Equations involving the partial derivatives of thermodynamic quantities
electromagnetic equations
Соотношения Максвелла — это набор уравнений в термодинамике, которые выводятся из симметрии вторых частных производных и определений термодинамических потенциалов. Эти соотношения названы в честь физика XIX века Джеймса Клерка Максвелла.
Maxwell's relations are a set of equations in thermodynamics which are derivable from the symmetry of second derivatives and from the definitions of the thermodynamic potentials. These relations are named for the nineteenth century physicist James Clerk Maxwell.
Уравнения
Структура соотношений Максвелла – это утверждение о равенстве вторых производных для непрерывных функций. Это следует непосредственно из того факта, что порядок дифференцирования аналитической функции двух переменных не имеет значения (теорема Шварца). В случае соотношений Максвелла рассматриваемой функцией является термодинамический потенциал, а и – две различные естественные переменные для этого потенциала. В этом случае имеем:
The structure of Maxwell relations is a statement of equality among the second derivatives for continuous functions. It follows directly from the fact that the order of differentiation of an analytic function of two variables is irrelevant (Schwarz theorem). In the case of Maxwell relations the function considered is a thermodynamic potential and and are two different natural variables for that potential, we have
где частные производные берутся при постоянстве всех остальных естественных переменных. Для каждого термодинамического потенциала существует возможных соотношений Максвелла, где – число естественных переменных этого потенциала.
where the partial derivatives are taken with all other natural variables held constant. For every thermodynamic potential there are possible Maxwell relations where is the number of natural variables for that potential.
Еще одно выводы
На основании. Поскольку, для любого цикла, мы имеем: возьмем бесконечно малый цикл, мы находим, что, то есть, отображение сохраняет площадь. По правилу цепочки для якобианов, для любого преобразования координат мы имеем. Теперь, подставляя различные значения, мы получаем четыре соотношения Максвелла. Например, подстановка дает нам.
Based on. Since , around any cycle, we haveTake the cycle infinitesimal, we find that That is, the map is area preserving. By the chain rule for Jacobians, for any coordinate transform , we haveNow setting to various values gives us the four Maxwell relations. For example, setting gives us
Расширенные производные
Отношения Максвелла основаны на простых правилах частного дифференцирования, в частности, на полном дифференциале функции и симметрии вычисления частных производных второго порядка.
Maxwell relations are based on simple partial differentiation rules, in particular the total differential of a function and the symmetry of evaluating second order partial derivatives.
Отношения Максвелла
Вышеперечисленные соотношения Максвелла – не единственные. Когда рассматриваются другие работы, включающие естественные переменные, отличные от работы расширения, или когда число частиц включается в качестве естественной переменной, проявляются другие соотношения Максвелла. Например, для однокомпонентного газа число частиц N также является естественной переменной для указанных четырех термодинамических потенциалов. Соотношение Максвелла для энтальпии относительно давления и числа частиц будет следующим:
The above are not the only Maxwell relationships. When other work terms involving other natural variables besides the volume work are considered or when the number of particles is included as a natural variable, other Maxwell relations become apparent. For example, if we have a single component gas, then the number of particles N is also a natural variable of the above four thermodynamic potentials. The Maxwell relationship for the enthalpy with respect to pressure and particle number would then be:
где μ – химический потенциал. Кроме того, существуют и другие термодинамические потенциалы, помимо четырех обычно используемых, и каждый из этих потенциалов дает свой набор соотношений Максвелла. Например, большой потенциал дает:
where μ is the chemical potential. In addition, there are other thermodynamic potentials besides the four that are commonly used, and each of these potentials will yield a set of Maxwell relations. For example, the grand potential yields: