Введение

Тип математической модели, используемой для инфекционных заболеваний.
Компартментные модели — это очень общий метод моделирования. Они часто применяются при математическом моделировании инфекционных заболеваний. Популяция распределяется по компартментам, обозначенным метками, например, S, I или R (восприимчивые, инфицированные или выздоровевшие). Люди могут переходить из одного компартмента в другой. Порядок меток обычно отражает схемы потоков между компартментами; например, SEIS означает восприимчивый, инкубирующий, инфицированный, а затем снова восприимчивый. Истоки таких моделей восходят к началу XX века, важные работы принадлежат Россу (1916), Россу и Хадсону (1917), Кермаку и Маккендрику (1927) и Кендаллу (1956). Модель Рида — Фроста также была значимым и часто упускаемым из виду предшественником современных эпидемиологических подходов к моделированию. Модели чаще всего реализуются с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений (которые являются детерминированными), но также могут применяться в стохастической (вероятностной) среде, что более реалистично, но значительно усложняет анализ. Модели стремятся предсказать такие явления, как распространение заболевания, общее число инфицированных или продолжительность эпидемии, а также оценить различные эпидемиологические параметры, такие как репродуктивное число. Такие модели позволяют оценить, как различные меры общественного здравоохранения могут повлиять на исход эпидемии, например, какой метод является наиболее эффективным для распределения ограниченного количества вакцин в данной популяции.

Модель SIR

Модель SIR является одной из самых простых компартментных моделей, и многие модели являются производными от этой базовой формы. Модель состоит из трех компартментов:
S: Количество восприимчивых людей. Когда восприимчивый и инфицированный человек вступают в "инфекционный контакт", восприимчивый человек заражается и переходит в компартмент инфицированных. I: Количество инфицированных людей. Это люди, которые были заражены и способны заражать восприимчивых людей. R – количество удаленных (и иммунных) или умерших людей. Это люди, которые были заражены и либо выздоровели от болезни и перешли в компартмент удаленных, либо умерли. Предполагается, что число смертей пренебрежимо мало по отношению к общей численности населения. Этот компартмент также может называться "выздоровевшим" или "устойчивым". Эта модель достаточно точно предсказывает динамику инфекционных заболеваний, передающихся от человека к человеку, и при которых выздоровление обеспечивает длительный иммунитет, таких как корь, свинка и краснуха. Эти переменные (S, I и R) представляют собой количество людей в каждом компартменте в определенный момент времени. Чтобы учесть, что количество восприимчивых, инфицированных и удаленных людей может меняться со временем (даже если общая численность популяции остается постоянной), мы представляем эти числа в виде функций от t (времени): S(t), I(t) и R(t). Для конкретной болезни в конкретной популяции эти функции могут быть вычислены для прогнозирования возможных вспышек и контроля над ними. Скорость перехода из состояния I в состояние R предполагается пропорциональной количеству инфицированных людей, то есть Если человек находится в инфицированном состоянии в течение среднего времени , то это также эквивалентно предположению, что продолжительность пребывания человека в инфицированном состоянии является случайной величиной с экспоненциальным распределением. "Классическая" модель SIR может быть модифицирована путем использования более сложных и реалистичных распределений для скорости перехода из I в R (например, распределения Эрланга). В особом случае, когда нет перехода из инфекционного компартмента в компартмент удаленных, модель SIR упрощается до очень простой модели SI, которая имеет логистическое решение, в котором в конечном итоге заражается каждый человек.

Другие модели с отсеками

Существует множество модификаций модели SIR, включая те, что учитывают рождаемость и смертность, случаи, когда после выздоровления не формируется иммунитет (модель SIS), когда иммунитет сохраняется лишь короткий период времени (SIRS), когда присутствует скрытый период заболевания, в течение которого человек не заразен (модели SEIS и SEIR), и когда новорожденные могут обладать врожденным иммунитетом (MSIR). Компартментные модели также могут применяться для моделирования нескольких групп риска и даже взаимодействия нескольких патогенов.

Модель SIRD

Модель «Восприимчивые – Зараженные – Выздоровевшие – Умершие» различает выздоровевших (имеются в виду конкретно люди, перенесшие болезнь и теперь обладающие иммунитетом) и умерших. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

где – скорости заражения, выздоровления и смертности соответственно.

Модель SIRV

Модель «Восприимчивые, Зараженные, Выздоровевшие, Вакцинированные» является расширенной моделью SIR, учитывающей вакцинацию восприимчивого населения. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

где – скорости заражения, выздоровления и вакцинации соответственно. Для полувременных начальных условий , , и постоянных соотношений и модель решалась приближенно. В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений для долей населения:

где – скорости заражения, вакцинации, выздоровления и смертности соответственно. Для полувременных начальных условий , , и постоянных соотношений , , и модель решалась приближенно, а в некоторых частных случаях – точно, независимо от функциональной формы, где , и – коэффициенты диффузии. Таким образом, получается уравнение реакционной диффузии. (Следует отметить, что из-за размерности параметр необходимо изменить по сравнению с простой моделью SIR.) Ранние модели этого типа использовались для моделирования распространения чумы в Европе. Расширения этой модели использовались для учета, например, эффектов немедикаментозных вмешательств, таких как социальное дистанцирование.

Модель SEIR взаимодействующей субпопуляции

Поскольку социальные контакты, тяжесть заболевания и смертность, а также эффективность профилактических мер могут существенно различаться между взаимодействующими подгруппами, например, пожилыми и молодыми людьми, для каждой подгруппы можно использовать отдельные модели SEIR, соединенные между собой через связи взаимодействия. Это может способствовать сокращению продолжительности пандемии и снижению числа случаев заболевания и смертей в условиях ограниченного доступа к вакцинам во время волны вариантов вирусов, вызывающих обеспокоенность.

Модель SIR для сетей

Модель SIR изучалась на сетях различных типов для моделирования более реалистичной формы связей, чем обычно требуемое условие однородного смешивания. Простая модель эпидемий в сетях, в которой у индивида есть вероятность p заразиться от каждого из его инфицированных соседей в заданный момент времени, приводит к результатам, аналогичным формированию гигантской компоненты на случайных графах Эрдоша-Реньи. [[Файл:SIR NumericalExample.png|thumb|right|Пример использования численной модели SIR для подгонки данных о COVID-19 (от CDC США) в штате Огайо, США. Показаны результаты подгонки с использованием моделей SIR и SIRV. Обратите внимание, что хотя модель SIR может моделировать отдельную волну, более сложная модель, такая как SIRSS, лучше моделирует множественные волны.]

Моделирование вакцинации

Модель SIR может быть модифицирована для моделирования вакцинации. Обычно для этого в модель SIR добавляют дополнительный компонент, , для вакцинированных людей. Ниже приведены некоторые примеры.

Метод следующего поколения

Один из способов вычислить – усреднить ожидаемое количество новых инфекций по всем возможным типам инфицированных. Метод следующего поколения – это общий метод вывода , когда вовлечено более одного класса инфекционных. Этот метод, впервые представленный Diekmann et al. (1990), может использоваться для моделей с базовой возрастной или пространственной структурой, среди прочих возможностей. В этом представлении спектральный радиус матрицы следующего поколения дает базовое репродуктивное число, .

Рассмотрим заболевание, передающееся половым путем. В наивной популяции, где почти все восприимчивы, но есть источник инфекции, если ожидаемое количество инфицированных первого пола равно , а ожидаемое количество инфицированных второго пола равно , мы можем определить, сколько человек будет инфицировано в следующем поколении. Таким образом, матрицу следующего поколения можно записать как: где каждый элемент представляет собой ожидаемое количество вторичных инфекций пола, вызванных одним инфицированным индивидуумом пола, при условии, что популяция пола полностью восприимчива. Диагональные элементы равны нулю, поскольку люди одного пола не могут заразить друг друга, но, например, каждый может заразить , в среднем. Это означает, что каждый элемент является репродуктивным числом, учитывающим, кто кого заражает. Если поколение представлено как , то следующее поколение будет .

Спектральный радиус матрицы следующего поколения является базовым репродуктивным числом, , то есть здесь – геометрическое среднее ожидаемого числа каждого пола в следующем поколении. Обратите внимание, что коэффициенты размножения и чередуются, поскольку инфицированному человеку необходимо «пройти» через второй пол, прежде чем он сможет заразить нового хозяина первого пола. Другими словами, требуется два поколения, чтобы вернуться к тому же типу, и каждые два поколения числа умножаются на ×. Средний коэффициент умножения на поколение, следовательно, равен . Обратите внимание, что является неотрицательной матрицей, поэтому она имеет единственное, уникальное, положительное, вещественное собственное значение, которое строго больше всех остальных.

Матрица следующего поколения для моделей компрессорных

В математическом моделировании инфекционных заболеваний динамика распространения обычно описывается с помощью набора нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Таким образом, всегда существуют связанные уравнения вида, показывающие, как число людей в отсеке изменяется со временем. Например, в модели SIR, , , и в компартментных моделях существует равновесие без инфекции (DFE), что означает, что можно найти равновесие, установив число инфицированных людей равным нулю. Иными словами, как правило, существует устойчивое состояние без инфекции. Это решение, как правило, также гарантирует, что равновесие без инфекции является равновесием системы. Существует также другая фиксированная точка, известная как эндемическое равновесие (ЭЭ), при котором болезнь не полностью ликвидируется и сохраняется в популяции. Математически, является порогом стабильности равновесия без инфекции, таким, что:

Для расчета , первым шагом является линеаризация в окрестности равновесия без инфекции (DFE), но только для подсистемы инфицированных нелинейных ОДУ, описывающих образование новых инфекций и изменения состояния среди инфицированных. С эпидемиологической точки зрения, линеаризация отражает потенциал начального распространения инфекции от зараженного человека в восприимчивой популяции, при условии, что изменение восприимчивой популяции пренебрежимо мало на начальном этапе распространения. Линейную систему ОДУ всегда можно описать матрицей. Следующий шаг – построить линейный положительный оператор, который обеспечивает следующее поколение инфицированных при применении к текущему поколению. Обратите внимание, что этот оператор (матрица) отвечает за число инфицированных, а не за все отсеки. Итерация этого оператора описывает начальную прогрессию инфекции в гетерогенной популяции. Сравнение спектрального радиуса этого оператора с единицей определяет, растут ли поколения инфицированных или нет. можно представить как произведение скорости заражения вблизи равновесия без инфекции и средней продолжительности заразного периода. Он используется для определения пика и конечного размера эпидемии.

Вертикальная передача

В случае некоторых заболеваний, таких как СПИД и гепатит В, возможно рождение инфицированных детей от инфицированных родителей. Такая передача заболевания от матери потомству называется вертикальной трансмиссией. В рамках модели приток новых инфицированных можно учесть, включив часть новорожденных в инфицированный класс.

Векторная передача

Болезни, передающиеся от человека к человеку опосредованно, например, малярия, распространяемая комарами, передаются с помощью переносчика. В таких случаях инфекция передается от человека к насекомым, и эпидемическая модель должна учитывать оба вида, что обычно требует значительно большего числа компартментов, чем модель для прямого распространения.