствами, называется полно верным функтором.
In category theory, a faithful functor is a functor that is injective on hom sets, and a full functor is surjective on hom sets. A functor that has both properties is called a fully faithful functor.
Свойства
Верный функтор не обязан быть инъективным по объектам или морфизмам. То есть, два объекта X и X′ могут отображаться в один и тот же объект в D (поэтому область значений полного и верного функтора не обязательно изоморфна C), и два морфизма f : X → Y и f′ : X′ → Y′ (с различными областями определения/областями значений) могут отображаться в один и тот же морфизм в D. Аналогично, полный функтор не обязан быть сюръективным по объектам или морфизмам. В D могут существовать объекты, не имеющие вида FX для некоторого X из C. Морфизмы между такими объектами, очевидно, не могут быть получены из морфизмов в C. Полный и верный функтор обязательно инъективен по объектам с точностью до изоморфизма. То есть, если F : C → D – полный и верный функтор, и , то .
A full and faithful functor is necessarily injective on objects up to isomorphism. That is, if F : C → D is a full and faithful functor and then .
Примеры
Забывчивый функтор U : Grp → Set отображает группы в их базовое множество, "забывая" групповую операцию. U верен, поскольку два гомоморфизма групп с одинаковыми областями определения и областью значений совпадают, если они заданы одной и той же функцией на базовых множествах. Этот функтор не является полным, так как существуют функции между базовыми множествами групп, которые не являются гомоморфизмами групп. Категория, имеющая верный функтор в Set, (по определению) является конкретной категорией; как правило, этот забывчивый функтор не полон. Функтор включения Ab → Grp является полно верным, поскольку Ab (категория абелевых групп) по определению является полной подкатегорией Grp, порожденной абелевыми группами.
Обобщение на (∞, 1) -категории
Понятие "полного" или "точного" функтора не переносится на понятие (∞, 1)-категории. В (∞, 1)-категории отображения между любыми двумя объектами задаются пространством с точностью до гомотопии. Поскольку понятия инъективности и сюръективности не являются гомотопически инвариантными (рассмотрим вложение интервала в вещественные числа в сравнении с отображением интервала в точку), у нас нет понятия "полного" или "точного" функтора. Однако мы можем определить, что функтор квазикатегорий является вполне точным, если для любых X и Y из C соответствующее отображение является слабой эквивалентностью.